精品解析：广东肇庆市德庆县香山中学2026届高考模拟预测数学试题

2025-2026学年高三级数学科高考模拟预测 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，然后由集合并集定义可得答案. 【详解】，则， 又，则. 故选：A 2. 若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为 【详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限．故选D. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题． 3. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 4. 设为正项等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项基本量的运算求得，代入等比数列求和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴. 故选：C 5. 已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式求出圆柱的底面圆半径，再由即可求出球的半径，再用球的体积公式即得. 【详解】由圆柱侧面积，解得， 因为圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，所以球心在圆柱的上、下底面圆心连线的中点处. 设球半径为，则， 所以. 故选：A. 6. 已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式及同角三角函数关系求解即可. 【详解】由得， ， 所以， 为使有意义，必有，即， 所以. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】的定义域为R， 因为，所以函数是R上的增函数. 因为，所以函数是奇函数， 所以由得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 8. 设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程求出点坐标，利用向量垂直数量积为0建立关系式，结合转化为离心率方程，即可求出离心率. 【详解】由题意得，则，直线的斜率为， 所以直线的方程为. 由得， 所以，故， 代入直线的方程得，故， 可得. 因为，所以， 得，即， 又，所以，等号两边同时除以得， 又因为，所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递增数列 B. C. D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为，故，故B正确； 因为，所以，即等差数列为递增数列，故A正确； 因为，故C正确； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故D错误. 10. 某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：)服从正态分布，且.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由正态分布的对称性可知，，故，A正确； ，故，B正确； ，，故，C错误； 因为，所以， 故，D正确． 11. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 最大值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质确定的关系判断A；应用奇偶性定义判断B；由特殊值判断C；由，应用换元法及分式不等式的性质求函数的值域判断D. 【详解】由，显然不是的周期，A错； 由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对； 由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错； 由， 令，则，且， 若，则，又在、上都单调递减， 在上，，在上，， 所以的最大值为1，D对. 故选：BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 【答案】135 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令未知数的指数等于零，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 故二项展开式的常数项为． 故答案为：135 13. 已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求曲线在点处的切线方程，再与抛物线方程联立，利用相切条件（判别式为零）解出. 【详解】设，则，则， 则在处的切线的方程为，即， 联立，得， 因为直线与抛物线也相切， 则有，解得. 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个零点等价于的图象有两个交点，对每段函数分别求导，求出函数的单调区间，再求出每一段上的最大值，进而画出函数的图象，即可求出m的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，求导函数及其零点，利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性，结合极值的定义求结论； （2）分别在条件，下化简函数解析式，结合对数函数性质导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 当时，， 所以. 令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 . 当时，， 因为，所以在上单调递减. 当时，， 由， 令，得. 当，即时，， 所以在上单调递增. 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面. （1）若分别为的中点，证明：平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接交于点，连接，根据条件可得四边形是平行四边形，得出，再利用线面平行的判定定理，即可得出结果； （2）建立空间直角坐标系，根据条件求出面的法向量及平面的法向量为，再利用面面角的向量法即可求出结果. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接交于点，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，平面平面，平面平面平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角为，则， 在中，不妨设，则，连接， 因为，所以. 又平面平面，所以平面平面， 且平面平面平面，故平面. 设的中点为，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 则，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨取，则有， 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）， 【解析】 【分析】（1）由点到直线距离公式结合题意可得，据此可得答案； （2）（ⅰ）设切线的方程为，由圆心到切线的距离，可得，再将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理结合可得，据此可完成证明； （ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案； 方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案； 方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案. 【小问1详解】 解：由于双曲线的右焦点为，所以. 双曲线的渐近线方程为，即为， 由于点到的一条渐近线的距离为，则. 解得所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在， 设切线的方程为， 由于切线不平行的渐近线，则. 由圆心到切线的距离，得. 由消去得， 由题意知.设， 则， 而 . 则， 则. 所以，即. （ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为，则， . 由（ⅰ）得， 又， 则. 当时，. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法2：由（ⅰ）同理可得， 所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 则， 当时，，即的面积的最小值为3. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 由于，则， 根据基本不等式得， 得，则，即的面积的最小值为3. 当且仅当等号成立， 根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 19. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1）求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）证明：. 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 （3）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，结合分步乘法计算即可； （2）确定随机变量的取值，根据古典概型概率计算公式及分步乘法计算对应取值的概率即可； （3）根据题意推出，得到数列为等比数列，进而证明即可. 【小问1详解】 设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件， 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次取出1红1黑，另一次取出2红， 所以； 【小问2详解】 操作2次后，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 5 【小问3详解】记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则， ， ， ， 所以 ， 所以， 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三级数学科高考模拟预测 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为正项等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递增数列 B. C. D. 的最大值为 10. 某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：)服从正态分布，且.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 最大值为1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 13. 已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面. （1）若分别为的中点，证明：平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 19. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1）求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $