精品解析：安徽省淮南市寿县长青中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

2022-2023学年淮南市寿县长青中学 九年级（下）数学期中试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. 如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【详解】解：由图可知，在中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 2. 定义新运算：，例如，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义得到，则函数的图象是由双曲线在第二象限的图象以及双曲线在第一象限的图象组成，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴函数的图象是由双曲线在第二象限的图象以及双曲线在第一象限的图象组成， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义和反比例函数图象，解题的关键是根据题意写出函数的表达式． 3. 下列正多边形中，内角和是的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和等于，逐一进行计算，即可得出结论． 【详解】解：A、等边三角形的内角和为：，不符合题意； B、正方形的内角和为：，不符合题意； C、正五边形的内角和为：，符合题意； D、正六边形的内角和为：，不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的应用，通过证明，得出求出，再由是的中位线求出结果． 【详解】解：在正方形正方形中， ，， ∴， 又∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵在正方形正方形中，， ∴， ∴，即：， ∴， 又∵点M，N分别是和的中点， ∴， 故选A． 5. 若把分式中的都扩大原来的倍，则该分式的值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 缩小原来的 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，将都扩大原来的倍，在进行化简计算即可． 【详解】解：根据题意得，变形得，， ∴扩大为原来的倍， 选项，扩大为原来的倍，不符合题意； 选项，扩大为原来的倍，符合题意； 选项，不变，不符合题意； 选项，缩小原来的，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的性质，化简，掌握分式的性质是解题的关键． 6. 已知△ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是(　　) A. 6＜L＜36 B. 10＜L≤11 C. 11≤L＜36 D. 10＜L＜36 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组求出x的取值范围，再根据三角形的周长定义求解即可． 【详解】根据三角形的三边关系可得 ， 解得：＜x＜6， L=2x+1+3x+5=5x+6， 所以，10＜L＜36， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，根据三边关系列出不等式组求出x的取值范围是解题的关键． 7. 如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中线， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值是线段的长， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线）分别交于点P、Q、若，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴，轴，设，则有，可求，，从而可求，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，轴， 设，则有， 由得：，， ， ，，， ， ， 在中： ， 同理可求：； ， ， 整理得：， 即：， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，勾股定理，理解的几何意义掌握勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，如图所示，分析出菱形的周长最小时的位置，再由含的直角三角形性质，可判断，过作，如图所示，在中，根据勾股定理得到，最后由菱形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过作，如图所示： 在菱形中，，， 设，则， ， ， ， ， ，即菱形边长最小是4， 当时，则，即菱形边长最小时，在中，，， ， 过作，如图所示： 在中，，，则， ，由勾股定理可得， 菱形的周长最小时，菱形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、动点最值问题、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，分析出菱形周长最小时的位置，正确记忆相关知识点是解题的关键． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a＜0 ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵b＝﹣4a，a＞0， ∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确， 观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误， 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A， ∵b＜0， ∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确． ∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a）， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K． ∵AM⊥CM， ∴∠AMC＝∠KMH＝90°， ∴∠CMH＝∠KMA， ∵∠MHC＝∠MKA＝90°， ∴△MHC∽△MKA， ∴＝， ∴＝， ∴a2＝， ∵a＞0， ∴a＝，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 11. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ． 【答案】12． 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵直线DE垂直平分BC， ∴， ∴△ABD的周长， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可． 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点， ∴CE=4， 设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 13. 如图， 在正方形中，点E为边的中点，连接， 过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H．则下列结论中：①；②；③若，则；④当时，．其中正确的是__（填所有正确的序号）． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可得，结合三角函数的定义即可得到答案；设正方形的边长为，可得，进而可得答案；分别表示出，，进而即可得到答案；过点H分别作的垂线，垂足分别为K，N，当时， ，设，则，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故①错误； 设正方形的边长为， ∵点E为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴， 过点H分别作的垂线，垂足分别为K，N， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴，故④正确 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用锐角三角函数的定义和相似三角形，得到线段的关系是关键． 14. 若正数a，b，c满足abc1，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可． 【详解】解：解法一：因为 所以， 解得． 故答案为：． 解法二：由，得， 因此，． 由此可得，． 所以 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解． 三、解答题（本大题共9个小题共90分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上．) 15. 如图，已知平分，且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）通过内错角相等推出平行线即可； （2）通过平行线的性质推出角度的关系，等量代换直接求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查平行线的性质和判定，解题关键是利用平行线中内错角相等和同旁内角互补的数量关系求解． 16. 填空：； ； ； …… （1）__________； （2）猜想：__________；（其中为正整数，且） （3）利用（2）中的猜想的结论计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据题中条件归纳即可求解； （2）根据题中条件归纳即可求解； （3）根据（2）归纳可知进而即可解答； 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴； 故答案为； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∴； 故答案为； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ； 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算，由特殊归纳出一般结论是解题的关键． 17. 某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为，宽为，深为，请计算这个游泳池的容积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用．关键是熟练掌握平方差公式化简多项式的乘法． 长方体的容积即就是长方体的体积，根据长方体的体积公式列出关于a、b的代数式； 接下来根据多项式的乘法公式将其化简即可，注意利用平方差公式． 【详解】解：这个游泳池的容积 ： ． 18. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质推理是解题的关键． （1）根据正方形的判定得出答案即可； （2）连接和，交于点，根据、菱形的性质，得出、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，得出，，即可代入计算出菱形的“神似度”． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的菱形是正方形， ∴当时，即时，菱形是正方形， ∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接和，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即菱形的“神似度”为． 19. 抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线上点，使的面积是3，请求出点的坐标； （3）在（2）中x轴下方抛物线上点D，轴上有一点，连接，若，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点D作，交直线于点H， 设，则，根据，列出方程得出方程的解即可； （3）根据题意得点D的坐标为，分为点E在上方和下方，两种情况讨论，当点E在上方时，过点D作交直线与点Q，过点Q作y轴的平行线，过点E点D作x轴的平行线，交过点Q作y轴的平行线于点M，N，易证，设，则，，求出，证明，得到，即可求出x的值，同理，当点E在下方时，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点， ， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点D作轴，交直线于点H， 如图，当点D在y轴左侧时， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或（舍）， 点的坐标为； 如图，当点D在y轴右侧时， 同理得：，即， 解得：（舍）或， 点的坐标为； 综上，点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：根据题意得点D的坐标为， 当点E在上方时， 过点D作交直线与点Q，过点Q作y轴的平行线，交x轴于点H，过点E点D作x轴的平行线，交过点Q作y轴的平行线于点M，N， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得：， ， 此时，； 当点E在下方时， 同理可得：， ， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式）；抛物线上点的存在性问题，设点D的坐标并根据图形的面积列出方程，并根据方程解的情况确定点D的情况；利用三角形相似，确定出点的位置是解题的关键． 20. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）P的坐标为：，，， 【解析】 【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a，b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线的解析式；把B、C两点的坐标代入直线，解方程组求出m和n的值即可得到直线的解析式； （2）当点M在直线上时，根据抛物线的对称性， ，值最小．把代入直线得到y的值，即可求出点M坐标； （3）设，根据，，得到，，，分点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，三种情况讨论求出t值，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则, 解得，，或（舍去）， ∴， ∵直线经过B，C两点， ∴， 解得，， ∴直线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点A与点B关于对称轴对称， ∴当点M在直线上时，，值最小， 把代入直线解析式， 得，， ∴点M的坐标为：； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴， ， ， ①若点B为直角顶点，， ∴， 解之得，； ②若点C为直角顶点，， ∴， 解之得，； ③若点P为直角顶点，， ∴， 解之得，，． 综上所述，P的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数的图象与性质，轴对称线段和最小，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 21. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴cm， 答：的长是． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接是解题的关键． 22. 某兴趣小组探究两个相邻图形中对角线中点连线组成的线段与图形对应边长之间的关系． （1）如图1，点P为线段上一点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，点P，C，E在一条直线上，M，N分别是对角线的中点．连接，则为的中位线．设两正方形的边长 ，请用含a，b的式子表示的长度为 ； （2）如图2，把图1 中的正方形改为矩形， ，且 ，能否用含a，b，c，d的式子表示的长度，如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由； （3）如图3，把图1中的正方形改为菱形，，且两个新组成的菱形中较小的内角为α，请用含a，b，α的式子直接表示出的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，利用勾股定理求得，即可解答； （2）连接，延长交于点，利用勾股定理求得，即可解答； （3）连接，证明为，在利用解直角三角形求得，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点， 分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形， ，， ， 四边形为矩形， ， ， 在直角三角形中，， 是的中点， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接，延长交于点， 同上述理由可得； 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形和四边形为菱形，且为对角线的交点， ，， ， 即， 两个新组成的菱形中较小的内角为α， ， ，， ． 23. 已知：如图，线段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，连接PC，过点C作CD∥AB，且CD=PC，过点D作DE∥PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q． (1)若点P和点A重合，求BE的长； (2)设，，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域； (3)当点Q在半圆O上时，求PC的长． 【答案】(1);(2);(3). 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接OC．只要证明△AOC是等腰直角三角形即可． （2）由PC=x，OC=2，可得OP=，OE=x-，由四边形PCDE是菱形，推出PD⊥EC，CQ=QE，PQ=QD，由=y，推出tan∠PEQ=，由此即可解决问题． （3）由点Q在⊙O上，∠CQP=90°，推出∠CQP所以对的弦CM是直径，由∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE，推出∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ，推出∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°，由此即可解决问题． 【详解】（1）如图1中，连接OC． ∵， ∴CO⊥AB，△AOC是等腰直角三角形，AC=OC=2， ∵四边形ACDE是菱形， ∴AE=AC=2， ∴BE=AB-AE=4-2． （2）如图2中， ∵PC=x，OC=2， ∴OP=，OE=x-， ∵四边形PCDE是菱形， ∴PD⊥EC，CQ=QE，PQ=QD， ∵=y， ∴tan∠PEQ=， ∴y=（2≤x≤2）． （3）如图3中， ∵点Q在⊙O上，∠CQP=90°， ∴∠CQP所以对的弦CM是直径， ∵∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE， ∴∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ， ∴∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°， 在Rt△POC中，PC=OC÷cos30°=. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年淮南市寿县长青中学 九年级（下）数学期中试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. 如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 定义新运算：，例如，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 下列正多边形中，内角和是的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 若把分式中的都扩大原来的倍，则该分式的值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 缩小原来的 6. 已知△ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是(　　) A. 6＜L＜36 B. 10＜L≤11 C. 11≤L＜36 D. 10＜L＜36 7. 如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线）分别交于点P、Q、若，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上） 11. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ． 12. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 13. 如图， 在正方形中，点E为边的中点，连接， 过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H．则下列结论中：①；②；③若，则；④当时，．其中正确的是__（填所有正确的序号）． 14. 若正数a，b，c满足abc1，，则______． 三、解答题（本大题共9个小题共90分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上．) 15. 如图，已知平分，且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 16. 填空：； ； ； …… （1）__________； （2）猜想：__________；（其中为正整数，且） （3）利用（2）中的猜想的结论计算：． 17. 某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为，宽为，深为，请计算这个游泳池的容积． 18. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 19. 抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线上点，使的面积是3，请求出点的坐标； （3）在（2）中x轴下方抛物线上点D，轴上有一点，连接，若，请求出点的坐标． 20. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 21. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 22. 某兴趣小组探究两个相邻图形中对角线中点连线组成的线段与图形对应边长之间的关系． （1）如图1，点P为线段上一点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，点P，C，E在一条直线上，M，N分别是对角线的中点．连接，则为的中位线．设两正方形的边长 ，请用含a，b的式子表示的长度为 ； （2）如图2，把图1 中的正方形改为矩形， ，且 ，能否用含a，b，c，d的式子表示的长度，如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由； （3）如图3，把图1中的正方形改为菱形，，且两个新组成的菱形中较小的内角为α，请用含a，b，α的式子直接表示出的长度． 23. 已知：如图，线段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，连接PC，过点C作CD∥AB，且CD=PC，过点D作DE∥PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q． (1)若点P和点A重合，求BE的长； (2)设，，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域； (3)当点Q在半圆O上时，求PC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $