精品解析：山东省新泰市第一中学东校2023-2024学年高二下学期第二次模拟考试数学试题

新泰一中东校2023-2024学年高二下学期第二次模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 3. 已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解. 【详解】， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上的最大值是． ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在上的最小值是， 若，，恒成立，则，即， 所以，所以实数k的取值范围是． 故选:D． 4. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而否定选项A和选项B，求得不等式的解集判断选项C；求得不等式的解集判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 由，可得选项 A判断错误； ，故选项 B判断错误； 不等式可化为，解之得，故选项 C判断正确； 不等式可化为，即， 解之得或，故选项 D判断错误. 故选：C 6. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 7. 已知，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案. 【详解】定义域为R， ， 所以函数为偶函数，又因为， 时，， 时，， 故， 所以在上单调递增， 则不等， 即解得:. 所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 设，比较的大小关系（ ） A. B. b C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系. 【详解】由， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 综上，. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 10. 关于概率统计，下列说法中正确是（ ） A. 两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强 B. 某人解答5个问题，答对题数为X，若，则 C. 若一组样本数据（，2，3，…，n）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.56 D. 已知，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关系数的几何意义即可判断A；根据二项分布的期望公式即可判断B；根据线性相关的定义即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D. 【详解】对于A，越大，则x与y之间的线性相关性越强，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为样本点都在直线上， 所以样本数据呈线性相关，且为正相关，所以，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且恒成立，实数的最大值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据，可得，再根据组合数的性质，计算即可得出答案. 【详解】根据题意可得， 因为 ， 即，所以或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 （1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差. 参考数据：，.参考公式：，. 【答案】（1），秒 （2） 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）由残差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，， ， ， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是秒. 【小问2详解】 根据（1）得到，； 所以步长为0.30残差和为. 16. 若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. （1）求的最大值； （2）当时，均有，求满足条件的个数. 【答案】（1）140 （2）42 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求解即可.（2）利用排列组合的知识求解即可. 小问1详解】 由题意得 当且仅当时取等号， 即的最大值为140； 【小问2详解】 由题意知， 从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列， 故共有个满足条件； 17. 已知的展开式的各项系数和为256. （1）求展开式中的常数项； （2）设，证明：； （3）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出，再求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，从而可求出展开式中的常数项； （2）根据阶乘公式化简等式右边即可； （3）根据（2）的结论，利用裂项相消求和法可证得结论. 【小问1详解】 因为的展开式的各项系数和为256， 所以，解得， 所以， 展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中常数项为； 【小问2详解】 证明：因为 ， 所以； 【小问3详解】 证明：因为由（2）知， 所以 ． 18. 某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题. （1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率； （2）求聊天机器人答对题数的数学期望； （3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率. 【答案】（1） （2）3.75 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率； （2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到，根据二项分布期望公式求出答案； （3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率. 【小问1详解】 小王能全部答对的概率为； 【小问2详解】 设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则， 聊天机器人作答正确为事件， 则 ， 故聊天机器人答对题数， 数学期望； 【小问3详解】 由题意可得小王最少答对4道题， 小王能答对5道题的概率为，答对4道题的概率为， 由（2）知，聊天机器人答对题数， 故机器人能答对5道题的概率为， 机器人能答对4道题的概率为， 故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题， 故机器人获胜的概率为， 小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题， 其中都答对5道题的概率为， 都答对4道题的概率为， 所以小王获胜的概率为. 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:. （1）直接写出具有的类似①、②的性质（不需要证明）： （2）证明:当时，; （3）求的最小值. 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 （3）0 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，导数关系； （2）构造函数，，求导，结合基本不等式，得到函数单调性，进而得证； （3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在内单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出. 【小问1详解】 平方关系：； 导数关系：； 【小问2详解】 构造函数，， 可知， 由， 故恒成立，故单调递增， 则，故对任意，恒成立，满足题意； 【小问3详解】 ，， 令，则， 令，则， 当时，由（2）可知，，则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰一中东校2023-2024学年高二下学期第二次模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 5. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 6. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ） A 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 7. 已知，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 8. 设，比较的大小关系（ ） A. B. b C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 10. 关于概率统计，下列说法中正确的是（ ） A. 两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强 B. 某人解答5个问题，答对题数为X，若，则 C. 若一组样本数据（，2，3，…，n）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.56 D. 已知，若，则 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且恒成立，实数的最大值是_________． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 （1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差. 参考数据：，.参考公式：，. 16. 若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. （1）求最大值； （2）当时，均有，求满足条件的的个数. 17. 已知的展开式的各项系数和为256. （1）求展开式中的常数项； （2）设，证明：； （3）求证：. 18. 某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题. （1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率； （2）求聊天机器人答对题数的数学期望； （3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率. 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:. （1）直接写出具有的类似①、②的性质（不需要证明）： （2）证明:当时，; （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$