精品解析：2024年中考数学模拟卷（内蒙古通辽地区适用）

2024年中考数学模拟卷 一、选择题（每小题3分．共36分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 4. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 7. “乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为，水位高度为，假设石子的体积一样，下列图像中最符合故事情境的大致图像是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是( ) A. B. C. D. 9. 已知方程，求作一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一元二次方程是（　　　　） A. B. C. D. 10. 下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cn时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为（ ）（π取3.14，结果精确到1º） A. 115º B. 60º C. 57º D. 29º 12. 如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 13. 下列4个函数，①；②；③；④，其中图像是中心对称图形，且对称中心在原点的共有（　　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 14. 因式分解：_____． 15. 某中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有______人． 16. 如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 ___________________m． 17. 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是___________． 三、解答题（69分） 18. 计算：． 19. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为x米． （1）矩形的面积为，求出的长 （2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 20. 如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，，， （1）求点坐标及反比例函数解析式； （2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集． 21. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每个学生只能参加一个项目）；A．阅读数学名著；B、讲述数学故事；C、制作数学模型；D、参与数学游戏；E、挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果．绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条开图上方注明名数）； ③扇形统计图中圆心角_________度． （2）若该年级有学生1100名，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名？ （3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请画树状图或列表法求出恰好抽到2名男生的概率． 22. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号） 23. （1）操作发现： 如图①，在中，，点D是BC上一点，沿AD折叠，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系________________________________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中；，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，，，，，连接AC、点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若，求DE的长． 24. 某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件、下面是他们活动后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． （1）若设每件涨价x元，则每星期实际可卖_______件，每星期售出商品的利润（元）与x的关系式为=____________，x的取值范围是_________． （2）若设每件降价a价，则每星期售出商品的利润（元）与a的关系式为=________． （3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图所示，在中，经过A、B两点的交于点E，圆心O在上过点交于点D，连接交于点E．若． （1）求证：是的切线． （2）若，．求的长； 26. 已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A （﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点． （1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式； （2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考数学模拟卷 一、选择题（每小题3分．共36分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质和余角的定义求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质和余角的定义．掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 3. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、 利用二次根式的性质化简，同底数幂相乘，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 4. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义即可得出答案． 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x的取值范围是：x＞3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解答本题的关键． 6. 在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据“2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，”即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据题意得： ． 故选：D 7. “乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为，水位高度为，假设石子的体积一样，下列图像中最符合故事情境的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】解： 乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选A． 8. 函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图像得到字母系数的正负，再与二次函数的图像相比较看是否一致． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，但是一次函数与轴的交点和二次函数与轴的交点，不是同一点，故A选项错误； B．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意； C．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，，且两函数相交轴于同一点，故C选项正确，符合题意； D．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，掌握一次函数与二次函数图像的性质是解题的关键． 9. 已知方程，求作一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一元二次方程是（　　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．设方程两个为，，根据根与系数的关系得到，，再分别计算和，然后根据根与系数的关系写出以和为两根的一元二次方程． 【详解】解：设方程两个为，， 根据题意得，， 所以，， 所以以和为两根的一元二次方程为． 故选：C． 10. 下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行公理、正方形的判定方法、相似三角形的性质、弦与圆心角的关系判定即可． 【详解】解∶一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的81倍,故（1）是假命题； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故（2）是假命题； 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故（3）是假命题； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故（4）是真命题；共有1个真命题， 故选∶ D． 【点睛】本题考查了平行公理、正方形的判定方法、相似三角形的性质、弦与圆心角的关系以及命题与定理∶判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 11. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cn时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为（ ）（π取3.14，结果精确到1º） A. 115º B. 60º C. 57º D. 29º 【答案】C 【解析】 【分析】设OA旋转的角度为n，由于重物上升15 cm，则点A顺时针旋转的弧长为15 cm，根据弧长公式即可求出． 【详解】设OA旋转的角度为n，由于重物上升15 cm， 则点A顺时针旋转的弧长为15 cm， 由弧长公式l=， 可求n=≈57度． 故选C. 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 12. 如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，判断出斜边的长度，根据勾股定理算出的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为，同理，，故也是等边三角形，的长度即为的长度． 【详解】解：∵在中，，，将其进行顺时针旋转，落在的中点处， ∴是由旋转得到， ∴， ∵，点恰好落在边的中点处， ∴， 根据勾股定理：， 又∵，且， ∴为等边三角形， ∴旋转角， ∴，且， ∴也是等边三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得． 13. 下列4个函数，①；②；③；④，其中图像是中心对称图形，且对称中心在原点的共有（　　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象的性质，要求学生熟练掌握函数的对称性质．根据各个函数图形的形状，以及中心对称图形的定义即可求解．在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：四个函数中： ①的图象是中心对称图形，对称中心不是原点； ②的图象是双曲线，是中心对称图形，且对称中心是原点，符合题意； ③是轴对称对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． ④的图象不是关于原点对称的中心对称图形．不符合题意． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 14. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解，保证因式分解彻底 【详解】解： 15. 某中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有______人． 【答案】12 【解析】 【分析】扩印费+0.5×照片上人数=0.6×学生数，把相关数值代入计算即可． 【详解】设相片上共有x人， 0.6+0.5x=0.6×(x-1)， 解得x=12， 故答案为12. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意，得到所需总费用的等量关系是解决本题的关键． 16. 如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 ___________________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有，即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故答案为：． 17. 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是___________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形的性质是解题的关键．过点D作交延长线于点M，过点F作点N，由正方形的性质可证得可得，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，进而求得,最后求面积即可解答． 【详解】解：过点D作交延长线于点M，过点F作点N，如图所示： ∵直角三角形，四边形为正方形，过点C作的垂线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形的面积为：． 故答案为：80． 三、解答题（69分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式乘法运算、二次根式性质化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、去绝对值先计算，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式乘法运算、二次根式性质化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、去绝对值及二次根式加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 19. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为x米． （1）矩形的面积为，求出的长 （2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为米 （2） 不能，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∴， ∴一元二次方程没有实数根， ∴矩形的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设矩形的一边长为x，则：， 由题意，得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； ∴， ∴的长为米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键． 20. 如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，，， （1）求点坐标及反比例函数解析式； （2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）点的坐标为，反比例函数解析式为 （2）当时或当时， 【解析】 【分析】（1）根据点，，可表示出点的坐标，根据可算出的长，由此即可求解； （2）根据（1）可求出点的坐标，根据图像即可求解． 【小问1详解】 解：点，是反比例函数图像上，轴于点，轴于点，点， ∴点， ∵， ∴，即点， ∵， ∴，即，解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴，， ∴点的坐标为，反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：已知点，， ∴由图像可知，当时，，即； 当时，，即； 综上所述，当时或当时，． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，理解图示的意义，掌握待定系数法求解析式，一次函数以反比例函数交点的含义及计算是解题的关键． 21. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每个学生只能参加一个项目）；A．阅读数学名著；B、讲述数学故事；C、制作数学模型；D、参与数学游戏；E、挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果．绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条开图上方注明名数）； ③扇形统计图中圆心角_________度． （2）若该年级有学生1100名，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名？ （3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请画树状图或列表法求出恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）① ②补全统计图如下： ③54 （2）名 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及利用树状图求概率率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）①根据讲述数学故事的名数是100名，所占的比例是，据此即可求得此次调查的学生人数；②用总人数乘以项所占百分比即可得阅读数学名著的人数，再用总人数减去、、、的人数即可得的人数，从而画出条形统计图；③将乘以所占百分比即可得解； （2）利用总人数1100乘以对应的百分比即可求得； （3）根据题意画出树状图即可得解． 【小问1详解】 解：（1）①（名， 故答案为400； ②阅读数学名著（名， 制作数学模型（名； ③， 故答案为：54； 【小问2详解】 解：项目的学生：（名； 【小问3详解】 解：列表法如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男 （男1，男 （男1，女 （男1，女 男2 （男2，男 （男2，男 （男2，女 （男2，女 男3 （男3，男 （男3，男 （男3，女 （男3，女 女1 （女1，男 （女1，男 （女1，男 （女1，女 女2 （女2，男 （女2，男 （女2，男 （女2，女 共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种， 22. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】作于．解直角三角形分别求出、即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：作于． ，米， （米）， ， 四边形是矩形， （米）， ，， ， ，， ， ， ， ， （米）， 在中， ， （米）， （米）． 23. （1）操作发现： 如图①，在中，，点D是BC上一点，沿AD折叠，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系________________________________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中；，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，，，，，连接AC、点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若，求DE的长． 【答案】（1）； （2）连接DE，由题意可知： ∵， ∴ ∵ ∴= ∴ ∴ ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC，然后证明△BED为等腰直角三角形，从而得到BE=ED ，故可证明得AB=AC+CD； （2）由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED，由三角形外角的性质可证明∠B=∠AED由三角形外角的性质可证明，从而得到BE=ED于是可证明AB=AC+CD； （3）过点B作BH⊥AC，垂足为H，由特殊锐角三角函数值可知CH的长，然后求得AD的长，最后根据AC=AD+DE求解即可． 【详解】解：（1）90° ∴45° 由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC， 90° ∴=45° ∴BE=ED ∴BE=DC ∴； （2）略 （3）作BH⊥AC于点H，根据∠B=120°， AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA=30° 在Rt△BHC中，CH=BC×= ∵AH=CH， ∴AC=2CH=2() ∵AD=DC， ∠D=90° ∴∠ACD=45°， 在Rt△ACD中，根据勾股定理有 ∴AD2=2()2 ∴AD= 又由(1)，(2)可知，AD+ED=AC ∴DE=AC-AD=2+2-（2+6）= 【点睛】本题考查了图形折叠的性质，也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形． 24. 某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件、下面是他们活动后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． （1）若设每件涨价x元，则每星期实际可卖_______件，每星期售出商品的利润（元）与x的关系式为=____________，x的取值范围是_________． （2）若设每件降价a价，则每星期售出商品的利润（元）与a的关系式为=________． （3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），，，且为整数． （2） （3）商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件，由此即可求解； （2）根据每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件，由此即可求解； （3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件， 设每件涨价元， 现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元， ，即， ，则， ，且为整数， 故答案为：，，，且为整数． 【小问2详解】 解：∵进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件， 设每件降价元， 现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元， 即， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（1）可知，，， ， 当时，商品的利润最大，最大利润， 商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元． 25. 如图所示，在中，经过A、B两点的交于点E，圆心O在上过点交于点D，连接交于点E．若． （1）求证：是的切线． （2）若，．求的长； 【答案】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． (1)由知,由知，根据可得，再根据切线的判定定理即可证明结论； (2)设，在中根据勾股定理可得，继而由，再根据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 在中，由,可得：，解得：， ∴， ∴， ∴． 26. 已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A （﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点． （1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式； （2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）直线OB解析式为y=x，抛物线为y＝x2+2x﹣3 （2）最大值为 （3）EF+EG是定值，当点P运动时，EF+EG为定值8． 【解析】 【分析】（1）由B点坐标利用待定系数法可求直线OB解析式，利用顶点式可求得抛物线解析式； （2）设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，则可表示出N点坐标，由MN的纵坐标相等可得到关于s和t的关系式，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）设P（t，t2+2t﹣3），则可表示出PQ、CQ、DQ，再利用相似三角形的性质可用t分别表示出EF和EG的长，则可求得其定值． 【小问1详解】 解：设直线OB解析式为y＝kx， 由题意可得﹣3＝﹣2k， 解得k， ∴直线OB解析式为yx， ∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣4， ∵抛物线经过B（﹣2，﹣3）， ∴﹣3＝a﹣4，解得a＝1， ∴抛物线为y＝x2+2x﹣3； 【小问2详解】 解：设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s， 则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为， ∵MN∥x轴， ∴t2+2t﹣3， 得s ， ∴当t时，MN有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：EF+EG＝8． 理由如下： 如图3，过点P作PQ∥y轴交x轴于Q， 在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0 可得0＝x2+2x﹣3， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴C（﹣3，0），D（1，0）， 设P（t，t2+2t﹣3）， 则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t， ∵PQ∥EF， ∴△CEF∽△CQP， ∴， ∴EF•PQ（﹣t2﹣2t+3）， 同理△EGD∽△QPD 得， ∴EG•PQ， ∴EF+EG（﹣t2﹣2t+3） 2（﹣t2﹣2t+3）（） ＝2（﹣t2﹣2t+3）（） ＝2（﹣t2﹣2t+3）（） ＝8， ∴当点P运动时，EF+EG为定值8． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识点．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $