精品解析：陕西省渭南市富平县蓝光中学2023-2024学年高一下学期同步月考（四）（7月）数学试题

2023~2024学年度高中同步月考测试卷（四） 高一数学 测试模块：必修第二册 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本试卷主要命题范围：北师大版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 3. 若两个平面平行，则下列说法中不正确的是（ ） A. 其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B. 若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C. 其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D. 不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 4. 若复数，为实数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，为的中点，在中，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 是纯虚数 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点A到直线的距离为定值 D. 三棱锥的体积不为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是实数，则__________. 13. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，，则________. 14. 在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=________.（用角度表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 17. 已知向量的夹角为. （1）求； （2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围. 19. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. （1）证明：平面； （2）求点C到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度高中同步月考测试卷（四） 高一数学 测试模块：必修第二册 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本试卷主要命题范围：北师大版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的定义求解. 【详解】． 故选：A． 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可. 【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行. 故选：D 3. 若两个平面平行，则下列说法中不正确的是（ ） A. 其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B. 若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C. 其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D. 不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平面平行的定义和性质判断各个选项； 【详解】对于A，根据两个平面平行可知，其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行，A正确； 对于B，根据两平面平行性质可知，若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线平行无公共点，B正确； 对于C，根据两平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行或异面，C错误； 对于D，不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行，D正确； 故选：C. 4. 若复数，为实数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到，解得即可. 【详解】因为， 又为实数，，. 故选：A. 5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出的直观图，再计算面积得解. 【详解】依题意，四边形是平行四边形，， 如图，是的直观图，， 所以四边形的直观图面积为. 故选：D 6. 在长方体中，为的中点，在中，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理列式计算即可. 【详解】如图，连接，由为的中点得，设， 则，， ， 因为，所以， 即，解得（负值舍去）. 故选：B 7. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵，，∴，∴， ∴． 考点：平方关系、倍角关系． 8. 在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为2，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积． 【详解】由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得，所以，， 因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，， 可得，可得，而，所以， 在中：， 所以外接球的表面积， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 是纯虚数 C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确； 对B：纯虚数要求实部为0，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误. 故选：AC. 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，，故为等腰三角形，可判断；由正弦定理边化角代入可证明，判断；由余弦定理得是钝角，可判断；由三角形的面积公式计算即可，判断. 【详解】对于，因为在中，， 所以当时，，故为等腰三角形，故正确； 对于，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，由余弦定理得， 又因为是中的一个内角，所以， 所以是钝角三角形，故错误； 对于，，故正确. 故选：. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点A到直线的距离为定值 D. 三棱锥的体积不为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据底边为定值，高为，为定值，故三角形面积为定值；B选项，根据，所以，故B正确；C选项，A到的距离为定值，C正确；D选项，由等体积法得到三棱锥体积为定值. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值， 底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，A到直线的距离等于A到的距离，为定值，故C正确； 对于D，的面积为，而A到平面的距离， 即A到平面的距离，为， 因此，为定值，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是实数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件可解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：0 13. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和差角公式即可求解. 【详解】由题意可知． 可得 ， 即． 故答案为：． 14. 在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=________.（用角度表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义，结合题设条件即可求得． 【详解】因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 又，所以在中， ，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）84 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表面积公式即可求解， （2）根据体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接相交于，连接 过点作于点，连接，则是斜高， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， ． 所以正四棱锥的表面积为84． 【小问2详解】 ， 所以正四棱锥的体积为； 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 【答案】（1） 是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点； （2） 取的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点的位置； （2）通过等腰三角形的性质证得，，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知向量的夹角为. （1）求； （2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角余弦公式计算出，得到答案； （2）设与的夹角为，则，且与不同向共线，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以； 【小问2详解】 设与的夹角为， 则且，故，且与不同向共线， ，， 故， 且， 解得且， 故的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂及辅助角公式化简得到，利用正弦型函数的单调性即可解决; （2）利用得到，根据三角形的面积公式得到，再利用正弦定理表示出边，结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 令,解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 结合（1）问，因为 所以,即， 所以，即. 因为在锐角中，,所以. 因为，所以. 在中,由正弦定理可得，即， 在中易得, , 因为为锐角三角形，且，且易得， 所以，得，所以， 易得，即， 所以. 故面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. （1）证明：平面； （2）求点C到平面的距离. 【答案】（1） ∵，，，∴， 又为等边三角形，∴， 在中，由余弦定理得， 解得，∴，即． ∵，，平面，∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和勾股定理可，然后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）取中点，先利用线面垂直的判定定理证明平面，把点C到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，∵为等边三角形，∴， 又由（1）可知平面，平面，∴， 又∵，且平面，∴平面. ∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离． 在中，可知，在中，可知， ∵是的中位线，∴， 可得的面积 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 又的面积， 点E到平面的距离为， ∴三棱锥的体积. 由，得，即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $