精品解析：黑龙江省鹤岗市萝北县高级中学2025届高三8月模拟考试数学试题

萝北高中2025届高三8月模拟考试 数学 一、单选题（共8题，40分，每题5分） 1. 已知集合，集合，则集合 A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 基底中基向量与基底基向量对应相等 3. 已知复数和满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 的值是 A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论正确的有（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B. 的第80百分位数为96 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 7. 设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti分钟，假设Ti各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少(　　) A. 从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B. 从Ti中最小的开始，按由小到大的顺序排队 C. 从靠近Ti平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的摆动顺序排队 D. 任意顺序排队接水的总时间都不变 8. 在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、多选题（共3题，18分，每题6分） 9. 已知函数的周期为，当时，的（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 零点为 D. 增区间为 10. 设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 11. 已知函数，下列结论正确的有（ ）． A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 无极大值 D. 的最小值为 三、填空题（共3题，15分，每题5分） 12. 若的展开式中所有项的系数之和为1024，则该展开式中的常数项是___________. 13. 过抛物线C：y2＝4x的焦点F的动直线交C于A，B两点，线段AB的中点为N，点P（12，4）．当|NA|+|NP|的值最小时，点N的横坐标为 ____． 14. 用1，2，3，…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有________个． 四、解答题（共5题，77分7） 15. 在中，分别是角的对边，且 （1）求角的大小； （2）若，求实数b的取值范围． 16. 已知函数，若，求在处的切线方程. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． （1）求C的方程； （2）过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值． 18. 如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． （1）当时，求MN与AE夹角的余弦值； （2）是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 已知数列是各项均为正数的等差数列. （1）若，且成等比数列，求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若数列中有两项可以表示为某个整数的不同正整数次幂，求证:数列中存在无穷多项构成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萝北高中2025届高三8月模拟考试 数学 一、单选题（共8题，40分，每题5分） 1. 已知集合，集合，则集合 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个集合中对元素的描述，可得为直线求交点问题，可得答案. 【详解】由题意可得，集合表示时线段上的点，集合表示时线段上的点，则表示两条线段的交点坐标，据此可得：. 故选：C. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 基底中基向量与基底基向量对应相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断选项可解. 【详解】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错. 项，空间基底有无数个, 所以错. 项中因为基底不唯一，所以错. 故选. 【点睛】本题考查空间向量基本定理. 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得 3. 已知复数和满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合向量运算求解. 【详解】题设等价为向量满足，求， 因为 又,所以， 故选：B 4. 的值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可直接得出结果. 【详解】. 故选B 【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型. 5. 下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为， 而，但， 故在定义域上不是增函数，故A错误. 对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B错误. 对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误. 对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数， 而，故为奇函数，符合. 故选：D. 6. 下列结论正确的有（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B. 的第80百分位数为96 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据总体方差公式，即可判断A，根据百分位数公式，即可判断B，根据二项分布的期望公式，即可判断C，根据正态分布的对称性，即可判断D. 【详解】A.根据总体方差公式，可知，总体方差与两层的样本数有关，只有两层的样本数一样，总体方差才是，否则不正确，故A错误； B.将数据按照由小到大的顺序排列，，则，则第80百分位数位，故B错误； C. 若随机变量，则,则，故C错误； D. 若随机变量，，利用对称性，，故D正确. 故选：D 7. 设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti分钟，假设Ti各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少(　　) A. 从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B. 从Ti中最小的开始，按由小到大的顺序排队 C. 从靠近Ti平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的摆动顺序排队 D. 任意顺序排队接水的总时间都不变 【答案】B 【解析】 【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 2m+2t+T 分钟，共节省了 T-t 分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法． 8. 在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据导数判断单调性，可判断①；由，根据函数的单调性，可得，进而判断②；由函数的单调性可得，进而，即，再构造，根据函数的单调性可得，进而判断③. 【详解】令，则，所以时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；可得，即，故①正确； 因为，所以，即，所以，即，故②错误； 再令，则，所以当时，，即在上单调递增，所以，则，即．又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③错误； 故选：B． 二、多选题（共3题，18分，每题6分） 9. 已知函数的周期为，当时，的（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 零点为 D. 增区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先对函数化简变形，再由周期求出的值，从而可求出，然后逐个分析判断 【详解】 ， 因为的周期为，所以，得， 所以， 当时，，所以，所以，所以 的最小值为，最大值为2，所以A错误，B正确， 由，，得，解得，所以的零点为，所以C正确， 由，得，所以的增区间为，所以D正确， 故选：BCD 10. 设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】CD 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由等比数列的性质求出，可判断A；求出等比数列的通项公式和前项和公式可判断B，C；由可判断D. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，则， 又因为，则，故A错误； ，， ，故B错误； ，故C正确； ， 因为，故为等比数列，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，下列结论正确的有（ ）． A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 无极大值 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，判断是否互为相反数即可;对于B，根据导函数在这个区间的正负即可;对于C，根据函数的单调性判断有无极大值即可;对于D，根据函数的单调性可知，在处，取最小值，代入即可. 【详解】对于A， ， A错误； 对于B，， 当时，， 且为增函数，所以在上，单调递减； 在上，单调递增； 且，故B正确； 对于C，由单调区间可知， 无极大值，C正确； 对于D，由单调区间可知，，故D错误； 故选：BC. 三、填空题（共3题，15分，每题5分） 12. 若的展开式中所有项的系数之和为1024，则该展开式中的常数项是___________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用所有项的系数和求出，结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】令，则的展开式中所有项的系数之和为， 由题意可得，即，所以， 而的展开式的通项公式为， 令，则，所以该展开式中的常数项是， 故答案为：. 13. 过抛物线C：y2＝4x的焦点F的动直线交C于A，B两点，线段AB的中点为N，点P（12，4）．当|NA|+|NP|的值最小时，点N的横坐标为 ____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据椭圆定义问题可转化为|MN|+|NP|的最小值问题，数形结合可得M，N，P三点共线时有最小值. 【详解】分别过点A，B，N作准线的垂线，垂足为A1，B1，M，如图所示， 由抛物线的定义知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∴|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝2|MN|， ∴|NA|+|NP|＝|AB|+|NP|＝|MN|+|NP|， 故原问题可转化为|MN|+|NP|的最小值问题， 当M，N，P三点共线时，|MN|+|NP|取得最小值，此时yN＝yP＝4， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 两式相减得，＝＝＝，即直线AB的斜率为， 又直线AB经过点F（1，0）， ∴直线AB的方程为y＝（x﹣1）， 把代入，得 解得＝9， ∴当|NA|+|NP|的值最小时，点N的横坐标为9． 故答案为：9 14. 用1，2，3，…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有________个． 【答案】600 【解析】 【详解】解析：依题意，要使得各位数字之和为奇数，则可能是3个奇数1个偶数或3个偶数1个奇数， 若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选一个排在个位，有C＝4（种）， 再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有A＝60（种）排法，故有CA＝240（个）数字； 若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有CA＝15（种）， 再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有A＝24（种）排法，故有CAA＝360（个）数字． 综上，可得一共有240＋360＝600（个）数字． 四、解答题（共5题，77分7） 15. 在中，分别是角的对边，且 （1）求角的大小； （2）若，求实数b的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，结合三角恒等变换的公式，化简得到，即可求解； （2）由余弦定理得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得， 即 即， 因为，可得， 所以，即 因为，所以， 又因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理得 ＝，所以， 又因为，所以 ，即的取值范围为． 16. 已知函数，若，求在处的切线方程. 【答案】. 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】， ，. 在处的切线方程为：，即 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． （1）求C的方程； （2）过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 设，，，显然直线AB的斜率存在， 可设直线AB的方程为，代入， 得． 由过点的直线与C交于两点A，B，得， 由韦达定理，得，；       ① 由在直线上，得，即；       ② 由在直线AB上，得．             ③ 由，得， 即解得．同理，由，得， 结合①②③，得 ．故是定值． 【解析】 【分析】(1)根据双曲线的定义和焦距的概念求出a、c，进而得出结果； (2)设，，，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，联立双曲线方程并消去y，利用韦达定理得出表达式；将点N坐标代入直线方程，结合可得，同理求得， 进而化简计算即可. 【小问1详解】 设C的焦距为，则， 即，，； 由双曲线的定义，得，即， 所以，故C的方程为． 【小问2详解】 略 18. 如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． （1）当时，求MN与AE夹角的余弦值； （2）是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的数量积求夹角即可； （2）利用空间向量证明线面垂直即可. 【小问1详解】 , 在矩形ABEF中,易知， ， 当时，, , , . 故MN与AE夹角的余弦值. 【小问2详解】 若平面ABCD， 平面ABCD， . 则显然成立， 又，即， 解得,满足题意. 故存在，使得平面ABCD. 19. 已知数列是各项均为正数的等差数列. （1）若，且成等比数列，求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若数列中有两项可以表示为某个整数的不同正整数次幂，求证:数列中存在无穷多项构成等比数列. 【答案】（1） （2） （3）正项数列中有两项可以表示为某个整数的不同正整数次幂，则有公差， 令，其中 是数列的项，是大于1的整数，，， 令，则，即有是的正整数倍， 对的次幂，则， 而c是大于1的整数，且，则有是正整数，又是的正整数倍， 因此，是的正整数倍，即所有形如的数是数列中某一项，而也是的一项且满足上式， 从而有等比数列，其中，公比， 所以数列中存在无穷多项构成等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件列式，求出等差数列的公差即可计算作答． （2）由（1）求出，进而求得，再求出的最大值即可作答. （3）用c的两个不同次幂表示数列的两项，由此分析、推理计算存在无穷多项是与某一项的差是公差的正整数倍作答. 【小问1详解】 因为是正项等差数列，则其公差，依题意，， 即，解得或(舍去) ，因此，， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知，，即， 则 ， 因函数在上是增函数，于是得数列是递增数列， ，，当且仅当时取“=”，因此，，依题意，， 所以实数的最小值为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数研究数列单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $