精品解析：浙江省金华市第六中学2022-2023学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

金华市第六中学2022学年第二学期高二年级第一次阶段考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上. 选择题部分（共60分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据瞬时变化率的求解方法即可求解. 【详解】 故选：A 2. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可判断A，根据初等函数的性质可判断BC，将改写成分段函数易知该函数的单调性，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域是R，且，是R上的增函数，满足题意； 对于B，函数是R上的减函数，不满足题意； 对于C，函数的定义域是，不满足题意； 对于D，函数在定义域R上不是单调函数，不满足题意． 故选：A． 3. 甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边（两人可以不相邻），则不同的站法有（ ） A. 24种 B. 12种 C. 18种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】由于四个同学站成随机一排，甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等，从而可求出结果 【详解】四个同学站成随机一排，甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等， 故站法一共有种． 故选：B 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数在上是增函数 B. C D. 是函数的极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图像，可求得函数的单调区间，再根据极值点的定义逐一判断各个选项即可得出答案. 【详解】解：根据函数的导函数的图象， 可得或时，，当或时，， 所以函数和上递减，在和上递增， 故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 是函数的极大值点，故D错误. 故选：B. 5. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 6. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果. 【详解】设，则，因为，所以在上单调递减. 因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为. 故选：B. 7. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】由题意，甲获得冠军的概率为， 其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为， ∴所求概率为. 故选：B. 8. 已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，把问题转化为，再求出函数，最大值，列式计算作答. 【详解】因为对于任意的，存在，使，则， 显然在上单调递减，则， 当时，，即在上单调递增，则， 由解得：， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，故. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的的2分. 9. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 故D正确. 故选：BD. 10. 对于，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用排列、组合数公式及性质，依次判断选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质即可知，故B正确； 对于C，因为右边左边，故C正确； 对于D，因为， ， 又因为， 所以当时，， 当时，， 故D错误. 故选：ABC. 11. 一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲､乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 甲､乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 D. 甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先计算出，，由可得，事件A，B相互独立，由条件概率即可判断A、B选项；计算出甲、乙都评为“智答能手”的概率和甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率，结合对立事件即可判断C、D选项. 【详解】由题意，可得，，由， 所以，事件A，B相互独立，所以，故A正确； ，由条件概率的性质得，故B正确； 因为事件A，B相互独立，所以A与，与，与也都相互独立.甲、乙都评为“智答能手”的概率， 所以甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为，故C错误； 甲､乙都没有被评为“智答能手”的概率， 所以甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为，故D正确. 故选：ABD. 12. 已知函数在处的切线与直线平行，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数恰有两个不同的极值点 C. 对任意实数，函数总有个不同的零点 D. 不等式对任意恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得出，可求得的值，可判断A选项；求出函数的极值点，可判断B选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项；利用作差法结合导数法可判断D选项. 【详解】因为，则， 因为函数在处的切线与直线平行， 所以，，此时，则， 此时点不在直线上，合乎题意，A对； 对于B选项，，则， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数有两个极值点，B对； 对于C选项，由B选项可知，函数的极大值为，极小值为， 且当或时，，当时，， 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 此时函数总有个不同的零点，C错； 对于D选项，对任意的，， 所以，， 令，其中，则， 所以，函数在上为减函数，则当时，， 所以，当时，，即，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 非选择题部分（共90分） 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. ，，则等于 【答案】16 【解析】 【分析】根据公式即可得到答案. 【详解】由于， 故答案为：16 14. 展开式中的常数项为______． 【答案】##0.9375 【解析】 【分析】根据二项式展开公式得到，令上的指数为0，得到值，再代入回去得到常数值. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 , 令,解得, 则展开式的常数项为, 故答案为：. 15. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占， 在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 则小张决定采购该企业产品的概率； 故答案为：． 16. 已知，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，点在曲线上，点在直线上，由两点之间距离公式得，故可知的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后利用导数求出曲线的切点，最后利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为， 所以点在曲线上， 因为， 所以点在直线上， 所以， 所以， 如图所示，的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方， 由得，， 因为与平行的切线斜率为， 解得（舍去）或， 把代入，得， 所以切点为， 切点到直线的距离为：， 所以， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了代数和的最小值的求法，解题的关键是分析出的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后需要利用导数求切点以及点到直线的距离公式. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对二项式及其展开式赋值即可得解. （2）由二项式系数和为即可求解. （3）先通过展开式的通项公式得到关于是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正，接着赋值求得，进而去绝对值符号后即可得解. 