培优02含参函数单调性的讨论（七大题型）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优02含参函数单调性的讨论 题型01导为一次函数型 例1．已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 例2．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 练习1．已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论的单调性； 练习2．已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； 练习3．已知函数，． (1)讨论的单调性； 练习4．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 题型02导为指数型 例3．已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； 例4．已知函数． (1)讨论的单调区间； 练习1．已知函数，. (1)讨论的单调区间； 练习2．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； 练习3．已知函数. (1)讨论的导函数的单调性； 练习4．已知函数． (1)讨论的单调性； 题型03导为对数型 例5．已知函数． (1)求证：时，； (2)讨论的单调性； 例6．已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)讨论在区间上单调性； 练习1．已知函数，． (1)令，讨论的单调性； 练习2．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 练习3．已知函数，. (1)讨论的单调性； 练习4．已知函数，. (1)证明：； (2)求函数的单调区间. 题型04导为二次可因式分解型 例7．已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 例8．已知函数． (1)若，讨论的单调性； 练习1．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 练习2．已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 练习3．已知函数，其中. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 练习4．已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 题型05导为二次不可分解型 例9．已知函数． (1)讨论的单调性； 例10．已知函数． (1)讨论的单调性； 练习1．已知函数 . (1)讨论函数的单调性; 练习2．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 练习3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 练习4．已知函数（）． (1)求函数的单调区间； 题型06导为指数可因式分解型 例11．已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； 例12．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 练习1．已知函数，． (1)讨论的单调性； 练习2．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求的单调区间； 练习3．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； 练习4．已知函数，.若，讨论函数的单调性； 题型07二次求导型 例13．已知二次函数的图象过点，且当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例14．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为凸函数”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习2．函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间的最值． 练习3．已知函数. (1)若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，是的两个极值点，且，证明：. 练习4．已知函数，且0是的一个极值点． (1)求的单调区间； 1．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 2．已知函数（为实常数）. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (2)讨论函数的单调性. 3．已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)讨论的单调性. 4．设函数，函数． (1)求的单调区间； 5．已知函数. (1)若，求函数在区间上的最值； (2)讨论函数的单调性. 6．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 7．已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； 8．设函数． (1)讨论的单调性； 9．已知． (1)求函数的单调区间； 10．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 11．已知函数． (1)求函数的单调区间； 12．设函数. (1)当时，求在上的最大值; (2)讨论的单调性; 13．已知函数，且. (1)求函数的单调区间； 14．已知函数. (1)讨论的单调性； 15．已知函数. (1)若，求曲线在处切线方程； (2)讨论的单调性； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优02含参函数单调性的讨论 题型01导为一次函数型 例1．已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定在上的单调性，由此确定最小值点. 例2．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 【详解】（1）当时，， 所以，即切点坐标为，切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题意得：的定义域为， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 练习1．已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论的单调性； 【详解】（1），， 又直线的斜率为， 由题意，，即. （2）， 令，则， 当，则，从而， 当，则当时，， 当时，， 综上所述，当，在定义域内是增函数，当，在上是单调递减，在上是单调递增. 练习2．已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，解得，解得， 此时函数的减区间为，增区间为， ②当时，解得，解得， 此时函数的增区间为，减区间为； 练习3．已知函数，． (1)讨论的单调性； 【详解】（1）由知. 当时，对有，所以在上递增； 当时，对有，对有， 所以在上递增，在上递减. 综上，当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减. 练习4．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2)答案见详解 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. 题型02导为指数型 例3．已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）， ①若，恒成立，此时函数的单调递减区间为； ②若，令，得，令，得． 此时函数的单调增区间为，单调减区间为． 综上所述，当时，函数的单调减区间为， 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 例4．已知函数． (1)讨论的单调区间； 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. 练习1．已知函数，. (1)讨论的单调区间； 【详解】（1），定义域为， ， 当时，当时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，当时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，单调递减区间为，递增区间为； 当时，单调递减区间为，递增区间为. 练习2．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； 【详解】（1）因为，，所以， 又因为函数的图象过点， 所以， 即，故，解得， 所以，故， 即曲线在点处的切线的斜率为. （2）因为，所以，所以， 当时，，在区间R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在区间R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 练习3．已知函数. (1)讨论的导函数的单调性； 【详解】（1）由题可知. 设，则. ①当时，在上恒成立， 所以在上单调递增. ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，是上的增函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数. 练习4．已知函数． (1)讨论的单调性； 【详解】（1）因为. ①当时，，所以在上单调递减； ②当时，，所以， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 题型03导为对数型 例5．已知函数． (1)求证：时，； (2)讨论的单调性； 【详解】（1）设，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 即． （2）由题意定义域为， 则，， ①当时，函数， 当时，；当时，， 故当时，恒成立，此时在上单调递增； ②时， 当时，，函数在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； ③时， 当时，，函数在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 例6．已知函数. (1)当时，求函数极值； (2)讨论在区间上单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 求导得，由，得， 由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值. （2）由， 在时，， 若，,即在区间上单调递增； 若，,即在区间上单调递减； 若，令，令， 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：时，在区间上单调递增； 时，在区间上单调递减； 时，在上单调递增， 在上单调递减. 练习1．已知函数，． (1)令，讨论的单调性； 【详解】（1）， ， 函数为减函数， 令，则， 当时，令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，减区间为， 当时，令，得，令，得， 所以函数的单调减区间为，增区间为， 综上所述，当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调减区间为，增区间为； 练习2．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， ， ①当时，解不等式．有，令，得， 故函数的减区间为，增区间为； ②当时．，若，，，可得； 若，，，可得；若，可得． 故有，函数单调递增，增区间为，没有减区间； ③当时，解不等式，有或， 令，解得， 故函数的增区间为，，减区间为； ④当时，解不等式，有或，令得， 故函数的增区间为，，减区间为； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 练习3．已知函数，. (1)讨论的单调性； 【详解】（1） 函数的定义域为， ， ①当时，令，得，则当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， ②当时，令，得或， ⅰ）当时，则当或时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， ⅱ）当时，当时，，所以在上单调递增， ⅲ）当时，则当或时，，当时，， 所以 在和上单调递增，在上单调递减， 练习4．已知函数，. (1)证明：； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析 【详解】（1）证明：已知，函数定义域为， 要证，即证， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值， 则； （2）已知，函数定义域为， 可得， 令，解得或， 若， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若，，单调递增； 若， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，的减区间为，增区间为； 若时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为,无减区间； 当时，的增区间为，，减区间为. 【点睛】关键点点睛：将问题转化成求证，构造函数是解题关键，函数与导数的最值问题，构造函数以及分类讨论思想. 题型04导为二次可因式分解型 例7．已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1个 (2)见解析 【详解】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 例8．已知函数． (1)若，讨论的单调性； 【详解】（1）由已知，得的定义域为， ， 若，则当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 若，则，当或时，， 当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减． 练习1．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 练习2．已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 则， 所以，当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，函数在上的最大值为； （2）函数的定义域为， ， 当时，由，可得，， 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增； 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减. 练习3．已知函数，其中. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【详解】（1）， . 切线方程为：，即. （2）由题意得函数的定义域为， ， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，时，在上单调递减. 时，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 练习4．已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或. (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型05导为二次不可分解型 例9．已知函数． (1)讨论的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为，求出得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 例10．已知函数． (1)讨论的单调性； 【详解】（1），， 不妨设， 则关于的方程的判别式， 当时，，，故， 函数在上单调递减， 当时，，方程有两个不相等的正根，， ， 当及时， 当时，，在，递减，在递增； 综上所得，当时，在，递减，在递增；当时，在上单调递减. 练习1．已知函数 . (1)讨论函数的单调性; 【详解】（1）易知函数的定义域为，， 令，，，对称轴为， （1）当，即时，方程有两根为，， （i）时，，时，，即， 时，，即， （ii）时，，时，，即， 时， ，即， （2）当，即时，方程的根为， 此时在区间上恒成立，当且仅当取等号， （3）当，即时，在区间上恒成立， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，无减区间. 练习2．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 定义域为，所以， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为， ，无极大值. （2）由上问得， 而，令，解得, 此时恒成立，故在上单调递增， 令，解得，令， 解得或，当时， ，故，，， 此时令，， 令，， 此时在上单调递减， 在上单调递增， 当时，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，， ，令，， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当时，在上单调递增. 练习3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）令，得， 所以，， 在上单调递减，在上单调递增； 练习4．已知函数（）． (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的递减区间为； 当时，的递减区间为，递增区间为. 题型06导为指数可因式分解型 例11．已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； 【详解】（1），时，时， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取到极小值，没有极大值． （2） 情形一  若，可得恒成立，且， 时，，故在单调递减； 时，，故在单调递增； 情形二  若，，则， 在单调递增； 情形三  若，令，解得或， 又由（1）知当时，可得， 时，，故在单调递减； 和时，，故在和单调递增． 综上所述，若，时，单调递减，时，单调递增； 若，，在单调递增； 若，时，单调递减，和时，单调递增． 例12．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【详解】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 练习1．已知函数，． (1)讨论的单调性； 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以． 设，当时，，， 当时，在上单调递增，所以， 所以时， 时，，，在上单调递增； 时，时，单调递减；时，单调递增． 综上可得，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增． 练习2．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，求导得， 而，则当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，则当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得，， ①当，即时，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，由，得或，由，得， 因此函数在，上单调递增，在单调递减； ③当，即时，恒成立，函数上上单调递增； ④当，即时，由，得或，由，得， 因此函数在，上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为，； 当时，函数的递增区间为，无递减区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为，. 练习3．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； 【详解】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增. 综上，当时，在和上递减，在上递增； 当时，在上递增； 当时，在和上递减，在上递增. 练习4．已知函数，.若，讨论函数的单调性； 【答案】 答案见解析 【详解】 . ①当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在上单调递减，在上单调递增. ②当时，令，解得或， 当即时，令得：或，令得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当即时，恒成立，所以在上单调递增， 当即时，令得：或，令得：， 所以在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增. 题型07二次求导型 例13．已知二次函数的图象过点，且当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由知，∴， ∴， 令，则， ，令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 如图，若图象在图象上方，则， 要使图象在图象上方，则表示x轴截距的相反数， 的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线与相切， 记切点为，则，又， 所以， 有，设， 则， 故当时，函数，当时，， 故当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时， 综上，的最小值为. 故选：D. 例14．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为凸函数”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，所以，，依题意在恒成立，即在恒成立，因为在上单调递增，又，所以，即 故选：D 练习1．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，， 设函数，则， 令，故， 所以函数在上单调递减，而， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则. 故选：B． 练习2．函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间的最值． 【答案】⑴；⑵， 【详解】（1），，. 在点处的切线方程为 （2）令， 恒成立， 在点单增， 即在单增， 当单减， 当单增， . ， ， . 【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 练习3．已知函数. (1)若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，是的两个极值点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为恒成立，所以， 即. 令函数，则 恒成立. 令函数 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 因为 ，所以在上单调递增， 所以等价于，即恒成立， 令函数，则 ， 当时， ；当 时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故的取值范围是； 练习4．已知函数，且0是的一个极值点． (1)求的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为， 因为0是的一个极值点，所以， 所以，解得，所以， 且， 令，则， 当时，，函数单调递减，又 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以为函数的极大值点， 所以，且函数的递增区间有，递减区间有； 1．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【详解】（1）由，有，， 可得曲线在点处的切线方程为， 整理为， 代入原点，有，可得， 故实数的值为1. （2）由，. ①当时，在上恒成立，可得函数的增区间为，没有减区间； ②当时，令，可得，故函数的减区间为，增区间为. 综上可知，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．已知函数（为实常数）. (1)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (2)讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时有极小值， 为， ，， 所以当时，函数的最大值为， 当时，函数的最小值为； （2）， 当时，，单调递增， 当时，由得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在上单调递增； 3．已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 又在区间恒成立，当且仅当时取等号， 所以在区间上单调递增， 得到在上的最小值为，最大值为， 所以在上的值域为. （2）易知定义域为， 因为， 当时，时，，时，， 当时，时，，时，， 当时，在区间上恒成立，当且仅当时取等号， 当时，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为； 当时，的减区间为，增区间为； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. 4．设函数，函数． (1)求的单调区间； 【详解】（1）． ①当时，单调递增； ②当时，若，则． - 0 + 单调递减 单调递增 综上，当时，单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 5．已知函数. (1)若，求函数在区间上的最值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 则，解得， 所以，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为； （2）函数的定义域为且， 若时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若时，则当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 若时，则当或时，当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递减，在上单调递增. 6．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即 （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 7．已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； 【详解】（1）由题可得， 则， ①当，即时，恒成立， 在上单调递增； ②当，即或时， （i）当时，恒成立， 在上单调递增； （ii）当时，由得，，经判断得， 当时，或，当时，， 在，上单调递增；在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减.（其中，）. 8．设函数． (1)讨论的单调性； 【详解】（1）对求导得， 令，解得或． 对分类讨论： 当时，令，解得或；令，解得． 在区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 同理可得：当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增． 9．已知． (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 因此函数的递增区间为，递减区间为； 当时，由，得，由，得， 由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为； 当时，，因此函数的递减区间为，无递增区间； 当时，由，得，由，得， 由，得或，因此函数的递减区间为，递增区间为， 所以，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，无递增区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为． 10．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 对于函数， 当，即时恒成立， 当，即，则对称轴为，开口向下， 且当时，则与轴有两个交点，且交点的横坐标均大于； ①当时，，在上单调递减； ②当时，令得，，则， 所以当时，当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减， 在上单调递增， 在上单调递减. 11．已知函数． (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 12．设函数. (1)当时，求在上的最大值; (2)讨论的单调性; 【详解】（1）当时， , 当所以在上单调递增 , 当所以在上单调递减 , 所以在上的最大值为. （2），定义域为, 当时，所以 在上单调递增 . 时，时，有, 所以 在上单调递减,在上单调递增 ; 当时,在上单调递增 ,在上单调递减; 当时，在上单调递减,在上单调递增 . 13．已知函数，且. (1)求函数的单调区间； 【详解】（1）由题函数定义域为，， 所以当时，若，；，； 故此时函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，若，；，； 故此时函数在和上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为和. 14．已知函数. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）由题意知函数的定义域为. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 15．已知函数. (1)若，求曲线在处切线方程； (2)讨论的单调性； 【详解】（1）若，则，， 可得， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由题意可知：的定义域为，且， 令，即，则有： 当，即时，则，即， 所以在内单调递增； 当，即时，则方程有两个不相等的实根，， 且， 若，即，令，解得；，解得； 则在内单调递减，在内单调递增； 若，即，令，解得或；，解得； 则在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递增； 当，在内单调递减，在内单调递增； 若，在内单调递减，在内单调递增. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$