精品解析：宁夏回族自治区贺兰县第二高级中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

贺兰县第二高级中学2023—2024学年第二学期高二年级第一阶段考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：杨璇 审核： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得. 【详解】在数列中，由，，得，，， 因此数列是周期性数列，周期为3， 所以. 故选：A 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求函数在处的导数即可. 【详解】因为， 所以 曲线在点处的切线的斜率为． 故选：B 3. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可. 【详解】由，得或， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由图知，只有C选项的图象符合. 故选：C. 4. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知， 则. 故选：C. 5. 已知是等比数列，，且，是方程两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】因为是等比数列，所以，，又，所以， 又，是方程两根， 所以. 故选：C 6. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲率的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，所以， 所以曲线在处的曲率. 故选：C. 7. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 8. 已知函数，其导函数记为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，变形函数并求出，再探讨导函数的奇偶性作答. 【详解】函数定义域为， 令，则的定义域为，， 又，故是奇函数， 所以，故， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再逐项分析判断即得. 【详解】由，得，，A、B正确； 显然，因此，C错误； ，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 曲线在处的切线的斜率为0 C. 有1个极大值点 D. 有2个极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】结合的图象，根据的正负，判断函数的单调情况，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由导函数的大致图象可知，在上先负后正， 故在上不单调，A错误； 由图象可知，故曲线在处的切线的斜率为0，B正确； 由图象可知从左至右，先正后负再非负，其中最后部分仅在时，， 故函数是先递增后递减再递增，即有一个极大值点和一个极小值点，C正确，D错误， 故选：BC 12. 在数列中，，且，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，可求，的值，判断AC是否正确；利用等比数列的定义判断数列是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断是否为等差数列. 【详解】因为，且， 所以，，A正确，C错误． 因为，所以，又， 所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3， 所以，所以， 所以为等差数列，且公差为，B，D均正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】28 【解析】 【分析】由题可知的公比不为，故成等比数列，列式即可求出答案. 【详解】由题可知的公比不为，故成等比数列， 所以，因为，解得， 故答案为：28 14. 用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数学归纳法的概念、步骤求解即可. 【详解】当时，不等式为， 当时，不等式为. 故答案为：. 15. 已知数列满足：，，则数列的通项公式为___ 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求解通项公式. 【详解】数列满足，， 可得， ， ， ， ……， ， 以上各式相加可得：， 故答案为：． 16. 已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】函数在定义域内为增函数，等价于导函数在定义域内恒大于等于0.分离参数转化为求最值即可. 【详解】定义域为，.函数在定义域内为增函数,也说是在时恒成立，即在时恒成立， 因此可以得到在时恒成立，a也就必须满足：． (当且仅当等号成立). 因此实数的取值范围是． 【点睛】已知函数的单调性求参量的取值范围，解决的方法一般是导函数在区间上恒大于等于零（或者小于等于零），进行常变量分离，通过构造新函数，求出最值，最后求出参变量的取值范围，当然本题是用到基本不等式来求解，这样的题目有时很灵活，可以采用不同的方法来求解． 四、解答题（本大题共6题，17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程； （2）曲线过点的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，求得，，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程； （2）设切点为，求，，再由点斜式方程求得切线方程为，又切线过点，代入可得，带回方程即可得答案. 【小问1详解】 解：因为，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 解：设切点为，则， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以，即，解得， 故所求切线方程为． 18. 已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式； （2）应用裂项相消法，求的前项和即可. 【小问1详解】 由题意，，解得， ∴. 【小问2详解】 由， ∴. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，点，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以. 因为四边形是正方形，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，，又点是棱的中点，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，然后证明平面，得，从而可证得平面，证得线线垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，， 又四边形是正方形，所以. 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，所以，，，，. 设平面的法向量，又，， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的法向量，又，， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 20. 已知函数，且为极值点. （1）求实数的值； （2）判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 【答案】（1） （2）为极大值点，极大值为， 为极小值点，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得解； （2）根据极大值点，极小值点的定义即可判断出极大值点和极小值点，进而可求出极大值和极小值. 【小问1详解】 ， 因为为函数的极值点， 所以，解得， 经检验符合题意，所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，极大值为， 为极小值点，极小值为. 21. 设等比数列的各项都为正数，，前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解通项， （2）根据错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以，， 解得或，因为，所以，. 【小问2详解】 ， 令，前项和为， ①， ②， ①②得：， 所以. 22. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求的单调区间. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可； （2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 ，定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺兰县第二高级中学2023—2024学年第二学期高二年级第一阶段考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：杨璇 审核： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 已知是等比数列，，且，是方程两根，则（ ） A. B. C. D. 6. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 7. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其导函数记为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 曲线在处的切线的斜率为0 C. 有1个极大值点 D. 有2个极小值点 12. 在数列中，，且，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 等比数列的前项和为，若，则__________. 14. 用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为__________. 15. 已知数列满足：，，则数列的通项公式为___ 16. 已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为_________ 四、解答题（本大题共6题，17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程； （2）曲线过点的切线方程. 18. 已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，点，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知函数，且为极值点. （1）求实数的值； （2）判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 21. 设等比数列的各项都为正数，，前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 22. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求的单调区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $