专题2.9 估算（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.9 估算（专项练习） 【考点目录】 【考点1】估算算术平方根取值范围； 【考点2】利用估计比较无理数大小； 【考点3】与无理数整数部分与小数部分的运算. 一、单选题 【考点1】估算算术平方根取值范围； 1．（2024九年级下·新疆·专题练习）估计的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．（21-22七年级下·广东珠海·期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（20-21八年级上·福建宁德·期中）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（      ） A． B． C． D． 【考点2】利用估计比较无理数大小； 5．（2024·江苏常州·模拟预测）满足的最大整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列整数中，与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023·江苏扬州·模拟预测）若直角三角形两直角边长分别为和，则其斜边长度的整数部分为（   ） A． B． C． D． 【考点3】与无理数整数部分与小数部分的运算. 9．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）设的小数部分为b，那么b的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D．4 11．（2024·浙江·一模）无理数（且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）若表示实数的整数部分，表示实数的小数部分，如，，，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 【考点1】估算算术平方根取值范围； 13．（23-24七年级下·吉林·期中）若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 14．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则 ． 15．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 16．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【考点2】利用估计比较无理数大小； 17．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）x为一个无理数，且，写出一个符合要求的x的值： ． 18．（23-24九年级下·云南曲靖·阶段练习）设n为正整数，且，则n的值为 ． 19．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即（为“勾”，为“股”，为“弦”），若“勾”为3，“股”为5，则“弦”最接近的整数是 ． 20．（23-24七年级下·重庆梁平·阶段练习）若的整数部分为a，的整数部分为b，则 ． 【考点3】与无理数整数部分与小数部分的运算. 21．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的整数部分为 ． 22．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 23．（2024八年级·全国·竞赛）若的整数部分是，小数部分是，则 ． 24．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）． 【考点1】如果的小数部分为，的整数部分为，求的值 ． 【考点2】已知：，其中x是整数，且，求的相反数 ． 三、解答题 【考点1】估算算术平方根取值范围； 25．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求这个正数； （2）请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 26．（22-23七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分， （1）求a、b、c的值． （2）求的立方根． 【考点2】利用估计比较无理数大小； 27．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： （1）按此规定________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 28．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志．是第一个无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．已知实数满足等式. 根据上述信息，解答下面的问题： （1）求的值； （2）若实数的整数部分是m，小数部分是n，求的绝对值. 【考点3】与无理数整数部分与小数部分的运算. 29．（23-24七年级下·吉林·期末）已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 30．（23-24七年级下·山西忻州·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为______． （2）任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：其中x是整数，且求的相反数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数，算术平方根，是解题的关键． 根据，得到，即可估算的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴的结果在3和4之间， 故选：C． 3．A 【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9=18， 则大正方形的边长为：， ∵， ∴4＜＜4.5， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 4．B 【分析】首先确定A，B对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可． 【详解】解：由数轴得，A点对应的数是1，B点对应的数是3， A.-2＜＜-1，不符合题意； B.2＜＜3，符合题意； C、3＜＜4，不符合题意； D. 3＜＜4，不符合题意； 故选：B 【点拨】本题主要考查了对无理数的估算． 5．C 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．先估算，从而可得答案． 【详解】解∶∵， ∴，即， ∴满足的最大整数是3， 故选∶C． 6．C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，设第三边为x，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴x可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 8．B 【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算，先由勾股定理求出斜边长，然后估算即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和， ∴斜边， ∵ ∴斜边长度的整数部分为， 故选：． 9．B 【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据算术平方根的定义得到，即可求出b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查二次根式的估值取整，代数式表示数等．根据题意可知，，继而得出本题答案． 【详解】解：∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 11．B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据已知条件，求出的取值范围，然后分两种情况讨论：①当，②时，分别判断各个选项中的式子的正负，然后再逐一进行判断即可． 【详解】解：，且为正整数， 且为整数， 当时，的整数部分，， ，，，， 当时， ，，，， 综上可知：，，选项不成立，选项一定成立， 故选：B． 12．A 【分析】本题考查了估算无理数大小，理解定义的新运算是解题的关键．先估算的值的范围，从而估算出的值的范围，然后根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， 故选：． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的概念，根据算术平方根的性质先确定的取值范围即可解．解题的关键是掌握无理数的概念：无限不循环小数． 【详解】解：∵是一个无理数，且， ∴， ∴可以取． 故答案为：（答案不唯一）． 14． 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15．7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 16．2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 17．（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出，整理出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵x为一个无理数， ∴ 即 ∴符合要求 故答案为：（答案不唯一）． 18．14 【分析】此题考查了估算无理数的大小．先判断199在哪2个相邻的平方数之间，然后可得在哪2个相邻的整数之间． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：14 19． 【分析】本题主要考查勾股定理，无理数的估算．先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可． 【详解】解：∵“勾”为3，“股”为5， ∴“弦”为 又∵， ∴ ∴“弦”最接近的整数是, 故答案为：． 20．13 【分析】本题考查了求无理数的整数部分，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法．先求出，，得出，，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：13． 21．2 【分析】本题主要考查非负数的性质和无理数的估算，先根据非负数的性质得出的值，再求出的整数部分即可． 【详解】解：∵，且， ∵ 解得， ∴， ∵ ∴ ∴的整数部分为2， 故答案为：2． 22．203 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 23． 【分析】本题考查对无理数的估算，利用平方法估计的整数部分，利用整数部分表示出小数部分，再将整数部分代入式子，即可解题． 【详解】解： ， ， 的整数部分是， ，则小数部分， ， 故答案为：． 24． 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． 【考点1】先根据的小数部分为，的整数部分为，求出、的值，然后求出即可； 【考点2】根据，其中x是整数，且，得出x为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数即可． 【详解】解：【考点1】∵，, ∴，， ∵的小数部分为， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴. 【考点2】∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴ 的相反数为. 25．(1)81 (2)的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： 【考点1】根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； 【考点2】由【考点1】得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】【考点1】解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． 【考点2】由【考点1】得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 26．(1) (2)的立方根是 【分析】【考点1】先根据平方根的定义求出a的值，再根据算术平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围即可得出c的值； 【考点2】代入代数式进行计算即可． 【详解】【考点1】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴； ∵的算术平方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴的整数部分， ∴． 【考点2】解：， ∴的立方根是． 【点拨】本题考查的是估算无理数的大小及平方根，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 27．(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． 【考点1】先估算出，得到，根据定义即可得到答案； 【考点2】先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】【考点1】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【考点2】∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 28．(1) (2) 【分析】本题考查了非负数的性质、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【考点1】由绝对值、算术平方根、平方的非负性得出，，，据此求解即可； 【考点2】由【考点1】可得，再结合即可得解． 【详解】【考点1】解：，，，， ，， ，，， 解得：，，， ； 【考点2】解：由【考点1】可得 ， 的整数部分是3， 的整数部分是2， ，， 29． 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点拨】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 30．(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． 【考点1】根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； 【考点2】根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； 【考点3】根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】【考点1】解：∵，即， ∴的小数部分为． 【考点2】解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． 【考点3】解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$