1.2.3直线的一般式方程练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1.2.3　直线的一般式方程 一、知识梳理 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程______________ (其中A，B不全为0) 叫作直线的____________，简称一般式． 二、课前自测 1.已知直线＋＝1，将其方程化成一般式方程为(　　) A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 2.已知直线l的方程为x－y＋b＝0(b∈R)，则直线l的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.与b有关 3.(多选题)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)可能是(　　) A B C D 4.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为______________． 5.已知直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下面条件分别确定k的值． (1) 直线l的斜率为－1； (2) 直线l在x轴、y轴上的截距之和为0. 三、课后练习 6.已知点A(1，m)在直线x－y＋1＝0上，则实数m的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A.A≠0 B.B≠0 C.AB≠0 D.A2＋B2≠0 8.已知直线(2＋m－m2)x－(4－m2)y＋m2－4＝0的斜率不存在，则m的值是(　　) A.1 B. C.－2 D.2 9.已知直线l经过点P(1，－2)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　) A.x－y－3＝0 B.x＋y＋1＝0或x－y－3＝0或2x＋y＝0 C.x－y－3＝0或2x＋y＝0 D.x＋y＋1＝0或2x＋y＝0 10.(多选题)若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，则满足的条件是(　　) A.ab＞0 B.bc＞0 C.ab＜0 D.bc＜0 11.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线 B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线经过原点 C.当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 12.已知点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB的一般式方程为________________． 13.经过点P(2020，2020)且在两坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程为_________． 14.已知直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；若直线l的斜率为1，则m＝ ________． 15.求满足下面条件的直线的方程(要求把直线的方程化为一般式)： (1) 经过点A(2，－3)，且斜率等于直线y＝x的斜率的2倍； (2) 经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍． 16.已知直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1) 若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 17.已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，边AB，AC上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3　直线的一般式方程 一、知识梳理 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程__一般式方程__ (其中A，B不全为0) 叫作直线的___Ax＋By＋C＝0____，简称一般式． 二、课前自测 1.已知直线＋＝1，将其方程化成一般式方程为( C ) A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 解析：直线＋＝1的方程化成一般式方程为4x＋3y－12＝0. 2. 已知直线l的方程为x－y＋b＝0(b∈R)，则直线l的倾斜角为( B ) A.30° B.45° C.60° D.与b有关 解析：因为直线l的方程为x－y＋b＝0(b∈R)，所以其斜率为k＝1，即tanα＝1(α为直线l的倾斜角)． 由α∈[0°，180°)，可知α＝45°. 3.(多选题)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)可能是( BC ) A B C D 解析：l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a.在A中，由l1知a＞0，b＜0，则－b＞0，与l2不符；在B中，由l1知a＞0，b＞0，则－b＜0，与l2相符；在C中，由l1知a＜0，b＞0，则－b＜0，与l2相符；在D中，由l1知a＞0，b＞0，则－b＜0，与l2不符． 4.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为____2x－y＋1＝0_____． 解析：由直线的点斜式方程，可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 5.已知直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下面条件分别确定k的值． (1) 直线l的斜率为－1； (2) 直线l在x轴、y轴上的截距之和为0. 解析：(1) 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.由题意，得－＝－1， 解得k＝5. (2) 直线l的方程可化为＋＝1.由题意，得k－3＋2＝0，解得k＝1. 三、课后练习 6.已知点A(1，m)在直线x－y＋1＝0上，则实数m的值为 ( A ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：因为点A(1，m)在直线x－y＋1＝0上，故将其坐标代入，可得1－m＋1＝0，解得m＝2. 7.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　D　) A.A≠0 B.B≠0 C.AB≠0 D.A2＋B2≠0 解析：方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 8.已知直线(2＋m－m2)x－(4－m2)y＋m2－4＝0的斜率不存在，则m的值是(　C　) A. 1 B. C. －2 D. 2 解析：由题意，知解得m＝－2. 9.已知直线l经过点P(1，－2)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　C　) A.x－y－3＝0 B.x＋y＋1＝0或x－y－3＝0或2x＋y＝0 C.x－y－3＝0或2x＋y＝0 D.x＋y＋1＝0或2x＋y＝0 解析：当直线经过原点时，斜率为＝－2，故直线的方程为y＝－2x，即2x＋y＝0.当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1，把A(1，－2)代入，可得a＝3，故直线的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程为2x＋y＝0或x－y－3＝0. 10.(多选题)若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，则满足的条件是(　AD　) A.ab＞0 B.bc＞0 C.ab＜0 D.bc＜0 解析：将直线方程ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以－＜0，－＞0.所以ab＞0，bc＜0. 11.(多选题)下列说法正确的是(　AB　) A. 二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线 B. 当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线经过原点 C. 当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行 D. 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 解析：易知A，B正确；当C＝0时，直线与y轴重合，故C错误；当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式，故D错误． 12.已知点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB的一般式方程为___2x－y－4＝0_____． 解析：因为点A(3，2)，B(8，12)，所以经过点A，B的直线的方程为＝，整理，得2x－y－4＝0. 13.经过点P(2020，2020)且在两坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程为__x－y＝0或x＋y－4040＝0__． 解析：① 当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，此时直线的方程为y＝x，即x－y＝0.② 当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1.因为直线经过点P(2020，2020)，所以＋＝1，解得a＝4040.所以直线的方程为＋＝1，整理，得x＋y－4040＝0.综上所述，所求直线的一般式方程为x－y＝0或x＋y－4040＝0. 14.已知直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝___－2___；若直线l的斜率为1，则m＝___－___． 解析：令y＝0，则x＝，所以＝－3，解得m＝－或m＝3(不合题意，舍去)．所以m＝－.将直线l的方程化为斜截式方程得y＝ x＋ ，则＝1，解得m＝－2或m＝－1(不合题意，舍去)，所以m＝－2. 15.求满足下面条件的直线的方程(要求把直线的方程化为一般式)： (1) 经过点A(2，－3)，且斜率等于直线y＝x的斜率的2倍； (2) 经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍． 解：(1) 因为直线y＝x的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线的方程为y＋3＝(x－2)，即2x－y－3－4＝0. (2) 由题意，可知当直线不经过坐标原点时，设直线的方程为＋＝1，将A(－5，2)代入，可得＋＝1，解得a＝－，所以所求直线的方程为x＋2y＋1＝0；当直线经过坐标原点时，设直线的方程为y＝kx，将A(－5，2)代入，可得－5k＝2，解得k＝－，所以所求直线的方程为2x＋5y＝0.综上所述，所求直线的方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. 16. 已知直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1) 若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1) 当直线经过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为0，所以a＝2.若a≠2，则＝a－2，即a＋1＝1，所以a＝0.综上所述，a的值为0或2. (2) 直线l的方程可化为a(x－1)＋(x＋y＋2)＝0，易得l恒过定点(1，－3)，所以当斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．所以a的取值范围是(－∞，－1]． 17. 已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，边AB，AC上的中线所在直线的 方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 解：设边AB，AC上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点．因为点B在中线y－1＝0上，所以设点B的坐标为(x，1)．又因为点A的坐标为(1，3)，D为AB的中点，所以由中点坐标公式，得点D的坐标为.又因为点D在中线x－2y＋1＝0上，所以－2×2＋1＝0，解得x＝5.所以点B的坐标为(5，1)．同理可求出点C的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$