精品解析：福建省德化第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024春德化二中高二数学期末试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择. 【详解】，又， 故，，，，故A正确，其它选项错误. 故选：A. 2. 若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出. 【详解】解：∵，，， ， 当且仅当时取等号. ∴的最小值是. 故选：C. 【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数， 在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意； 对于B，设，函数的定义域为R， 且满足，所以函数为偶函数， 当时，为单调递增函数，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又函数在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 4. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可. 【详解】而的共轭复数是 故选：B. 5. 已知平面向量，满足，，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量的数量积公式及夹角公式计算即可得. 【详解】， 则， 即，又， 故与的夹角为. 故选：B. 6. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的范围，再比较大小即可. 【详解】因为，所以；，；，；所以. 故选：D 7. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 考点：平面向量数量积的运算 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分. 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据必要不充分条件的概念逐个分析可得答案. 【详解】A选项，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似， 但两个三角形相似未必全等，故不是的必要条件 B选项，由，无法推出，如，但是.反之成立，即满足是的必要条件； C选项，由，无法得到，如，，时有，但，反之成立； D选项，若，则，即，反之则，满足是的必要条件． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查必要条件的判断，关键是看由能不能推出，若能，则是的必要条件，若不能，则不是的必要条件. 10. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，利用作差法判断B、C、D. 【详解】对于A：当，时，满足且，但，故A错误； 对于B：因为且， 所以，故，故B正确； 对于C：因为，所以，即，故C错误； 对于D：因为， 所以，故D正确． 故选：BD． 11. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，结合函数的性质，利用赋值法逐项计算判断即可得. 【详解】因为， 令，得，因为，所以，故B错误； 令，则，即， 所以，且定义域为，故是偶函数，故A正确； 令，则，所以， 令，则，故C正确； 有，则， 所以函数周期，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点个数为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】令，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果. 【详解】的定义域为， 令，则或，解得或（舍）. 故答案为：1 13. 函数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，将函数化简为，即可得到最大值. 【详解】由题意，， 所以，最大值为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的图像和性质，属于基础题. 14. 设函数，，则函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先化解函数的解析式，再判断函数的单调性，再求函数的值域. 【详解】，， 令，设， 设， ， 因，则，，， 即，， 所以函数在上单调递增，又也为增函数， 所以函数在单调递增，， 所以函数的值域为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）若与共线，求实数k的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先根据向量减法得，再根据向量模的坐标表示得结果； （2）先用坐标化简与，再根据共线关系列方程解得结果. 【详解】（1），. （2），， 与共线， ，解得. 【点睛】本题考查向量模的坐标表示以及根据共线关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 16. 在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点， 求证：（I）直线； （II）． 【答案】（I）证明见解析． （II）证明见解析． 【解析】 【详解】证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点 ． （II），又， 所以． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 18. 已知集合，． （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合，结合集合的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，解得，所以， 又由，解得，可得， 所以，，则. 【小问2详解】 解：由集合，且，可得， 则满足，解得，所以实数的取值范围． 19. 已知函数定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. （1）判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； （2）若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 【答案】（1）与是“利普希兹条件函数”，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给定义推导的正负，即可判断； （2）首先证明对任意的，都有，再由周期性，即可证明对定义域内任意的，均有. 【小问1详解】 由题知，函数的定义域为， 所以， 即， 所以函数是“利普希兹条件函数”； 函数的定义域为， 所以，， 所以， 所以函数是“利普希兹条件函数”； 【小问2详解】 若， 当，则； 若，设， 则 ， 所以对任意的，都有， 因为函数是周期为的周期函数， 所以对任意的，都存在，使得，， 所以， 综上可得对定义域内任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024春德化二中高二数学期末试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 复数的共轭复数是（ ） A B. C. D. 5. 已知平面向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分. 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ） A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 11. 已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点个数为__________. 13. 函数的最大值为________. 14. 设函数，，则函数的值域是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知向量，. （1）求值； （2）若与共线，求实数k的值. 16. 在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点， 求证：（I）直线； （II）． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求周长． 18. 已知集合，． （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 19. 已知函数定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. （1）判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； （2）若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$