广东省广州市真光中学2025届高三上学期开学质量检测数学试题

广州市真光中学2025届高三开学质量检测 数学 2024.08 本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则( ). A． B． C． D． 2. 已知复数满足，则( ). A． B． C． D． 3. 已知向量，，若，则( ). A． B． C． D． 4. 已知，则( ). A． B． C． D． 5. 已知函数（且）在上单调递减，则得取值范围为( ). A． B． C． D． 6. 已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为( ). A． B． C． D． 7. 函数与的图像有个交点，其坐标依次为，，…， ，则( ). A． B． C． D． 8. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则( ). A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则　　 A． B． C．李明计划前到校，应选择坐公交车 D．李明计划前到校，应选择骑自行车 10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则　　 A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3 C．函数的零点个数为7 D．的解集为，， 11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹．我们称其为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为，，点为坐标原点，动点满足．下列四个命题中，正确的是　　 A．点的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B．点的横坐标的取值范围是， C．的最小值为4 D．△的面积的最大值为2 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 双曲线，过左、右焦点作平行于轴的直线交双曲线于,若构成正方形，则双曲线的离心率为___________. 13. 已知曲线和曲线，若存在斜率为的直线与，同时相切，则的取值范围是___________. 14. 编号为1、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐1人，座位编号和学生编号一致时称为一个“配对”，用表示“配对数”，则的数学期望___________. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 在中，角所对的边分别为，，． （1）求； （2）求； （3）求． 16. (15分) 已知椭圆方程，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点，且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线的斜率为0，求的值． 17. (15分) 如图，在四棱锥，，，，点在上，且，． （1）若为线段的中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. (17分) 设函数，直线是曲线在点，处的切线． （1）当，求单调区间； （2）证明：不经过； （3）当时，设点，，，，，为与轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，， 19. (17分) 已知集合，，，，，，，，，，，且为偶数．给定数列，，，和序列，，，，其中，，，，2，，，对数列进行如下变换：将的第，，，项均加1，其余项不变，得到的数列记作（A）；将（A）的第，，，项均加1，其余项不变，得到的数列记作（A）；；以此类推，得到数列（A），简记为（A）． （1）给定数列，3，2，4，6，3，1，9和序列，3，5，，，4，6，，，3，5，，写出（A）； （2）是否存在序列，使得（A）为，，，，，，，？若存在，写出一个，若不存在，请说明理由； （3）若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得（A）的各项都相等”的充要条件为“”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$