【小问1详解】 因为 所以令，则有，即. 【小问2详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数之和为1024， 所以有， 所以. 【小问3详解】 由（2）可得， 其展开式的通项公式为， 所以是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正， 又当时，， 所以. 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值． （1）求的解析式； （2）求在上的单调区间和最小值． 【答案】（1）32；（2）单调增区间是和，单调减区间是；最小值为． 【解析】 【分析】（1）由求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数在时有极值即可列出关于的方程，求得的值，从而得到的表达式； （2）先求函数的导数，通过，及，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可． 【详解】（1），， 曲线在点P处的切线方程为， 即， 又已知该切线方程为， 所以，即， 因为在处有极值， 所以，所以， 解方程组得， 所以. （2）由（1）知 令，得，， 当时，； 当时，； 当时，， 所以的单调增区间是和，单调减区间是. 因为，极小值. 所以在区间上的最小值为. 19. 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表： 维修次数 0 1 2 3 台数 m 10 40 n 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P（X＝0）＝0.01. （1）求实数m，n的值； （2）求X的分布列； （3）以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？ 【答案】（1），；（2）分布列见解析；（3）元时，方案一合算，时，方案二合算，时，两种方案一样． 【解析】 【分析】（1）由可得，再得出的值， （2）的可能值为，分别求得概率，得概率分布列， （3）由期望公式得出期望．可得两种方案的总费用，比较后可得结论． 【详解】（1）由，解得，∴； （2）依题意的可能值为， 由题意一台机器维修次数为，概率为，，，， ， ， ， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 4 5 6 （2）由（1）方案一维修费用期望值为 方案一总费用为（元）， 方案二维修费用期望值为 方案二总费用为（元）． ，，时，，时，， ∴元时，方案一合算，时，方案二合算，时，两种方案一样． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查了随机变量的数学期望，用样本估算总体．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力． 20. 已知函数. （1）若函数在上为增函数，求的取值范围； （2）若在的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的导函数，由的单调性知在上恒成立，参变分离得，最后由定义域即可得解； （2）由得原函数的极值点，根据与给定区间端点值的大小关系分为三种情况：、和讨论，分析不同情况下，原函数在区间上的单调性，由单调性求得原函数在上的最小值，由最小值等于解得的值即可． 【小问1详解】 由题意得， 因为在上为增函数， 所以在上恒成立， 又因为， 所以在上恒成立， 即， 因为， 所以， 所以， 故的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）知，， 令得，， ①当，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 解得，（舍去）； ②当，即时， 令，得， 令，得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 解得； ③当，即时，在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 解得（舍去）； 综上，的值为. 21. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第两题的难度较大，第题正确选项为，第题正确选项为.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的. （1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为分的概率； （2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据相互独立事件的概率公式，分别求出和的分布列，再结合数学期望和方差公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为甲同学两题得分合计为分，且甲同学每题均随机选取项， 所以题可能的选择有、共种，题可能的选择有：共种， 所以甲同学两题得分合计为分. 【小问2详解】 甲同学的两题得分可能的取值为：， ， ， ， 所以的分布列为： 所以， ， 乙同学第题得分可能的取值为：， ，， 乙同学第题得分可能的取值为：， ，， 乙同学的两题得分可能的取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 22. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市第六中学2022学年第二学期高二年级第一次阶段考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上. 选择题部分（共60分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 2. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边（两人可以不相邻），则不同的站法有（ ） A 24种 B. 12种 C. 18种 D. 9种 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数在上是增函数 B. C. D. 是函数的极小值点 5. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 6. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 7. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的的2分. 9. 下列求导运算中正确的是（ ） A B. C. D. 10. 对于，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲､乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 甲､乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 D. 甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 12. 已知函数在处的切线与直线平行，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数恰有两个不同极值点 C. 对任意实数，函数总有个不同的零点 D. 不等式对任意恒成立 非选择题部分（共90分） 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. ，，则等于 14. 展开式中的常数项为______． 15. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 16. 已知，则最小值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值． （1）求的解析式； （2）求在上的单调区间和最小值． 19. 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表： 维修次数 0 1 2 3 台数 m 10 40 n 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P（X＝0）＝0.01. （1）求实数m，n的值； （2）求X的分布列； （3）以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？ 20. 已知函数. （1）若函数在上为增函数，求的取值范围； （2）若在的最小值为，求的值. 21. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第两题的难度较大，第题正确选项为，第题正确选项为.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的. （1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为分的概率； （2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求. 22. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $