精品解析：2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考二模数学试题

2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学二模试卷 一.选择题（共42分，1-10每题3分，11-16每题2分．） 1. 下列计算正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数的计算法则计算即可. 【详解】解：A、不能合并，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查指数的计算法则，是考试的重点，应当熟练的掌握. 2. 嘉嘉将数据“”用科学记数法表示为，下列说法正确的是（ ） A. ①应该是0.941 B. ①应该是94.1 C. ②应该是 D. ②应该是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：的9后面有5个位数，根据科学记数法要求表示为，即①应该是；②应该是； A、①应该是0.941错误，不符合题意； B、①应该是94.1错误，不符合题意； C、②应该是正确，符合题意； D、②应该是错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，四边形中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和进行计算即可． 【详解】直线将四边形ABCD分成两部分，左边为四边形，其内角和为360°，右边为三角形，其内角和为180°，因此 故选：B． 【点睛】本题考查多边形内角和，解题关键是根据多边形内角和进行计算． 4. 与结果相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出=3，再运用有理数加减法则，把减法化为加法，减去一个数等于加上这个数的相反数，把四个选项的算式全部算出来，看哪一个选项的计算结果等于3即可． 【详解】解：===3． A．=3，故选项正确，符合题意； B．=11≠3，故选项错误，不符合题意； C．=15≠3，故选项错误，不符合题意； D．=-1≠3，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根和有理数的加减混合运算，解题的关键是知道一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根；正数有一个算术平方根，负数没有算术平方． 5. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足，，则b的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，不等式的性质，解题的关键是根据数轴确定点的取值范围． 根据数轴得出a的取值范围，再根据倒数的定义得出b的取值范围，进而得出b的值． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∵， ， 即， 由此可知，满足条件的b的值可以是1， 故选：D． 6. 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．根据题意可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：∵， ∴， ∴正多边形的一个外角为， ∴， 故选：B． 7. 将变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特点是解题的关键．利用平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 8. 如图，甲、乙二人给出了条件，证明四边形为平行四边形下列判断正确的是（ ） 甲：； 乙： A. 甲可以，乙不可以 B. 甲不可以，乙可以 C. 两人都可以 D. 两人都不可以 【答案】B 【解析】 【分析】甲可以按照举例子来判断，乙根据对角相等来判断即可． 【详解】解：，，四边形既可以为平行四边形，也可能是等腰梯形，故甲不可以． ， ，， 符合两组对角分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，所以乙可以． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键． 9. 嘉淇先向北偏西方向走，又向南偏西方向走，她现在所站的位置在起点的（ ）方向上 A. 正北 B. 正西 C. 西北 D. 西南 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以嘉淇起点的位置为观测点向北偏西方向走，以此时所处的位置为观测点向南偏西方向走，以起点的位置为观测点，现在在正西方向． 【详解】解：如图： 嘉淇先向北偏西方向走，又向南偏西方向走，她现在所站的位置在起点的正西方向上， 故B正确，符合题意． 故选：B． 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，线段的长度在数轴上的（ ） A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断． 【详解】解：， ∵， ∴， 故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的③段， 故选：C． 11. 在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（ ） A. 没有实数根 B. 无法判断根的情况 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用判别式法判断一元二次方程的根，由一元二次方程根的判别式求出，代入原方程，再利用判别式判定即可得到答案，熟练掌握用判别式法判断一元二次方程的根的情况是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴原方程为， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 13. 如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，用结果除以，再加上1即为“■”代表的式子． 【详解】解：由题意，得：“■”代表的是； 故选：A． 14. 为了解佳佳“1分钟跳绳”成绩的稳定情况，统计了佳佳6次的跳绳成绩（满分10分），并代入方差公式，得，下列判断正确的是（ ） A. 平均数与众数相等 B. 平均数与中位数相等 C. 众数与中位数相等 D. 平均数、中位数、众数互不相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差公式及平均数、中位数和众数的概念，考查数据观念、推理能力和运算能力．根据方差公式写出六次成绩，从而求出平均数及中位数、众数，即可解决问题． 【详解】解：根据公式可知6次的跳绳成绩为5，6，6，8，8，9，求得平均数为7分，众数为6分和8分，中位数为7分， 故选：B． 15. 如图，已知点是边的三等分点，的面积为27，现从边上取一点，沿平行的方向剪下一个面积为10的三角形，则点在（　　） A. 线段上 B. 线段上，且靠近点P C. 线段上，且靠近点Q D. 线段上 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，作，与交于点，过点作，与交于点，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得与的面积，与7比较便可得出结论． 【详解】解：取的中点，作，与交于点，过点作，与交于点， ，， ，， 即， ，， 现从边一点，沿平行的方向剪下一个面积为7的三角形， 点在线段上，且靠近点， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积，关键是作辅助线求得过中点作的平行线所得的面积． 16. 如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1，当点在边上，点在边上时，根据勾股定理得到与之间的函数关系，判断出应该是开口向上的二次函数，排除选项C和D，进而判断出未出发时和到达第一个拐点时的值可得正确选项．本题考查动点问题的函数图象．根据动点的不同位置判断出特殊点的值及相关的函数解析式是解决本题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1． 当点在边上，点在边上时，． 作于点，可得矩形和矩形． ，． ，． 两个机器人之间距离为． ． ， 函数图象为开口向上的二次函数． 故选项C和D不符合题意． 当机器人未出发时，点在点处，点在点处，如图1． ； 当机器人分别到达点和点时，如图2． ； 此时函数的的值和未出发时的值相同， 故选：B． 【点睛】 二.填空题（17，18每题3分，19题第一空3分，第二空1分，共10分） 17. 已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意首先求出，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可． 【详解】把代入一元二次方程得， 所以. 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键． 18. 已知，如图等边中，是边上的高，以点为圆心，为半径画弧，交，于点，．若，则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形、三线合一的性质及勾股定理、弧长公式的应用，求出即半径的长是解决本题的关键． 先由等边三角形的性质得，，再根据三线合一的性质得出，由勾股定理得出的长，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴是的中线， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 19. 如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为__________； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有_____个． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据已知条件及线段的和差求出的坐标． （2）先找出正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点，假设每个点处都有双曲线，求出此时的值，再根据只有两个点的对应的值相等即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点有、、、、、 则分别过以上点的双曲线的值分别为：， 所以当与正方形网格线有两个交点，的值可以为， 满足条件的正整数的值有4个． 故答案为：4． 三.解答题（共68分） 20. 琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了． （1）琪琪猜测被污染的数字“■”，请计算； （2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“■”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方及括号里面的，再算乘法，最后算减法即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. [发现]两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． [验证]______； [证明]设两个正整数为，，请验证“发现”中的结论正确； [拓展]已知，，求的值． 【答案】[验证]8； [证明]设两个正整数为，， 根据题意得：； ，为正整数， 一定是4的倍数，结论正确； [拓展]4． 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用完全平方公式可进行求解； （3）根据完全平方公式可进行求解． 本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：验证∶； 故答案为：8； 证明∶略 拓展∶，，且， ． 22. 2023年春节期间调研小组随机调查了某新开放景区的部分参观群众，为本景区打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）．根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了__________名参观群众，并补全条形统计图； （2）为了进一步研究，调研小组又增加调查了5位参观者，若他们的打分分别为：5，4，4，5，3，则增加调查人数前后，本次活动打分分值的中位数与原来是否相同？并简要说明理由； （3）若从打分较低的四人中随机抽取2名做情况反馈，发现抽取的2人恰为一成人一儿童的概率为，这4人中成人与儿童分布情况不可能为__________． A．两名成人，两名儿童． B．三名成人，一名儿童． C．一名成人，三名儿童 【答案】（1）30， 补全条形统计图如图所示： （2） 不相同，理由： 根据统计图可知，5分的有15人，1—4分的合计也是15人，故中位数为（分）， 增加人数后，5分有17人，4分有13人，3分有3人，2分有1人，1分有1人，中位数是4分，发生了改变； （3）A 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，众数，中位数，条形统计图，扇形统计图等，关联条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图，用4分的人数除以4分在扇形统计图中的占比即可求出参与调查的人数，用总人数减去1—4分的人数即可得5分的人数，根据众数和中位数的定义求解即可； （2）计算原来的中位数和增加人数后的中位数，对比即可； （3）设抽取的4人分别为A、B、C、D，根据题意列出表格，数出所有的情况数，再进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 调查总人数：（名）， 打分为5分的人数：（名）， 故答案为：30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设抽取的4人分别为A、B、C、D， 列出表格如下： A B C D A B C D 由表可知，一共有12种情况， ①当两名成人，两名儿童时，设A、B为成人，C、D为儿童， 则抽取的2人恰为一成人一儿童的情况有8种， ∴抽取的2人恰为一成人一儿童的概率， ②当三名成人，一名儿童时，设A、B、C为成人，D为儿童， 则抽取的2人恰为一成人一儿童的情况有6种， ∴抽取的2人恰为一成人一儿童的概率， ③当一名成人，三名儿童时，设A为成人，B、C、D为儿童， 则抽取的2人恰为一成人一儿童的情况有6种， ∴抽取的2人恰为一成人一儿童的概率， ∴分布情况为3名成人1名儿童或3名儿童1名成人，不可能为两名成人，两名儿童， 故选：A． 23. 如图1，是一个深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器顶部离水面的距离（）随时间x（）的变化图象． （1）放入的长方体的高度为__________； （2）求BC所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 【答案】（1）20 （2） （3）该容器注满水所用的时间为21分 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）由图象得放入的长方体的高度：，即可求解； （2）设所在的直线的解析式为：（），将点，代入，即可求解； （3）当时，即可求解； 理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：从点B开始，容器顶部离水面的距离y（）随时间x（）的变化发生改变， 在B处时水恰好漫过长方体的顶部， ∴放入的长方体的高度：（）． 故答案为：20； 【小问2详解】 解：设所在的直线的解析式为：（）． 经过点，， ， 解得：． 所在直线的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：当时， ， 解得：． 答：该容器注满水所用的时间为21分． 24. 如图，点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心，的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点D在数轴上对应的数为4． （1）求扇形的面积； （2）点E是优弧上任意一点， ①当最大时，直接指出与优弧的位置关系，并求的最大值． ②当点E与点A重合时，线段与优弧的交点为F，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①与优弧相切；的最大值为；② 【解析】 【分析】（1）根据得出，进而得出优弧所对的圆心角，再利用扇形面积公式求解； （2）①当与优弧相切时，最大，根据的正弦值确定度数； ②过点A作于点G，过点O作于点H，如图，根据垂径定理得出．由（1）知：，得出，，勾股定理得出．证明，即可得出，勾股定理求出，即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴扇形的圆心角为， ∵点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心，OB的长为半径， ∴， ∴扇形的面积． 【小问2详解】 解：①∵点E是优弧上任意一点， ∴当直线与优弧有唯一公共点时，即与优弧的位置关系相切时，最大， ∴当最大时，与优弧的位置关系为：与优弧相切； 连接，如图， ∵与优弧相切， ∴， ∵点D在数轴上对应的数为4， ∴． ∴， ∴． ∴当最大时，与优弧相切，的最大值为． ②过点A作于点G，过点O作于点H，如图， 则． 由（1）知：， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，扇形面积公式等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 25. 如图，中，，，点，，抛物线L：的顶点为M，与y轴交点为N． （1）抛物线有可能经过点A吗？请说明理由； （2）设点N的纵坐标为，直接写出与t的函数关系式，并求的最大值； （3）在L的位置随t的值变化而变化的过程中，直接写出点M在内部所经过路线的长． 【答案】（1） 解：抛物线不可能经过点A，理由： 将点代入得到，， 并整理得：， ∵， ∴此方程无解， 故抛物线不可能经过点A； （2），的最大值为 （3） 【解析】 【分析】此题是二次函数和特殊三角形的综合题，考查了二次函数的图象和性质、一元二次方程根的判别式、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键． （1）把点A的坐标代入函数解析式得到方程，判断一元二次方程没有实数根，即可得到结论； （2）把代入函数解析式，即可得到答案； （3）由，知顶点，则在L的位置随t的值变化而变化的过程中，点M都在直线上移动，设直线分别交于点R，交于点G，求出点，点，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， ， 即，且的最大值为； 【小问3详解】 由，知顶点，则在L的位置随t的值变化而变化的过程中，点M都在直线上移动，设直线分别交于点R，交于点G，则点M在内部所经过路线的长即为线段的长． 由点、可知，，轴， 当时，由得到， ∴点， 由，知，， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为，把点B、C的坐标代入得， ， 解得 直线的表达式为： 联立直线的表达式和得：， 解得：， 则， ∴ ， ∴点M在内部所经过路线的长为． 26. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．连结，作点关于AP的对称点，连结，设点的运动时间为秒． （1）如图，当点与点重合时，与相交于点，求证：； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点运动停止后，平移使点落在中点，并绕点旋转使分别与相交于点（如图），若，，直接写出与的函数关系式． 【答案】（1） 证明：如图，设与交于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）的值为或； （3）与的函数关系式为． 【解析】 【分析】（）根据对称的性质可得，即可得出，，从而得出，再由平行四边形的性质可得，结合即可得证； （）分两种情况：当点落在边上时，当点落在边上时，分别求得的值即可； （）过点作于点，，设，，运用勾股定理建立方程得出，则，，，再证得，得出，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当点落在边上时，如图， 由题意得， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）； 当点落在边上时，如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵点不可能落在两条边上， ∴的值为或； 【小问3详解】 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， 设，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中，， 由轴对称、平移、旋转得：， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵交点在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，平移的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省邯郸市冀南新区育华实验学校中考数学二模试卷 一.选择题（共42分，1-10每题3分，11-16每题2分．） 1. 下列计算正确的是（　　）． A. B. C. D. 2. 嘉嘉将数据“”用科学记数法表示为，下列说法正确的是（ ） A. ①应该是0.941 B. ①应该是94.1 C. ②应该是 D. ②应该是 3. 如图，四边形中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 与结果相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足，，则b的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 6. 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 将变形正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，甲、乙二人给出了条件，证明四边形为平行四边形下列判断正确的是（ ） 甲：； 乙： A. 甲可以，乙不可以 B. 甲不可以，乙可以 C. 两人都可以 D. 两人都不可以 9. 嘉淇先向北偏西方向走，又向南偏西方向走，她现在所站的位置在起点的（ ）方向上 A. 正北 B. 正西 C. 西北 D. 西南 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，线段的长度在数轴上的（ ） A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段 11. 在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（ ） A. 没有实数根 B. 无法判断根的情况 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（ ） A. B. C. D. 14. 为了解佳佳“1分钟跳绳”成绩的稳定情况，统计了佳佳6次的跳绳成绩（满分10分），并代入方差公式，得，下列判断正确的是（ ） A. 平均数与众数相等 B. 平均数与中位数相等 C. 众数与中位数相等 D. 平均数、中位数、众数互不相等 15. 如图，已知点是边的三等分点，的面积为27，现从边上取一点，沿平行的方向剪下一个面积为10的三角形，则点在（　　） A. 线段上 B. 线段上，且靠近点P C. 线段上，且靠近点Q D. 线段上 16. 如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（17，18每题3分，19题第一空3分，第二空1分，共10分） 17. 已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____． 18. 已知，如图等边中，是边上的高，以点为圆心，为半径画弧，交，于点，．若，则的长为 _______． 19. 如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为__________； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有_____个． 三.解答题（共68分） 20. 琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了． （1）琪琪猜测被污染的数字“■”，请计算； （2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“■”． 21. [发现]两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． [验证]______； [证明]设两个正整数为，，请验证“发现”中的结论正确； [拓展]已知，，求的值． 22. 2023年春节期间调研小组随机调查了某新开放景区的部分参观群众，为本景区打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）．根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了__________名参观群众，并补全条形统计图； （2）为了进一步研究，调研小组又增加调查了5位参观者，若他们的打分分别为：5，4，4，5，3，则增加调查人数前后，本次活动打分分值的中位数与原来是否相同？并简要说明理由； （3）若从打分较低的四人中随机抽取2名做情况反馈，发现抽取的2人恰为一成人一儿童的概率为，这4人中成人与儿童分布情况不可能为__________． A．两名成人，两名儿童． B．三名成人，一名儿童． C．一名成人，三名儿童 23. 如图1，是一个深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器顶部离水面的距离（）随时间x（）的变化图象． （1）放入的长方体的高度为__________； （2）求BC所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 24. 如图，点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心，的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点D在数轴上对应的数为4． （1）求扇形的面积； （2）点E是优弧上任意一点， ①当最大时，直接指出与优弧的位置关系，并求的最大值． ②当点E与点A重合时，线段与优弧的交点为F，请直接写出的长． 25. 如图，中，，，点，，抛物线L：的顶点为M，与y轴交点为N． （1）抛物线有可能经过点A吗？请说明理由； （2）设点N的纵坐标为，直接写出与t的函数关系式，并求的最大值； （3）在L的位置随t的值变化而变化的过程中，直接写出点M在内部所经过路线的长． 26. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．连结，作点关于AP的对称点，连结，设点的运动时间为秒． （1）如图，当点与点重合时，与相交于点，求证：； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点运动停止后，平移使点落在中点，并绕点旋转使分别与相交于点（如图），若，，直接写出与的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $