1.3　两条直线的平行与垂直练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1.3　两条直线的平行与垂直 一、知识梳理 1.对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔______．当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2. 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，那么l1⊥l2⇔ _________.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时， 二、课前自测 1.下列直线与直线x－2y＋1＝0平行的是(　　) A. 2x＋y－1＝0 B. x＋2y－1＝0 C. 2x－y－1＝0 D. x－2y－1＝0 2.经过点(1，2)且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线的方程为(　　) A.x－2y＋3＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x＋y－3＝0 D.2x＋y－4＝0 3.(多选题)下列说法错误的是(　　) A.若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2 B.若两直线的斜率k1·k2＝1，则l1⊥l2 C.若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2 D.若直线l1，l2的斜率不相等，则l1与l2不平行 4.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________． 5.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标． 三、课后练习 6.若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且 l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A. 1 B. 3 C. 0或1 D. 1或3 7.已知直线l1：2x－5y＋4＝0与l2互相平行，且l2经过点(2，1)，则直线l2的方程为(　　) A.5x＋2y－12＝0 B.2x－5y＋1＝0 C.5x－2y－8＝0 D.2x－5y－9＝0 8.已知直线l1：mx＋y－1＝0和l2：x＋(m－2)y＋2＝0互相垂直，则实数m的值为(　　) A.0 B.1 C.0或1 D.2 9.已知直线l经过点(2，－3)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l在y轴上的截距为(　　) A.－4 B.－2 C.2 D.4 10.(多选题)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，则下列说法正确的是(　　) A.l2始终过定点 B.若l1∥l2，则a＝1或－3 C.若l1⊥l2，则a＝0或2 D.当a＞0时，l1始终不经过第三象限 11.(多选题)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)， R(12，6)，S(2，12)，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.RP⊥QS 12.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 13.已知直线l1：mx＋2y－3＝0与l2：3x－y＋1＝0.若 l1∥l2，则m＝________；若l1⊥l2，则m＝________． 14.在平面直角坐标系中，若直线3x＋ay－7＝0与直线x＋y＋6＝0将平面划分成3个部分，则a＝________． 15.已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 16.已知直线l经过点(0，－2)，且与直线x－y＋1＝0平行．求： (1) 直线l的方程； (2) 直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． 17.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的长为3，宽为2，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点． (1) 求OB所在直线的方程． (2) 线段AB上是否存在一点P，使得CP⊥OP？若存在，求出线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3　两条直线的平行与垂直 一、知识梳理 1.对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔__k1＝k2____． 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2. 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，那么l1⊥l2⇔ __k1k2＝－1 ___.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，___ l1⊥l2___ 二、课前自测 1.下列直线与直线x－2y＋1＝0平行的是(　D　) A. 2x＋y－1＝0 B. x＋2y－1＝0 C. 2x－y－1＝0 D. x－2y－1＝0 解析：已知直线x－2y＋1＝0的斜率为k＝，与直线x－2y＋1＝0平行的直线满足斜率k＝，且其方程能化为x－2y＋C＝0(C≠1)的形式．选项A中，直线2x＋y－1＝0的斜率为k1＝－2≠，故不平行；选项B中，直线x＋2y－1＝0的斜率为k2＝－≠，故不平行；选项C中，直线2x－y－1＝0的斜率为k3＝2≠，故不平行；选项D中，直线x－2y－1＝0的斜率为k4＝，故斜率相等，又因为在直线方程x－2y－1＝0中，C＝－1≠1，故直线x－2y＋1＝0与直线x－2y－1＝0不重合，故满足题意． 2.经过点(1，2)且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线的方程为(　D　) A.x－2y＋3＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x＋y－3＝0 D.2x＋y－4＝0 解析：因为直线x－2y＋1＝0的斜率为，又所求直线与直线x－2y＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－2.因为经过点(1，2)，所以所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 3.(多选题)下列说法错误的是(　ABC　) A.若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2 B.若两直线的斜率k1·k2＝1，则l1⊥l2 C.若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2 D.若直线l1，l2的斜率不相等，则l1与l2不平行 解析：若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2或l1与l2重合，故A错误；若两直线的斜率k1·k2＝－1，则l1⊥l2，故B错误；若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2或l1与l2重合，故C错误；若直线l1，l2的斜率不相等，则l1与l2一定不平行，故D正确． 4.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为__—1____． 解析：由kPQ＝＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 5.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标． 解析：设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.所以解得所以顶点D的坐标为(3，4)． 三、课后练习 6.若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且 l1⊥l2，则实数a的值为(　D　) A. 1 B. 3 C. 0或1 D. 1或3 解析：因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3. 7.已知直线l1：2x－5y＋4＝0与l2互相平行，且l2经过点(2，1)，则直线l2的方程为(　B　) A.5x＋2y－12＝0 B.2x－5y＋1＝0 C.5x－2y－8＝0 D.2x－5y－9＝0 解析：因为直线l1：2x－5y＋4＝0与l2互相平行，所以设直线l2的方程为2x－5y＋λ＝0(λ≠4)．将(2，1)代入，可得λ＝1，故直线l2的方程为2x－5y＋1＝0. 8.已知直线l1：mx＋y－1＝0和l2：x＋(m－2)y＋2＝0互相垂直，则实数m的值为(　B　) A.0 B.1 C.0或1 D.2 解析：因为直线l1：mx＋y－1＝0和l2：x＋(m－2)y＋2＝0互相垂直，所以m·1＋1·(m－2)＝0，解得m＝1. 9.已知直线l经过点(2，－3)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l在y轴上的截距为(　B　) A.－4 B.－2 C.2 D.4 解析：设经过点(2，－3)，且与直线2x－y－5＝0垂直的直线l的方程为x＋2y＋c＝0，把(2，－3)代入，得2－6＋c＝0，解得c＝4，所以直线l的方程为x＋2y＋4＝0.令x＝0，则y＝－2，则直线l在y轴上的截距为－2. 10.(多选题)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，则下列说法正确的是(　ACD　) A.l2始终过定点 B.若l1∥l2，则a＝1或－3 C.若l1⊥l2，则a＝0或2 D.当a＞0时，l1始终不经过第三象限 解析：l2：a(x－2y)＋3y－1＝0过定点，故A正确；当a＝1时，l1，l2重合，故B错误；由1×a＋a×(3－2a)＝0，得a＝0或2，故C正确；当a＞0时，l1：y＝－x＋1始终经过点(0，1)，且斜率为负，故不会经过第三象限，故D正确． 11.(多选题)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)， R(12，6)，S(2，12)，给出下列四个结论，其中正确的是(　ABD　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.RP⊥QS 解析：因为kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，又P，Q，S，R四点不共线，根据直线位置关系的判断得到PQ∥SR，PS⊥PQ，PS⊥SR，RP⊥QS.故ABD正确． 12.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为___－6___． 解析：因为直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，所以kl2＝＝3.因为直线l1经过点A(0，－1)和点B，所以kl1＝＝－.因为l1与l2没有公共点，则l1∥l2，所以－＝3，解得a＝－6. 13.已知直线l1：mx＋2y－3＝0与l2：3x－y＋1＝0.若 l1∥l2，则m＝___－6_____； 若l1⊥l2，则m＝________． 解析：已知直线l1：mx＋2y－3＝0与l2：3x－y＋1＝0，当l1∥l2时，＝≠，解得m＝－6；当l1⊥l2时，3m－2＝0，解得m＝. 14.在平面直角坐标系中，若直线3x＋ay－7＝0与直线x＋y＋6＝0将平面划分成3个部分，则a＝___3_____． 解析：由题意，得直线3x＋ay－7＝0与直线x＋y＋6＝0互相平行，所以＝≠，解得a＝3. 15.已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解析：若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.综上所述，m的值为－7或－2或2或3. 16.已知直线l经过点(0，－2)，且与直线x－y＋1＝0平行．求： (1) 直线l的方程； (2) 直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． 解析：(1) 设经过点(0，－2)，且与直线x－y＋1＝0平行的直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠1)，把(0，－2)代入，得0＋2＋c＝0，解得c＝－2，所以直线l的方程为x－y－2＝0. (2) 在直线l：x－y－2＝0中，令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝2.所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－2|×2＝2. 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的长为3，宽为2，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点． (1) 求OB所在直线的方程． (2) 线段AB上是否存在一点P，使得CP⊥OP？若存在，求出线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 由题意，知O(0，0)，B(2，3)，C(0，3)，所以OB所在直线的斜率为＝.所以OB所在直线的方程为y＝x，即3x－2y＝0. (2) 不存在点P，使得CP⊥OP.理由：假设线段AB上存在点P(2，a)(0≤ a ≤3)，使得CP⊥OP.显然直线CP与直线OP的斜率都存在，分别记作kCP，kOP，所以kCP·kOP＝－1.因为kCP＝＝，kOP＝＝，所以·＝－1，即a2－3a＋4＝0.因为Δ＝(－3)2－4×4＜0，所以该方程无解．所以线段AB上不存在点P，使得CP⊥OP. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$