精品解析：黑龙江省鸡西市第二中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（A）

2023—2024第一学期期中考试 高一学年数学试卷（A） （试题总分：150分 答题时间：120分钟） 一．选择题（共8小题，每题5分） 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 已知向量，，且，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或－1 4. 设，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 5. 下列判断正确的是（　　） A. 正三棱锥一定是正四面体 B. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥 C. 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱 D. 底面是正方形的棱台是正四棱台 6. 若实数，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 7. 若向量，满足且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 8. 已知，，且，则向量在向量上的投影等于（ ） A. B. 4 C. D. 二．多选题（每小题6分） 9. 复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 10. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若，，则 C. 若，∥，则 D. 若⊥，⊥则// 11. 对于复数，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则为实数 D. 若，则不是复数 二、填空题（每小题5分） 12. 已知向量，，且与垂直，则__________. 13. 已知球的半径为3，则该球的表面积等于__________，则该球的体积等于__________ 14. 在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c. 已知a=3，b=4，，则边c=__________ 三．解答题 15. 计算 （1） （2） （3）. 16. 已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； （1）z为实数； （2）z为虚数； （3）z为纯虚数. 17. 已知，，其中均为实数，且，求. 18. 已知向量，若向量与向量共线，求． 19. 如图，在正方体中，点为棱的中点． 求证：平面． 20. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 21. 如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥. （1）求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积的值. （2）求挖去圆锥后的几何体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024第一学期期中考试 高一学年数学试卷（A） （试题总分：150分 答题时间：120分钟） 一．选择题（共8小题，每题5分） 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】复数的虚部为，即虚部为. 故选：B. 2. 已知向量，，且，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行条件列式求解 【详解】， 故选：A 3. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或－1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零，得到方程（不等式）组，解得即可； 【详解】解：因为复数是纯虚数，所以，解得 故选：C 4. 设，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得； 【详解】解：因为，所以； 故选：D 5. 下列判断正确的是（　　） A. 正三棱锥一定是正四面体 B. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥 C. 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱 D. 底面是正方形的棱台是正四棱台 【答案】C 【解析】 【分析】由正四面体、正四棱锥、正四棱柱、正四棱台的定义辨析，即可判断 【详解】正三棱锥不一定是正四面体，侧棱长与底面边长可能不相等，故A错误； 底面是正方形的四棱锥不一定是正四棱锥，顶点在底面的射影不一定是底面的中心，故B错误； 由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正确； 底面是正方形的棱台不一定是正四棱台，原因是棱台的侧棱延长后的交点在两底面的射影不一定为正方形的中心，故D错误． 故选：C 6. 若实数，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，即可得解. 【详解】因为实数，满足， 所以，则. 故选：B 7. 若向量，满足且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线向量的定义可得，进而计算可求结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：D. 8. 已知，，且，则向量在向量上的投影等于（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义计算可得； 【详解】解：因为，，且， 所以向量在向量上的投影等于； 故选：A 二．多选题（每小题6分） 9. 复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】写出复数对应点的坐标，由点在所象限列不等式组得范围． 【详解】由题意对应的点的坐标为，该点在第四象限，则，解得， 故选：BC． 10. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若，，则 C. 若，∥，则 D. 若⊥，⊥则// 【答案】CD 【解析】 【分析】由线线、线面平行和垂直的判定定理与性质定理逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，，时，直线，可能相交，也可能异面，也可能平行，所以A错误； 对于B，当，时，直线有可能在平面内，所以B错误； 对于C，由线面垂直的判定理的推论可知是正确的； 对于D，由线面垂直的性质定理可知是正确的， 故选：CD 【点睛】此题考查线面平行和垂直的判定定理与性质定理的应用，属于基础题 11. 对于复数，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则为实数 D. 若，则不是复数 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 二、填空题（每小题5分） 12. 已知向量，，且与垂直，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由与垂直，得列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且与垂直， 所以，得. 故答案为： 13. 已知球的半径为3，则该球的表面积等于__________，则该球的体积等于__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据球的表面积公式和体积公式直接求解即可. 【详解】因为球的半径为3， 所以球的表面积为，体积为. 故答案为：， 14. 在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c. 已知a=3，b=4，，则边c=__________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用余弦定理即可求得. 【详解】因为a=3，b=4，， 由余弦定理得： =13, 所以. 故答案为： 三．解答题 15. 计算 （1） （2） （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加减法法则求解； （2）根据复数的乘除法法则求解； （3）根据复数的乘法法则求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 【小问3详解】 . 16. 已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； （1）z为实数； （2）z为虚数； （3）z为纯虚数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念可得，运算求解即可； （2）根据题意结合复数的相关概念可得，运算求解即可； （3）根据题意结合复数的相关概念可得，运算求解即可. 【小问1详解】 若z为实数，则，解得. 【小问2详解】 若z为虚数，则，解得. 【小问3详解】 若z为纯虚数，则，解得. 17. 已知，，其中均为实数，且，求. 【答案】或 【解析】 【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】，，解得：或. 18. 已知向量，若向量与向量共线，求． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算可求的值. 【详解】因为， 所以， 又向量与向量共线， 所以，解得． 19. 如图，在正方体中，点为棱的中点． 求证：平面． 【答案】 正方体中，四边形是正方形， 连接交于，则为中点， 连接OE，由为中点，得：OE为三角形的中位线，     所以，又平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】连接交于，则为中点，连接OE，易知OE为三角形的中位线，应用线面平行的判定证结论. 【详解】略 20. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明:因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】根据题意结合三角形的中位线定理可得，，则由线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】略. 21. 如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥. （1）求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积的值. （2）求挖去圆锥后的几何体的体积. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的表面积公式求出，再求出圆锥的母线，则，即可得解； （2）根据圆柱、圆锥的体积公式计算可得. 【小问1详解】 由题意，知， 挖去圆锥的母线长， 所以. 【小问2详解】 原圆柱的体积， 挖去圆锥的体积， 所以剩余几何体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $