2024年九年级中考数学函数专题学案-反比例函数必会的四大内容

中考数学函数专题-反比例函数必会的四大内容 3.1 反比例函数的概念 知识梳理 知识点 1 反比例函数的概念 一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点2 反比例函数的三种常见形式 特别提醒：判断反比例函数时，先辨形式，再定自变量次数，勿忘k≠0. 典型例题 例1 下列函数是反比例函数的是 ( ) 解析：A.y是x的一次函数，选项A错误；B.y是x的反比例函数，选项B正确；C.当k=0时，该函数不是反比例函数，选项C错误；D.不符合反比例函数的形式，选项D错误. 答案: B 例2 (1)若 是反比例函数，则m的值是 ( ) A. m=1 B. m=-1 C. m=±1 D. m≠--1 (2)若 是反比例函数，则m的值为 . 解析：(1)由题意，得 且m+1≠0,解得m=1. (2)由题意,得m-1≠0,且|m|=1,解得m=--1. 答案:(1)A (2)-1 强化训练 1.有下列函数：①y=x-2;②y=-₁ ;③y= 其中y是x的反比例函数的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.若函数 是反比例函数，则a的取值范围是 . 3.已知函数 (1)若y是关于x的正比例函数，求m的值； (2)若y是关于x 的反比例函数，求m的值，并写出此时y关于x的函数解析式. 3.2 利用待定系数法求反比例函数的解析式 知识梳理 利用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤： (1)设：设反比例函数的解析式为 (2)列：将反比例函数图象上已知的一点A(x，y)代入，列出关于k的一元一次方程； (3)解：解一元一次方程，求出k的值； (4)代：把k的值代入 中，确定反比例函数的解析式. 典型例题 例1 已知A(-1，2)是某个反比例函数图象上的一点，求该反比例函数的解析式. 解：设该反比例函数的解析式为 ∵A(-1，2)是其函数图象上的一点， 解得k=-2, ∴该反比例函数的解析式为 例2 已知y与x²成反比例,并且当x=3时,y=4. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=1.5时,求y的值; (3)当y=6时,求x的值. 解:(1)∵y与x²成反比例,∴设 ∵当x=3时,y=4, 解得k=36, (2)由(1),知 当 时, (3)由(1),知 ∴当 时, 解得 强化训练 1.已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=3，则该函数的解析式是 ( ) A. y=6x 2.已知变量x，y之间的关系如表所示，则y关于x的函数解析式为 ( ) x … —3 -2 -1 1 2 3 y 1 1.5 3 —3 -1.5 -1 3.已知某矩形的面积为20m²，设它的长为ym，宽为xm，则y关于x的函数解析式是 ( ) B. y=20x C. y=20+x D. y=20-x 4.如图,已知A(8,0),B(6,6),以OA,AB为边作□OABC.若某反比例函数的图象经过点C，则这个反比例函数的解析式为 . 5.某个反比例函数的图象经过点((m, ),则这个反比例函数的解析式为 . 6.(2022·陕西中考)已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图象上，点 A'与点 A 关于y 轴对称.若点A'在正比例函数. 的图象上，则这个反比例函数的解析式为 . 7.已知y+3与x成反比例,且当x=2时,y=3，则y关于x 的函数解析式为 . 8.已知y与x 成反比例，且当 时, (1)求y关于x的函数解析式； (2)当 时，求y的值. 9.某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，已知完成任务的时间y(h)是参加植树的人数x的反比例函数,且当x=20时,y=3. (1)当x=80时,求y的值; (2)如果1.5 h恰好完成任务，那么需要多少人参加植树? 3.3 反比例函数的图象与性质 3.3.1 画反比例函数的图象 探究图象 1.画出下列反比例函数的图象： 一般步骤：列表、描点、连线 x … -4 -2 -1 — 1 2 4 … y=-2/ … … x … -6 -3 --2 -1 1 2 3 6 … y=-6x … … x … --4 --2 -1 — 12 1 2 4 … y … … x … --6 --3 -2 -1 1 2 3 6 … y=6x … … 2.观察所画图象，回答下列问题： (1)反比例函数的图象由 条 (填“直”或“曲”)线组成，它是双曲线. (2)图1的函数图象(k 0)：①图象都是经过第 、 象限的双曲线，在每个象限内，图象从左向右呈 (填“上升”或“下降”)趋势，即y随x的增大而 (填“增大”或“减小”); ②k值越 (填“大”或“小”)，图象离原点越远. (3)图2的函数图象(k 0)：①图象都是经过第 、 象限的双曲线，在每个象限内，图象从左向右呈 (填“上升”或“下降”)趋势，即y随x的增大而 (填“增大”或“减小”); ②k值越 (填“大”或“小”)，图象离原点越远. 3.3.2 反比例函数的性质 探究图象 观察上节所画的反比例函数图象，我们可以发现以下规律： (1)当k>0时，在每个象限(第一、三象限)内，曲线从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限(第二、四象限)内，曲线从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大. (2)|k|越大，图象离原点越远. 根据以上规律，填写下表并补全函数图象. y= kx(k≠0) k的符号 k>0 k<0 图象 所在象限 第_______象限 第_________象限 性质 在每个象限内，y随x的增大而_______ 在每个象限内，y随x的增大而______ 思考：反比例函数的图象经过原点吗?与坐标轴有交点吗?为什么? 思路：不经过原点，与坐标轴也没有交点.因为在反比例函数 中,x 0,y 0,所以图象不经过原点，只是逐渐靠近坐标轴，但与坐标轴永不相交. 典型例题 例1 (1)反比例函数 的图象可能是 ( ) (2)关于反比例函数 下列说法不正确的是 ( ) A.函数图象位于第一、三象限 B.当x>0时，y随x的增大而减小 C. 函数图象经过点(1,5) D. y随x的增大而减小 解析：(1)∵k=6>0，∴函数图象分布在第一、三象限，如图所示. (2)A.k=5>0,∴函数图象位于第一、三象限,此选项正确;B.当 时，y随x的增大而减小，此选项正确;C.∵当x=1时, ，∴函数图象经过点(1，5)，此选项正确；] ∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，此选项错误. 答案:(1)C (2)D 例2 若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系为 ( ) 一题多解 方法1：代入求值 ∵点M(-3,y₁),N(-2,y₂),H(1,y₃)都在反比例函数 的图象上，∴将M，N，H三点的横坐标分别代入函数解析式，得 方法2：数形结合 ∴反比例函数 的图象分布在第一、三象限.如图，画出函数大致图象，描出点M，N，H的大致位置，观察图象可得. 方法3：利用函数增减性判断 ∵k=12>0,∴反比例函数 的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.∵1>0，∴点H在第一象限的分支上， ∴点M，N在第三象限的分支上， 答案:C 归纳总结 比较反比例函数的函数值大小的三种方法 1.代入求值：把自变量x的值代入函数解析式中求出y的值，然后进行比较；若系数k与自变量x的值都不确定，可在相应的范围内取特殊值，然后求值比较. 2.数形结合：根据系数k的取值范围画出简图，并描出相关的点，然后由点的相对位置确定函数值的大小. 3.利用函数增减性判断：当两个点在双曲线的同一个分支上时，可利用反比例函数的增减性进行比较. 强化训练 1.若反比例函数 的图象经过点(-3,1),则下列说法错误的是 ( ) A. k=-3 B.函数图象在第二、四象限 C.函数图象经过点(3,-1) D.当x>0时，y随x的增大而减小 2.已知· 则函数 的图象大致是 ( ) 3.在反比例函数 的图象的每一支上，y都随x 的增大而减小，则k的取值范围是 ( ) A. k>1 B. k>0 C. k<1 D. k<0 4.(一题多解)在反比例函数 (k为常数)的图象上有三个点(-3,y₁),(--1,y₂),( ,y₀),，则函数值y₁，y₂，y₃的大小关系为 ( ) 5.已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，且整式 是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 . 6.已知点(3,a),(4,b)在反比例函数 的图 象 上,若 a >b,则 k 的 取 值 范 围是 . 7.反比例函数 的图象如图所示，则k的取值范围是 . 8.反比例函数 图象的一支如图所示,k₁,k₂,k₃的大小关系是 .(用“<”号连接) 9.反比例函数 图象的一支如图所示.根据图象，回答下列问题： (1)反比例函数图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么? (2)若.A(m-3,b₁),B(m-4,b₂)是该反比例函数图象上的两点，请判断b₁与b₂的大小关系，并说明理由. 3.3.3 反比例函数的对称性 探究图象 动手操作：如图1，以反比例函数 为例，折一折，画一画，回答下列问题. 1.如图2、图3，反比例函数 的图象是轴对称图形，有 条对称轴： 一条是第一、三象限的角平分线，即直线 ； 另一条是第二、四象限的角平分线，即直线 . 2.如图4，反比例函数 的图象是中心对称图形，对称中心为 . 若反比例函数的图象上有一点M(a，b)，则它关于原点的对称点M'( )也在函数图象上. 总结 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线. 和直线. 一x，对称中心为原点. 典型例题 例1 若P(m+1,7),Q(4,n)是正比例函数: 与反比例函数 的图象上的两个不同的交点,则m+n= . 解析：由题意，得点P，Q关于原点对称， ∴m+1=-4,n=--7,解得 ∴m+n=-12. 答案: 一12 例2 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心为原点O，一组对边与x轴平行.已知P(4a，a)是反比例函数 的图象与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k的值为 ( ) A.16 B.1 C.4 D.-16 解析：如图. ∵图中阴影部分的面积等于16, ∵点P的坐标为(4a,a), ∴4a·4a=16, 解得a=1或a=-1(舍去), ∴点 P的坐标为(4,1). 把P(4,1)代入 得k=4×1=4. 答案: C 强化训练 1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A.等边三角形 B.双曲线 C.抛物线 D.平行四边形 2.如图，直线l与双曲线交于A，C两点，将直线l绕点O顺时针旋转α(0°<α≤45°),与双曲线交于B，D两点，则四边形ABCD的形状一定是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.任意四边形 3.(2021·淮安中考)如图,正比例函数. 和反比例函数. 的图象相交于A，B两点. 若点 A 的坐标是(3,2),则点 B 的坐标是 . 4.已知正比例函数y=kx与反比例函数 的图象交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)i两点，则式子 的值是 . 5.如图,P(-2a,a)是反比例函数 的图象与⊙O的一个交点.若图中阴影部分的面积为5π，则该反比例函数的解析式是 . 3.3.4 反比例函数中k的几何意义———单k模型 探究图象 知识点 1 单一象限内k的几何意义的应用 设 P(x,y)是双曲线 上的任意一点，则. 或 (1)如图1，过点 P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则 (2)如图2,过点 P 作x轴的垂线,垂足为A,连接OP,则 (特别提醒：过点 P作y轴的垂线，其结论仍然成立) (3)如图3，C为y轴上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，过点C作AP 的垂线，垂足为H，连接CP,CA,则 3. 知识点2 不同象限内k的几何意义的应用 设P，P₁是双曲线 不同象限上的两点，且点 P， 关于原点对称.设点 P 的坐标为(x，y),则点. 的坐标为( (4)如图4，过点P作x轴的垂线，过点 作y轴的垂线，交于点 A，连接 则 (5)如图5,过点. 作y轴的垂线，垂足为C，过点 P 作. 交 的延长线于点A，连接PP₁,PC,则 (6)如图6,过点. 作x轴的垂线，垂足为C，过点 P 作. 交 的延长线于点A，连接PP₁,PC,则 典型例题 例1 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，边CD在x轴上，点B在y轴上，点A在反比例函数 的图象上.若 ,则k= . 解析:如图,过点A作AE⊥CD于点E,∴∠AED=∠BOC=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,BC∥AD, ∴∠ADE=∠BCO,∴△AED≌△BOC(AAS), ∴k=6. 答案: 6 例2 如图，已知双曲线 的一支经过Rt△OAB 的斜边OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点C,连接OC.若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为 . 解析:∵D是OA的中点,点A的坐标为(-6,4), ∴点D的坐标为(-3,2). ∵双曲线 的一支经过点D， 由题意,得B(-6,0),∴OB=6,AB=4, 答案:9 归纳总结 1.已知反比例函数求图形的面积，关键是确定相关点的坐标.若坐标可求，图形面积易得；若坐标不可求，可利用k的几何意义，也可设出点的坐标用式子表示. 2.确定反比例函数的解析式时，若无法直接求出其图象上某点的坐标，则可以过图象上某点向坐标轴作垂线，求出相应图形的面积，从而确定k的值，注意k的符号. 强化训练 1.如图，P是反比例函数. 的图象上的一点,PA⊥y轴,垂足为A,PB⊥x轴,垂足为 B.若矩形 PBOA的面积为6，则k的值是 ( ) A.3 B.—3 C.6 D.—6 2.反比例函数 的图象如图所示，则△ABC的面积为 ( ) A. B. C.3 D.6 3.如图，A，B 是反比例函数 图象上关于原点对称的任意两点,且 BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则S= . 4.如图,平行四边形OABC的边OA 在x轴上,顶点 C在反比例函数 的图象上，BC与y轴相交于点D，且D为BC的中点.若 S▱OABC=6,J,则k= . 5.如图，反比例函数 的图象经过点A(2,2), B(4,m),则△AOB 的 面积为 . 6.如图，在反比例函数 的图象上有点P₁,P₂,P₃,…,它们的横坐标依次为1,2,3，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁,S₂,S₃,…,则 的结果为 . 3.3.5 反比例函数中k的几何意义———双k模型 探究图象 设 是双曲线 上任意一点， 是双曲线 上任意一点， AB平行于x轴或y轴. (1)如图1，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C，过点B作y轴的垂线，垂足为E.由单k模型可知，则 (2)如图2，过点 B 作x 轴的垂线，垂足为 C.由单k模型可知， 则 (3)如图3，过点B作y轴的垂线，垂足为C.由单k模型可知，S 则 (4)如图 4,由单 k 模型可知, 则 .若C为y轴上任意一点，因为△ABC与 同底等高，所以 典型例题 例1 双曲线 和 如图所示，A 是( 上一点，分别过点 A 作 轴, 轴,垂足分别为B,C,AB与( 相交于点D.若 的面积为2，则k的值为 ( ) A.3 B.5 D.-5 解析： 解得k=5或 ∵双曲线C₁ 位于第二象限， ∴--k<0,则k>0, ∴k=5. 答案: B 例2 如图，A 是反比例函数 的图象上任意一点， 轴交反比例函数 0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，点C，D在x轴上，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:如图,连接OA,OB,AB交y轴于点E. ∵AB∥x轴,∴AB⊥y轴, ∵四边形ABCD为平行四边形， 答案: D 强化训练 1.反比例函数 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交函数图象于点A,B,连接OA,OB,则△AOB的面积为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(一题多解)如图，平行于x轴的直线与函数 的图象分别交于 A，B 两点，且点 A 在点 B 的右侧，在x轴上取一点C，使得△ABC的面积为3,则a-b的值为 ( ) A.6 B. -6 C.3 D.-3 3.如图，反比例函数 和 (其中k₁>k₂>0)在第一象限内的图象依次是C₁，C₂.已知点 P 在C₁上,PC⊥x轴于点C,交C₂于点A,PD⊥y轴于点D,交C₂于点 B,下列说法正确的是 ( ) ①△ODB与△OCA的面积相等; ②四边形 PAOB的面积始终等于矩形OCPD 面积的一半，且为 ③PA与PB 始终相等; ④当 A 是 PC 的中点时,B 一定是 PD 的中点. A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 4.如图,平行四边形OABC的顶点O,B在y 轴上，顶点 A在 的图象上，顶点C在 的图象上，则平行四边形OABC的面积是 . 5.(2021·巴中中考)(一题多解)如图,垂直于x轴的直线与函数 和 0)的图象分别交于A，B两点，OA 交函数 的图象于点C,连接CD.若△OCD的面积为2,则k= . 3.3.6 反比例函数与一次函数的综合应用 探究图象 知识点 1 图象共存问题 函数图象的位置由其解析式中各系数的符号确定：对于含有两个函数图象信息的选择题，系数不确定时，常采用排除法解题，即对两个函数的图象进行综合判断，排除相矛盾的选项，从而得到正确的答案；系数确定时，可以直接利用系数与图象的关系进行判断，从而得到正确的答案. 特别提醒：在同一问题中，相同字母表示的数值相同. 知识点2 已知函数解析式求交点坐标(或已知交点坐标求函数解析式) (1)当已知两个函数的解析式，求图象的交点坐标时，可以根据函数与方程的关系，将两个函数解析式联立，求方程组的解即可； (2)当已知函数图象的交点坐标，求函数的解析式时，一般做法是先由待定系数法确定系数只有一个的反比例函数的解析式，再确定一次函数的解析式. 知识点 3 已知函数值大小求自变量的取值范围 已知反比例函数 与一次函数 相交于点A，B，点 A 的坐标为( 点 B的坐标为(m₂,n₂).当 时，求x的取值范围；当. 时，求x的取值范围. 第一步 求交点坐标(若交点坐标为已知条件，此步可跳过) 第二步 画三线分四区 如图，过点A，B分别作平行于y轴的直线，这两条平行线与y轴将平面直角坐标系分成四个区域，即①②③④区,简称“三线四区”. 第三步 比高低，谁高谁大 典型例题 例1 在同一平面直角坐标系中，反比例函数. 与一次函数y=kx--k(k为常数,且 的图象可能是 ( ) 解析:当k>0时,一k<0,∴反比例函数 的图象在第一、三象限，一次函数. 的图象经过第一、三、四象限，故选项A，D不符合题意； 当k<0时,-k>0,∴反比例函数 的图象在第二、四象限，一次函数. 的图象经过第一、二、四象限，故选项C不符合题意，选项B符合题意. 答案: B 例2 如图，已知反比例函数 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点 ，则关于x的不等式 的解集为 ( ) A.-6<x<0或x>3 B.-2<x<0或x>1 C. x<-6或0<x<3 D. x<-2或0<x<1 解析：如图，画三线分四区. 观察图象可得，在区域①③，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 此时，对应x的取值范围为x<-2或0<x<1 答案: D 例3 如图，一次函数. 的图象与反比例函数 的图象交于点A(2,1),B,与x轴交于点C,连接OA,OB. (1)求m和k的值; (2)求点 B的坐标和△AOB的面积. 强化训练 1.反比例函数 与一次函数y=kx--3在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 2.如图，反比例函数 与一次函数y₂=x+4的图象交于A,B两点.当x<0时,关于x的不等式 的解集为 ( ) A. x<-3 B.-1<x<0 C.-3<x<-1 D. x<-3或-1<x<0 3.(一题多解)如图，已知反比例函数 0)与一次函数y=x+1的图象交于点 M(a，b),则式子 的值为 ( ) A.-1 B.-2 C.-5 D.5 4.如图，反比例函数 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A,B,点A的坐标为(2,6),点 B 的坐标为(n,1). (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)E为y轴上的一个动点，若S△AEB=5,求点E的坐标； (3)直接写出关于x的不等式 的解集. 3.4 反比例函数的应用 3.4.1 建立反比例函数模型解决实际问题 知识梳理 用反比例函数模型解决实际问题的步骤 (1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； (2)设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示； (3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； (4)写：写出函数解析式，并注明解析式中自变量的取值范围； (5)解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 特别提醒：实际问题转化为数学问题，建立反比例函数模型求解. 典型例题 例1 某商场销售一批进价为2元/张的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(张)之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)在销售过程中，物价局规定此贺卡的单价不能超过10元，但商场也不能赔钱销售，那么y关于x的函数解析式为 ，自变量x的取值范围是 . (2)若某天的日销售单价为10元，求这天的日销售量和销售利润. 解:(1)由表格可得, xy=60,∴y关于x的函数解析式为 ∵物价局规定此贺卡的单价不能超过10元，但商场也不能赔钱销售，∴2≤x≤10. 故答案为 (2)把x=10代入 得 销售利润为 (元). 答：这天的日销售量为6张，销售利润为48元. 例2 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.试验期间，某天的恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度. 与时间x(h)之间的函数关系如图所示，其中线段AB，BC表示恒温系统的开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统的关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题： (1)求y关于. 的函数解析式. (2)已知一种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前大棚内的温度是 ，则这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长? (3)若大棚内的温度低于 时蔬菜会受到伤害，则一天内恒温系统最多可以关闭多长时间，才能避免蔬菜受到伤害? 解：(1)设双曲线CD的函数解析式为 把C(10,20)代入,得 ，∴双曲线CD的函数解析式为 (2)设AB段的函数解析式为. 把(0,10),(5,20)代入,得 解得 ∴AB段的函数解析式为. 在y=2x+10中,令y=12,得12=2x+10,解得x=1. 在 中,令y=12,得 解得 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 (3)把y=10代入 得.x=20,∴20-10=10(h). 答：一天内恒温系统最多可以关闭10h，才能避免蔬菜受到伤害. 归纳总结 利用反比例函数模型解决实际问题的注意事项 1.注意自变量和函数值的实际意义. 2.若把问题中出现的不等关系转化成相等关系来解，需在作答中说明. 强化训练 1.验光师测得几组近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表所示，根据表中数据，可得y关于x的函数解析式为( ) 2.某学校要种植一块面积为 的长方形草坪，要求相邻两边的长均不小于 10 m，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)变化的图象可能是 ( ) 近视眼镜 的度数y/度 200 250 400 500 1 000 镜片 焦距x/米 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 3.为做好开学准备，某学校对教室进行喷雾消毒.已知喷雾阶段教室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,喷雾完成后y与x成反比例，函数图象如图所示.当每立方米空气中的含药量低于1.6m g时，对人体无毒害作用，则下列说法正确的是( ) A.每立方米空气中的含药量从6 mg 上升到8 mg 需要 2 min B.每立方米空气中的含药量下降的过程中，y关于x的函数解析式是 C.为了确保对人体无毒害作用，从喷雾开始20 min后学生才能进入教室 D.每立方米空气中的含药量不低于 4mg 的持续时间为 7.5 min 4.已知甲、乙两地相距200n mile，一艘轮船从甲地驶往乙地，设轮船的航行时间为t(h)，航行的平均速度为v(n mile/h). (1)求v关于t的函数解析式； (2)若航行的平均速度为40 n mile/h,则该轮船从甲地行驶到乙地需要多长时间? 5.(2022·广州中考)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(单位：m³)的圆柱形天然气储存室，已知储存室的底面积S(单位：m²)与深度d(单位：m)是反比例函数关系，其图象如图所示. (1)求储存室的容积V； (2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S 的取值范围. 3.4.2 建立反比例函数模型解决跨学科问题 知识梳理 要熟练掌握物理等跨学科中的一些具有反比例函数关系的公式.如： 电流I、电阻R与电压U之间的关系为IR=U(U为定值)； 受力面积S、压强 p与压力F之间的关系为pS=F(F为定值)； 气体质量m、气体的密度ρ与体积V之间的关系为ρV=m(m为定值)； 阻力和阻力臂之积K、动力F与动力臂l 之间的关系为Fl=K(K 为定值)； 用电器两端的电压的平方U²、用电器的功率P 与电阻R 之间的关系为. 为定值). 典型例题 例1已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，其图象如图所示. (1)求电流I与电阻R 之间的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过6 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围? 解：(1)设电流Ⅰ与电阻R之间的函数解析式为 把(9,4)代入 得 解得k=36, ∴电流Ⅰ与电阻R 之间的函数解析式为 (2)在 中,令I=6,得 解得R=6(Ω). ∵电流不能超过6A，由函数图象可得，R≥6Ω，∴用电器的可变电阻应控制在大于或等于6Ω. 例2 小伟根据杠杆原理(阻力×阻力臂=动力×动力臂)用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 500 N 和0.6 m. (1)动力F和动力臂l之间有怎样的函数关系?当动力臂l为1.5m 时，撬动石头至少需要多大的动力 F? (2)若要使动力 F不超过(1)中所用力的 ，则动力臂l至少要加长多少米? 解:(1)由题意,得1500×0.6=Fl,即 当动力臂 l为1.5m 时，撬动石头需要的动力 答：动力F和动力臂l之间的函数解析式为 当动力臂 l 为1.5m 时，撬动石头至少需要 600 N 的动力 F. (2)当动力F不超过(1)中所用力的 ,即F≤400N时, 解得l≥2.25(m),∴动力臂l至少要加长2.25—1.5=0.75(m). 答:动力臂l至少要加长0.75 m. 强化训练 1.在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示.点 P(4，3)在其图象上，则当力达到10 N时，物体在力的方向上移动的距离是 ( ) A.1. 2m B.1m C.0.6 m D.0.12 m 2.已知图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度可以通过调节总电阻控制电流的变化来改变.该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，其图象如图 2 所示，且点 P(880，0.25)在其函数图象上.根据所给信息，下列说法正确的是 ( ) A.当R<0.25时,I<880 B.I关于R 的函数解析式为 C.当R>1000时,I>0.22 D.当 880<R<1 000 时,I 的取值范围是0.22<I<0.25 3.已知输出电压U(V)与输出电流I(A)的乘积等于输出功率P(W)，且通常把某发电站在某时间段的输出功率看作恒定不变的.若某水电 站的输出功率 P 为5×10⁵ W，请写出输出电压U关于输出电流I 的函数解析式，并求出当输出电压U=5 000 V时,输出电流 I 是多少. 4.某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p(kPa)与气体的体积V(m³)成反比.当气体的体积V=0.8 m³时,气球内气体的压强 p=112.5 kPa. (1)当气体的体积为1 m³时，气球内气体的压强是多少? (2)当气球内气体的压强大于 150 kPa时，气球就会爆炸.问：气球内气体的体积应不小于多少，气球才不会爆炸? 学科网（北京）股份有限公司 $$