2025年九年级中考数学复习 第08讲 一元一次不等式及应用(讲义)

第08讲 一元一次不等式（组）及其应用 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 不等式及不等式的基本性质 题型01 不等式的概念及意义 题型02 列不等式 题型03 取值是否满足不等式 题型04 利用不等式的性质判断式子正负 题型05 根据点在数轴位置判断式子正负 题型06 利用不等式的性质比较大小 题型07 利用不等式的性质证明（不）等式 题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围 题型09 不等式性质的应用 考点二 一元一次不等式 题型01 判断一元一次不等式 题型02 根据一元一次不等式求参数值 题型03 求一元一次不等式解集 题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集 题型05 一元一次不等式整数解问题 题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题 题型08 含绝对值的一元一次不等式 题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围 考点三 一元一次不等式组 题型01 一元一次不等式组定义 题型02 解不等式组 题型03 求不等式组整数解 题型04 由不等式组整数解求字母取值范围 题型05 由不等式组的解集求参数 题型06 与不等式组有关的新定义问题 题型07 根据程序图解不等式组 题型08 不等式组与方程的综合 考点四 不等式（组）的实际应用 题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 学科网（北京）股份有限公司 考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 题型01 不等式的概念及意义 【例1】以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【提示】根据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：、、是不等式，和不是不等式， 即不等式有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【变式1-1】（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【答案】C 【提示】“”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思． 【详解】解：根据的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙高于150毫克”， 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容． 题型02 列不等式 【例2】（2023·广东·统考中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【答案】8.8 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为：8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过米．若用（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：∵乌鞘岭主主峰海拔超过米． ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的定义，理解题意是解题的关键． 【变式2-2】（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】非负数就是正数和零，即大于等于零的数是非负数判断即可． 【详解】∵a是非负数， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握定义是解题的关键，易错点是忽略零而导致错误． 题型03 取值是否满足不等式 【例3】（2023·河北保定·统考二模）在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【答案】B 【提示】根据各数的大小即可做出判断． 【详解】在四个数中，， 故满足不等式的有， 故选：B 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键． 【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】将分别代入四个选项中，看不等式是否成立即可． 【详解】A选项：当时，，不符合题意； B选项：当时，，不符合题意； C选项：当时，，不符合题意； D选项：当时，，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 要判断某个未知数的值是不是不等式的解可直接将该值代入不等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是,否则不是. 题型04 利用不等式的性质判断式子正负 【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 ，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：因为， 所以（不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变）． 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式4-1】（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设，，为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【提示】根据不等式的性质进行运算辨别即可． 【详解】解：若，不一定成立，即不一定成立， 故选项A不符合题意； 若，时，， 故选项B不符合题意； 若，时，则 ， 故选项C不符合题意； 若，则，故， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质． 题型05 根据点在数轴位置判断式子正负 【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】借助数轴上实数的位置关系结合相反数和绝对值的知识点，判断大小，逐一验证． 【详解】解：A．由图知：，那么，故选项错误，不符合题意； B．由图知：，那么，故选项错误，不符合题意； C．由图知：，那么，故选项正确，符合题意； D．由图知：，那么，故选项错误，不符合题意． 故选:C． 【点睛】本题考查了数轴，实数，绝对值，相反数的大小比较，注意符号的变化对数值的影响． 【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】由数轴可得，，再结合有理数的加法与减法法则及不等式的性质，绝对值的含义逐一提示即可． 【详解】解：∵，，故D不符合题意； ∴，，故A，B不符合题意； ∵， ∴，故C符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，有理数的加法与减法法则的应用，绝对值的含义，不等式的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 【变式5-2】2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 【详解】由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． 【变式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位置与各点所表示的数，若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，，则D点的位置（    ）    A．在A的左边 B．在A、C之间 C．在C、O之间 D．在O、B之间 【答案】D 【提示】结合绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：由题意，点表示的数为5，点表示的数为， ∵D点所表示的数为d，且， ∴根据绝对值的几何意义得：D点到B点的距离等于D点到C点的距离， ∴D点为的中点，则D点表示的数， 由题意，，则， ∴，即D点的位置在O、B之间， 故选：D． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及不等式的性质等，理解并熟练运用绝对值的几何意义是解题关键． 【变式5-4】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）m，n在数轴上对应的点如图所示，下列各式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【提示】数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大，运用不等式的基本性质求解． 【详解】如图， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小、不等式的基本性质；注意不等式两边同乘一个负数，不等号反向． 题型06 利用不等式的性质比较大小 【例6】（2022·浙江丽水·统考一模）数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据，判断出其余各数的大小关系． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键在于通过，判断出各个数的范围大小． 【变式6-1】（2022·浙江杭州·统考一模）已知，，请比较M和N的大小． 以下是小明的解答： ∵，， ∴． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答． 【答案】有错；时，；时，；时，； 【提示】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解． 【详解】解：有错，正确解答如下． ∵，， ∴． ∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M<N． ∴时，；时，；时，． 【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键． 40．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子分别为m和n，若m-n>0，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m<n. 题型07 利用不等式的性质证明（不）等式 【例7】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 【答案】见解析 【提示】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论． 【详解】证明： ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． 【变式7-1】（2019上·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？ 小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因． 思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小． 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料： 结论：在、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 均为正实数）的证明过程： 对于任意正实数、， , , ，当且仅当时，等号成立． 解决问题： （1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ； （2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）4，2；（2）见解析；（3）2 【提示】（1）根据题意，由，当且仅当时，等号成立；即可解决问题； （2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得xy=9，再根据公式证明当x=y时，x+y有最小值，进而得结论； （3）把转化为的形式，再根据公式进行解答便可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴当时，即时， ∴，即； 故答案为4；2． （2）设矩形的长、宽分别为m、m，由题意得，则 ，即， 当时，取最小值为6， 此时矩形的周长最小为：； 时，矩形变为正方形， ∴铁丝围一个面积为且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小； （3）， ， ，， ，即， 当时，即时， 取最小值为：． 【点睛】本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式． 【变式7-2】（2022·山东日照·日照市新营中学校考二模）2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和… 设直角三角形的边长为a，b，则，，即； 当时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即， 综上所述，，当且仅当时等号成立． 使用上述结论，“，当且仅当时等号成立”解决下列问题： (1)证明：“若a，b为正实数，则．当且仅当时等号成立”． (2)a，b均为实数，若为定值4，则有最小值________；若为定值6，则有最大值_________． (3)请结合函数图象（图2）研究中函数值y的取值范围． (4)如图3，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，，其中a是常数，，试求的最小面积（用a表示）． 【答案】(1)见解析 (2)当时，的最小值为4，当时，没有最小值； 9 (3)或 (4) 【提示】（1）利用，当且仅当时等号成立进行求解即可； （2）利用（1）中的结论求解即可； （3）分当时，，当时，，两种情况讨论求解即可； （4）如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B，设点P的坐标为，则点C的坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0），然后根据建立关系式，再由（1）中结论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当且仅当时等号成立， ∴， ∴当且仅当即时等号成立 （2）解：若为定值4时， 当时，∵，， ∴， ∴此时的最小值为4， 当时，∵， ∴， ∴， ∴此时没有最小值； 若为定值6，则不可能都小于0，因此要使值最大，只需要讨论当都是正数的情况即可， 当当时，∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为9； （3）解：当时，，即， 当时，，即， ∴或； （4）解：如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B， 设点P的坐标为，则点C的坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0）， ∴AB=a，BC=x+1，,OC=x，OB=1， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小面积为 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，不等式的性质等等，解题的关键在于能够正确读懂题意． 【变式7-3】（2023·江苏扬州·统考一模）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． (1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； (2)请证明（1）中的数学关系式； (3)在中，三条边的长度分别为，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【提示】（1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可； （2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可； （3）利用三角形的三边关系得到，，，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可． 【详解】（1）解：由题意得：加入克糖后糖水浓度为：， 由糖水变甜可知：， 故答案为： （2）解：利用作差法比较大小： ． ∵，， ∴，，即， ∴，即． （3）解：在中，，，，且， ∴，，． 由糖水不等式得，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键． 题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围 【例8】（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】根据，得出，再根据不等式的性质可得，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则，得出，用夹逼法求出取值范围． 【变式8-1】（2023路南区二模）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】根据不等式的性质3，可得 ，即可求解 【详解】解：，且， 即 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质3，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【提示】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键 【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知实数，，满足， ．若，，那么t的取值范围是 ． 【答案】 【提示】把a当作参数，联立方程组求出x，y的值，然后用x表示出，利用不等式的性质求解． 【详解】联立方程组，将a作为参数解得：， ∵， ∴， 可得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不等式的性质和解二元一次方程组，解题时要把a当作参数，联立方程组求出x，y的值，然后利用不等式的性质求解． 题型09 不等式性质的应用 【例9】（2023·河北保定·校考一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【提示】通过等式的性质得和可判断A和B正确；由题目条件判断，，可判断C正确；结合B和A推出，，作差计算可判断D错误． 【详解】解：∵， ∴，即，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故选项B正确，不符合题意； 若， ∵， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴，故选项C正确，不符合题意； 由B知， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由A知， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，不等式的性质，正确记忆等式的性质、不等式的性质并正确变形做出判断是解题关键． 【变式9-1】（2023武威县模拟）若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【提示】把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【变式9-2】（2023德阳市一模）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置． 【详解】解：因为a＞b且ac＜bc， 所以c＜0． 选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A． 选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负． 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 题型01 判断一元一次不等式 【例1】（2021·全国·九年级假期作业）在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【提示】一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一提示，即可得出答案． 【详解】-3＜0是不等式，不是一元一次不等式； 是整式，不是一元一次不等式； x=3是方程，不是一元一次不等式； x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式； x≠5是一元一次不等式； x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式； ∴是一元一次不等式的有1个 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解． 【变式1-1】（2021·陕西·九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（  ）个． ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【提示】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【详解】是一元一次不等式的是①和⑤， ∴一元一次不等式个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，只含有一个未知数且最高次数为1，还要注意未知数的系数不能是0． 题型02 根据一元一次不等式求参数值 【例2】已知（m+4）x|m|–3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B．±4 C．3 D．±3 【答案】A 【提示】根据一元一次不等式的定义，|m|﹣3=1，m+4≠0，分别进行求解即可． 【详解】根据题意得：|m|﹣3=1，m+4≠0，解得：|m|=4，m≠﹣4，∴m=4． 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 【变式2-1】若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【提示】根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得m=-1， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的定义并应用是解题的关键． 【变式2-2】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【提示】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 题型03 求一元一次不等式解集 【例3】（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 【变式3-1】（2024·湖北·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集．根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案． 【详解】解：， ． 在数轴上表示如图所示：    故选：A． 【变式3-2】（2024·四川乐山·中考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 移项可得一元一次不等式的解集． 【详解】解：， 解得，， 故选：A． 题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集 【例4】（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案． 本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键． 【详解】不等式的解集在数轴上的表示如下： ． 故选：C． 故选B 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“小于向左拐”是解本题的关键． 【变式4-1】（2023下·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【提示】先移项，再合并同类项，求出不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 把不等式的解集在数轴上表示为： 故选：B 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解题关键是抓住不等式的解集在数轴上表示出来大于或大于等于向右画；小于或小于等于向左画；注意在表示解集时大于等于，小于等于要用实心圆点表示；大于、小于要用空心圆点表示． 【变式4-2】（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下： ． 故选：A． 【变式4-3】（2024·广西·中考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 题型05 一元一次不等式整数解问题 【例5】（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 【变式5-1】（2024·四川凉山·中考真题）求不等式的整数解． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将变形为，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，再找出其中的整数解即可． 【详解】解：由题意得， 解①得：， 解②得：， ∴该不等式组的解集为：， ∴整数解为： 【变式5-2】（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解是 【提示】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴该不等式的最小整数解是． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式5-3】（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）先化简，再求值：，其中x是不等式的正整数解． 【答案】原式，当时，原式 【提示】先算括号内的减法，把除法变成乘法，计算乘法，然后求出不等式的正整数解，结合分式有意义的条件确定x的值，再代入求出答案即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴， ∵x为正整数， ∴或2或3， 根据分式有意义的条件，且， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解、分式化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 【例6】（2023·福建漳州·统考一模）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】首先解不等式，然后根据条件即可确定b的值． 【详解】解：∵， ， ∵不等式恰有两个负整数解， ． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的整数解问题，解题的关键是利用数轴提示，其次解题时必须理解题意，属于基础题，中考常考题型． 【变式6-1】（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解，则n的取值范围是 ． 【答案】 【提示】先解不等式，从而可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【变式6-2】（2023·江苏南通·统考一模）若关于的不等式恰有个正整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【提示】根据已知不等式恰有个正整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 关于的不等式恰有个正整数解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 【变式6-3】（2023·江苏扬州·统考二模）已知是关于的不等式的解，求的取值范围． 【答案】且 【提示】先根据不等式，解此不等式，再对a分类讨论，即可求出a的取值范围． 【详解】， 化简得， 当，即时，， 又是关于x的不等式的解， 则，解得， 即此时； 当，即时，， 又是关于x的不等式的解， 则，解得， 即此时； 当，即时， 由就变成了一个不含x的不等式， 故， 综上得：且． 故a的取值范围是且． 【点睛】本题考查了求解不等式的知识，注意分类讨论是解答本题的关键． 题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题 【例7】（2022下·广西·七年级统考阶段练习）定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】根据新定义列出关于的一元一次不等式，解不等式可得． 【详解】解：根据题意，原不等式转化为：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得：， 正整数解有个，为，，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式7-1】（2023·河北沧州·统考模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解：根据新定义可得，，即， 去分母得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 把代入不等式可得，， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算． 【变式7-2】（2023·广东广州·统考二模）定义运算“”为：当时，；当时，．例如：．若则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【提示】根据定义新运算的运算法则，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：当,即时，，即； 当，即时，，即，无解，舍去； 综上所示，， 故选：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，不等式的综合，掌握定义新运算的运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【变式7-3】（2023海港区一模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b=﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如2*1=﹣2+1=﹣． （1）求4*5的值： （2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2）x≤2， 【详解】试题提示：（1）根据题中定义求出所求式子的值即可； （2）根据题中的新定义所求的不等式，解不等式即可． 试题解析：（1）根据题意得：4*5=﹣4+5=； （2）根据题意得：﹣x+（x+2）≤4， 解得：x≤2， 在数轴上表示为： ． 【变式7-4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数和，规定，例如：． (1)求的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【提示】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式． （2）已知不等式利用题中的新定义化简，得， 整理，得， 解得． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是解题的关键． 题型08不等式与方程组综合求参数的取值范围 【例8】（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】解方程得，由解为非负数知，解之可得． 【详解】解：解方程得， 由题意知， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式8-1】（2023泗水县一模）如果关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【提示】先求出该方程的解为，再根据解为非负数和可得和，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的方程的解是非负数， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得， 综上：m的取值范围是且． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不为0．. 【变式8-2】（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）若不等式的最小整数解是方程的解，求m的值． 【答案】 【提示】解出一元一次不等式的解，求出x的最小整数值，然后将x的最小整数值代入方程求解即可． 【详解】解：由，解得， ∴x的最小整数值为， ∵是方程的解， ∴， 解得， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解．解题的关键在于找出x的最小整数值． 考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 题型01 一元一次不等式组定义 【例1】（2020·山西·校联考模拟预测）下列各式不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】根据一元一次不等式的定义判断即可得到结果； 【详解】符合一元一次不等式组的定义，故A是； 因为有a、b两个未知数，故B不是； 符合一元一次不等式组的定义，故C是； 符合一元一次不等式组的定义，故D是； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，准确判断是解题的关键． 【变式1-1】下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【提示】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是1，对各选项判断再计算个数即可 【详解】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，所含未知数相同，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组．③含有一个未知数，但是未知数的最高次数是2；⑤含有两个未知数，所以③⑤不是一元一次不等式组 故选B 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的定义 题型02 解不等式组 【例2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【变式2-1】（2023·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得·， 解不等式②，得：， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 则不等式组的解集为： ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式2-2】（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 题型03 求不等式组整数解 【例3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】（2024·湖北武汉·中考真题）求不等式组的整数解． 【答案】整数解为： 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为： 【变式3-2】（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为___________． 【答案】或 【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 所有整数解的和为， ①整数解为：、、、， ， 解得：， 为整数， ． ②整数解为：，，，、、、， ， 解得：， 为整数， ． 综上，整数的值为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键． 【变式3-3】（2023太原五中二模）解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和． 【答案】，6 【提示】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 的最小整数为，最大整数为8， 的最小整数解与最大整数解的和为6． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集． 题型04 由不等式组整数解求字母取值范围 【例4】（2023·山东泰安·统考一模）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】首先解不等式组，利用表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得的范围． 【详解】解∶∵， ∴， 不等式组有4个整数解， 不等式组的整数解是3，4，5，6， ． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了． 【变式4-1】（2022·湖南邵阳·统考中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【提示】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值． 【详解】解不等式， ， ∴， ∴， 解不等式， 得， ∴， ∴的解集为， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴不等式组的整数解应为：2，3，4， ∴, ∴的最大值应为5 故选：C． 【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识． 【变式4-2】（2022·山东济宁·统考中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2 C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2 【答案】D 【提示】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答． 【详解】解： 由①得， 由②得， 因不等式组有3个整数解 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键． 【变式4-3】（2023·四川凉山·统考一模）若关于的不等式组只有3个整数解，则整数的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集中只有3个整数解，确定出的范围即可求解． 【详解】解：解得， 解得， 不等式组只有3个整数解， 不等式组的整数解为，，0， ∴， 解得：， ∴整数，不能为， 故选；A． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【变式4-4】（2023·黑龙江·统考模拟预测）若关于的一元一次不等式组只有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【提示】先解不等式组，再根据该不等式组有且仅有个整数解判断的取值范围． 【详解】解：解不等式组，得． 又该不等式组有且仅有个整数解， 该不等式组的两个整数解为或， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型05 由不等式组的解集求参数 【例5】（2023菏泽市三模）若不等式组无解，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解不等式，得：x＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2， 故选A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式5-1】（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 【变式5-2】（2023扎兰屯市三模）若不等式组的解集为x＞3，则m的取值范围 ． 【答案】m≤3 【提示】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围． 【详解】解：解不等式x＋8＜4x−1，得：x＞3， ∵不等式组的解集为x＞3， ∴m≤3， 故答案为：m≤3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 【变式5-3】（2023·江苏连云港·校考二模）关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【答案】 【提示】先解二元一次方程程组，根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： ①+②，得， ∴③， ③代入②，解得：， ∵，， ∴ ，    ∴ ，    ∴ 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，根据题意建立不等式组是解题的关键． 题型06 与不等式组有关的新定义问题 【例6】（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 【答案】1188或4752 【分析】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题．设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，根据是完全平方数，得到可能的值即可得出结论． 【详解】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴， ∵m是四位数， ∴是四位数， 即， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴既是3的倍数也是完全平方数， ∴只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴或4752 故答案为：1188或4752． 【变式6-1】（2023·广东广州·统考二模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据所给的定义可知，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意得到不等式组是解题的关键． 【变式6-2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【提示】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为： 解不等式①可得： 解不等式①可得： 因为该不等式组的解集为 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算． 【变式6-3】．（2022·河南安阳·统考一模）定义新运算：，则不等式组的整数解的个数为 ． 【答案】5 【提示】先根据新定义，列出不等式组，再解不等式组，求出其解集，然后求出整数，即可得出答案． 【详解】解：由题意，得， 解①得：x≥-1， 解②得：x<4， ∴-1≤x<4， ∵x为整数， ∴x=-1，0，1，2，3， ∴不等式组的整数解的个数为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查新定义，求解不等式组的整数解，根据新定义，列出不等式组是解题的关键． 【变式6-4】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 【答案】 【提示】先求出两个方程的解，再解不等式组，根据题意可得且，即可解答． 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得：， 由，得：， 由，得：， 均是不等式组的解， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解题意，熟练解一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 题型07 不等式组与方程的综合 【例7】（2023成都市模拟）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为 ． 【答案】130 【提示】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解． 【详解】解： ， ①+②，得3a+4b+5c＝130， 可得出a＝10﹣，c＝20﹣， ∵a，b，c为三个非负实数， ∴a＝10﹣≥0，c＝20﹣≥0， ∴0≤b≤20， ∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b， ∴当b＝0时，W＝130﹣2b的最大值为130， 故答案为：130． 【点睛】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到W与b的关系是解题的关键． 【变式7-1】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 考点四 不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 【例1】（2023·江西上饶·统考一模）已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】由为最小的内角得，，利用三角形的内角和定理转化为不等式，求解即可． 【详解】是最小的内角，且三个内角互不相等， ， 即最大可取 故选：B 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，不等式及其求解，解题的关键是利用三角形内角和定理转化为不等式． 【变式1-1】．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【答案】(1)50元、30元 (2)400棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可； （2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵， 根据题意，得， 解得， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； （2）解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 【变式1-2】（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本． (2)数学书最多还可以摆90本 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 【变式1-3】（2022·贵州安顺·统考中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【答案】(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． (2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【提示】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式1-4】．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有3种方案，详见解析 (3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可； （3）根据（2）中三种方案分别求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， ∵为正整数， ∴， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱； （3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱． 【变式1-5】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． (1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ (2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？ 【答案】(1)这个月生产产品件，产品件 (2)140件 【提示】（1）设生产产品件，产品件，根据题意列出方程组，求出即可； （2）设产品生产件，则产品生产件，根据题意列出不等式组，求出即可． 【详解】（1）解：设生产产品件，产品件， 根据题意，得 解得， ∴这个月生产产品件，产品件， 答：这个月生产产品件，产品件； （2）解：设产品生产件，则产品生产件， 根据题意，得， 解这个不等式，得． ∴产品至少生产件， 答：产品至少生产件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键． 【变式1-6】（2023·云南·统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元；(2)当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案； （2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶， 由题意得， 其中，得， 故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为， 答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键． 【变式1-7】（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 (2)至少种植甲作物5亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 【例2】2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨；(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答； （2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨, 由题意可得：，解得： 经检验，是分式方程的解 每台A型机器每天搬运吨 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 （2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台 由题意可得：,解得：， 公司采购金额： ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，公司采购金额w有最小值，即， ∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键． 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元． (1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ (2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 【答案】(1)甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元；(2)至少销售甲种电子产品万件 【分析】（1）设甲种电子产品的销售单价元，乙种电子产品的销售单价元，根据等量关系：件甲种电子产品与件乙种电子产品的销售额相同，件甲种电子产品比件乙种电子产品的销售多元，列出方程组求解即可； （2）可设销售甲种电子产品万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元． 根据题意得：， 解得：； 答：甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元． （2）解：设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件． 根据题意得：． 解得：． 答：至少销售甲种电子产品万件． 【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系及等量关系． 【变式2-2】（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． (1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元；(2)购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元 【分析】（1）设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【详解】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元， 由题意得：， 解得， 答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元． （2）解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱， 购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍， ， 解得， 又为正整数， 所有可能的取值为18，19，20， ①当，时，购买总费用为（元）， ②当，时，购买总费用为（元）， ③当，时，购买总费用为（元）， 所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （2023·四川凉山·统考中考真题）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币． (1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？ 【答案】(1)雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元；(2)最多能购买雷波脐橙40千克． 【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可； （2）设最多能购买雷波脐橙千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等式即可． 【详解】（1）解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，则 ， ①+②得；，则③ 把③代入①得：， 把③代入②得：， ∴方程组的解为：， 答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元． （2）设最多能购买雷波脐橙千克，则 ， ∴， 解得：， 答：最多能购买雷波脐橙40千克． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键． 【变式2-4】（2023·湖南怀化·统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)原计划租用种客车辆，这次研学去了人 (2)共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， (3)租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算 【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得， ， 解得： 所以（人） 答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人； （2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得 解得：， ∵为正整数，则， ∴共有种租车方案， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， （3）∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元， ∴种客车越少，费用越低， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， ∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$第08讲 一元一次不等式（组）及其应用 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 不等式及不等式的基本性质 题型01 不等式的概念及意义 题型02 列不等式 题型03 取值是否满足不等式 题型04 利用不等式的性质判断式子正负 题型05 根据点在数轴位置判断式子正负 题型06 利用不等式的性质比较大小 题型07 利用不等式的性质证明（不）等式 题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围 题型09 不等式性质的应用 考点二 一元一次不等式 题型01 判断一元一次不等式 题型02 根据一元一次不等式求参数值 题型03 求一元一次不等式解集 题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集 题型05 一元一次不等式整数解问题 题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题 题型08 含绝对值的一元一次不等式 题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围 考点三 一元一次不等式组 题型01 一元一次不等式组定义 题型02 解不等式组 题型03 求不等式组整数解 题型04 由不等式组整数解求字母取值范围 题型05 由不等式组的解集求参数 题型06 与不等式组有关的新定义问题 题型07 根据程序图解不等式组 题型08 不等式组与方程的综合 考点四 不等式（组）的实际应用 题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 学科网（北京）股份有限公司 考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 题型01 不等式的概念及意义 【例1】以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 题型02 列不等式 【例2】（2023·广东·统考中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过米．若用（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023南宁市模拟）a是非负数的表达式是（    ） A． B． C． D． 题型03 取值是否满足不等式 【例3】（2023·河北保定·统考二模）在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 要判断某个未知数的值是不是不等式的解可直接将该值代入不等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是,否则不是. 题型04 利用不等式的性质判断式子正负 【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 ，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设，，为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型05 根据点在数轴位置判断式子正负 【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位置与各点所表示的数，若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，，则D点的位置（    ）    A．在A的左边 B．在A、C之间 C．在C、O之间 D．在O、B之间 【变式5-4】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）m，n在数轴上对应的点如图所示，下列各式正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型06 利用不等式的性质比较大小 【例6】（2022·浙江丽水·统考一模）数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2022·浙江杭州·统考一模）已知，，请比较M和N的大小． 以下是小明的解答： ∵，， ∴． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答． 40．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子分别为m和n，若m-n>0，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m<n. 题型07 利用不等式的性质证明（不）等式 【例7】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 【变式7-1】（2019上·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？ 小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因． 思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小． 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料： 结论：在、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 均为正实数）的证明过程： 对于任意正实数、， , , ，当且仅当时，等号成立． 解决问题： （1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ； （2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测； （3）当时，求的最小值． 【变式7-2】（2022·山东日照·日照市新营中学校考二模）2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和… 设直角三角形的边长为a，b，则，，即； 当时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即， 综上所述，，当且仅当时等号成立． 使用上述结论，“，当且仅当时等号成立”解决下列问题： (1)证明：“若a，b为正实数，则．当且仅当时等号成立”． (2)a，b均为实数，若为定值4，则有最小值________；若为定值6，则有最大值_________． (3)请结合函数图象（图2）研究中函数值y的取值范围． (4)如图3，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，，其中a是常数，，试求的最小面积（用a表示）． 【变式7-3】（2023·江苏扬州·统考一模）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． (1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； (2)请证明（1）中的数学关系式； (3)在中，三条边的长度分别为，证明：． 题型08 不等式性质的应用 【例8】（2023·河北保定·校考一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式8-1】（2023武威县模拟）若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【变式8-2】（2023德阳市一模）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（     ） A． B． C． D． 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 题型01 判断一元一次不等式 【例1】（2021·全国·九年级假期作业）在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2021·陕西·九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（  ）个． ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．0 题型02 根据一元一次不等式求参数值 【例2】已知（m+4）x|m|–3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B．±4 C．3 D．±3 【变式2-1】若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-2】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 题型03 求一元一次不等式解集 【例3】（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2024·湖北·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·四川乐山·中考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集 【例4】（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023下·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B．C． D． 【变式4-2】（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·广西·中考真题）不等式的解集为 ． 题型05 一元一次不等式整数解问题 【例5】（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【变式5-1】（2024·四川凉山·中考真题）求不等式的整数解． 【变式5-2】（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解． 【变式5-3】（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）先化简，再求值：，其中x是不等式的正整数解． 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 【例6】（2023·福建漳州·统考一模）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023·黑龙江大庆·统考三模）若关于x的一元一次不等式有且只有5个正整数解，则n的取值范围是 ． 【变式6-2】（2023·江苏南通·统考一模）若关于的不等式恰有个正整数解，则的取值范围是 ． 【变式6-3】（2023·江苏扬州·统考二模）已知是关于的不等式的解，求的取值范围． 题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题 【例7】（2022下·广西·七年级统考阶段练习）定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023·河北沧州·统考模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·广东广州·统考二模）定义运算“”为：当时，；当时，．例如：．若则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式7-3】（2023海港区一模）定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b=﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如2*1=﹣2+1=﹣． （1）求4*5的值： （2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来． 【变式7-4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数和，规定，例如：． (1)求的值． (2)若，求的取值范围． 题型08 不等式与方程组综合求参数的取值范围 【例9】（2023·湖南衡阳·校考二模）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2023泗水县一模）如果关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式8-2】（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）若不等式的最小整数解是方程的解，求m的值． 考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 题型01 一元一次不等式组定义 【例1】（2020·山西·校联考模拟预测）下列各式不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 解不等式组 【例2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2-2】（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 题型03 求不等式组整数解 【例3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式3-1】（2024·湖北武汉·中考真题）求不等式组的整数解． 【变式3-2】（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为___________． 【变式3-3】（2023太原五中二模）解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和． 题型04 由不等式组整数解求字母取值范围 【例4】（2023·山东泰安·统考一模）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·湖南邵阳·统考中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（2022·山东济宁·统考中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2 C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2 【变式4-3】（2023·四川凉山·统考一模）若关于的不等式组只有3个整数解，则整数的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2023·黑龙江·统考模拟预测）若关于的一元一次不等式组只有个整数解，则的取值范围是 ． 题型05 由不等式组的解集求参数 【例5】（2023菏泽市三模）若不等式组无解，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023扎兰屯市三模）若不等式组的解集为x＞3，则m的取值范围 ． 【变式5-3】（2023·江苏连云港·校考二模）关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 题型06 与不等式组有关的新定义问题 【例6】（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 【变式6-1】（2023·广东广州·统考二模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【变式6-3】．（2022·河南安阳·统考一模）定义新运算：，则不等式组的整数解的个数为 ． 【变式6-4】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 题型07 不等式组与方程的综合 【例7】（2023成都市模拟）已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为 ． 【变式7-1】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 考点四 不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 【例1】（2023·江西上饶·统考一模）已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【变式1-2】（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【变式1-3】（2022·贵州安顺·统考中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【变式1-4】．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【变式1-5】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出． (1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？ (2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？ 【变式1-6】（2023·云南·统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【变式1-7】（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 【例2】2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元． (1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ (2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 【变式2-2】（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． (1)种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． （2023·四川凉山·统考中考真题）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币． (1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？ (2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？ 【变式2-4】（2023·湖南怀化·统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ $$