精品解析：福建省泉州师范学院附属鹏峰中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

福建省泉州师范学院附属鹏峰中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. a＋b B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限的是（　　） A. （﹣1，5） B. （1，﹣5） C. （﹣1，﹣5） D. （1，5） 3. 芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图像经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图像上的是（ ）． A. B. C. D. 6. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，根据题意列出正确的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A. 体育场离林茂家 B. 体育场离文具店 C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 D. 林茂从文具店回家的平均速度是 8. 如图，点P在双曲线第一象限的图象上，PA⊥x轴于点A，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系的图象可能是（　　） A. B. C D. 10. 九个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，则该直线的函数表达式为（ ） A. B. C 或 D. 或 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分式、的最简公分母是______________． 12. 将直线向下平移6个单位，得到直线__________． 13. 若，则分式的值为______． 14. 若函数是正比例函数，且图象在二、四象限，则__________． 15. 已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 16. 双曲线和在第一象限内的图象如图所示，在的图象上，轴于，交的图象于，轴于，交的图象于，当点在的图象上运动时，下列结论：①与的面积相等；②四边形的面积保持不变；③；④若是的中点，则是的中点．其中一定正确的序号是________． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 解方程：． 20. 已知一次函数的图象经过点． （1）求一次函数解析式； （2）是这个一次函数图象上两点，若，试比较和的大小． 21. 用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=（m﹣1）x+3﹣m与x轴交于点A（3，0），与直线l2：y=2x交于点B． （1）求直线l1解析式； （2）求△AOB的面积． 23. 某公司近期研发出一种新型神奇的扫地机，每台设备成本价为300元，经过市场调研发现，每台售价为400元时年销售量为600台；每台售价为450元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：元）成一次函数关系． （1）完成下面表格，并求年销售量y与销售单价x的函数关系式； 每台售价x（元） 400 年销售y（台） 550 （2）经市场调研一台扫地机最高售价为600元，在每台利润不少于50元的前提下，该公司一年最多可销售几台扫地机，此时公司年利润为多少？ 24. 一天中午，小明和小丽分别骑自行车和乘坐公共汽车从甲地去乙地．八年级一班数学兴趣活动小组的同学们根据有关信息画出了两人行驶距离与小明所用时间，回答下列问题： （1）填空： ①甲、乙两地相距 ； ②小明骑自行车的平均速度是 ； （2）①求小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式（注明t的取值范围）； ②求小丽出发后多长时间与小明相遇？ （3）小明出发多长时间两人相距？ 25. 如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． （1）分别求反比例函数和一次函数解析式； （2）若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； （3）在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州师范学院附属鹏峰中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. a＋b B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：A．a＋b是整式，故选项不符合题意； B．是整式，故选项不符合题意； C．是整式，故选项不符合题意； D．是分式，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限的是（　　） A. （﹣1，5） B. （1，﹣5） C. （﹣1，﹣5） D. （1，5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A．（-1，5）在第二象限，故本选项不符合题意； B．（1，-5）在第四象限，故本选项不符合题意； C．（-1，-5）在第三象限，故本选项符合题意； D．（1，5）在第一象限，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻质量约为，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中，n为整数．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判断，解题关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式．根据最简分式的定义，即可求出答案． 【详解】解：A、，不最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 5. 已知反比例函数的图像经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图像上的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点横坐标和纵坐标的积为k，把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断． 【详解】解：把（3，2）代入反比例解析式得：k=6， ∴反比例解析式为y=， 则（-3，-2）在这个函数图象上， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 6. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，根据题意列出正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程．设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，列方程即可． 【详解】解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为元， 根据题意可得． 故选：D． 7. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A. 体育场离林茂家 B. 体育场离文具店 C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 D. 林茂从文具店回家的平均速度是 【答案】C 【解析】 【分析】从图中可得信息：体育场离文具店1000m，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度． 【详解】解：从图中可知：体育场离林茂家， 体育场离文具店的距离是：， 所用时间是min， 林茂从文具店回到家所用时间为90-65=25min，文具店距家的距离为1.5km， ∴体育场出发到文具店的平均速度， 林茂从文具店回家的平均速度是， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键． 8. 如图，点P在双曲线第一象限的图象上，PA⊥x轴于点A，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设P(x，y)，根据题意xy=6，PA=y，OA=x，利用三角形面积公式，列式代入计算即可． 【详解】解：设P(x，y)，根据题意xy=6，PA=y，OA=x， ∵PA⊥x轴于点A， ∴ = =3， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，正确进行推导计算是解题的关键． 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过一、二、三象限，A正确，B错误； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、二、四象限， C正确，D错误； 故选：AC． 10. 九个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，则该直线的函数表达式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的应用，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵经过原点的直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分， ∴两部分的面积分别为3和6， 当直线下方的面积为3时，如图，则：，由图可知：点的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴； 当直线上方的部分为3时，如图，则：，由图可知：点的纵坐标为3， 则：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴； 综上：或； 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分式、的最简公分母是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式、的分母分别为，，最简公分母为． 故答案：． 12. 将直线向下平移6个单位，得到直线__________． 【答案】y=3x-5 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=3x+1向下平移6个单位后得到直线的表达式是：y=3x+1-6，即y=3x-5． 故答案为：y=3x-5． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 13. 若，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的加减进行化简，然后将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 14. 若函数是正比例函数，且图象在二、四象限，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】依据正比例函数的定义可知，由正比例函数的性质可知，故此可求得m的值． 【详解】解：函数是正比例函数，且图象在二、四象限， 且，解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 15. 已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，根据分式方程的解，可知且，从而得解． 【详解】解关于的分式方程，得：， 根据题意，得∶，且， 解得∶ 且， 故答案为：且． 16. 双曲线和在第一象限内的图象如图所示，在的图象上，轴于，交的图象于，轴于，交的图象于，当点在的图象上运动时，下列结论：①与的面积相等；②四边形的面积保持不变；③；④若是的中点，则是的中点．其中一定正确的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①由点A、B均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODB=S△OCA，结论①正确；②利用分割图形求面积法即可得出S四边形PAOB=k-1，结论②正确；③设点P的坐标为（m，），则点B的坐标（，），点A（m，），求出PA、PB的长度，由此可得出PA与PB的关系无法确定，结论③错误；④设点P的坐标为（m，），则点B的坐标（，），点A（m，），由点A是PC的中点可得出k=2，将其代入点P、B的坐标即可得出点B是PD的中点，结论④正确．此题得解． 【详解】解：①点、均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ，， ，结论①正确； ②点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ， ，结论②正确； ③设点的坐标为，则点的坐标，，点， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； ④设点的坐标为，则点的坐标，，点， 点是的中点， ， ，，， 点是的中点，结论④正确． 故填：①②④． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，逐一分析说四条结论的正误是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零整数幂，负整数幂，算术平方根，先根据零整数幂，负整数幂，算术平方根求解，在进行加减法计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】 ； 【解析】 【分析】先计算括号里的分式减法，再将除法转化为乘法计算，最后代入求值． 【详解】解：原式= = =， 当时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母，方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得 ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 20. 已知一次函数的图象经过点． （1）求一次函数解析式； （2）是这个一次函数图象上的两点，若，试比较和的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据一次函数的增减性进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 21. 用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米． 【答案】A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋． 【解析】 【分析】设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋，由所用时间相等，建立等量关系． 【详解】设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋， 依题意得：， 解这个方程得：x=70， 经检验x=70是方程的解，所以x﹣20=50． 答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=（m﹣1）x+3﹣m与x轴交于点A（3，0），与直线l2：y=2x交于点B． （1）求直线l1的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y=﹣x+3 （2）3 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入直线l1即可求出m的值，从而确定直线l1的解析式； （2）联立直线l1的解析式和直线l2的解析式，求出交点B的坐标，进一步求△AOB的面积即可． 小问1详解】 解：将点A（3，0）代入y=（m﹣1）x+3﹣m， 得3（m﹣1）+3﹣m=0， 解得m=0， ∴直线l1：y=﹣x+3； 【小问2详解】 解：联立， 解得， ∴B（1，2）， 过点B作BH⊥OA于点H，如下图所示： ∴BH＝2， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∴， ∴△AOB的面积为3． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求两个一次函数图象的交点坐标，求三角形面积，求出两直线的交点坐标是解决本题的关键． 23. 某公司近期研发出一种新型神奇的扫地机，每台设备成本价为300元，经过市场调研发现，每台售价为400元时年销售量为600台；每台售价为450元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：元）成一次函数关系． （1）完成下面表格，并求年销售量y与销售单价x的函数关系式； 每台售价x（元） 400 年销售y（台） 550 （2）经市场调研一台扫地机最高售价为600元，在每台利润不少于50元的前提下，该公司一年最多可销售几台扫地机，此时公司年利润为多少？ 【答案】（1）见解析； （2）该公司一年最多可销售650台扫地机，此时公司年利润为32500元． 【解析】 【分析】（1）根据题意补充表格，然后利用待定系数法求出y与x的关系式即可． （2）由（1）得，根据一次函数的增减性可知y随x的增大而减小，因此x取最小值时y最大，由此即可得解． 本题考查利用一次函数解决实际问题，求出出一次函数的解析式，并熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：完成下面表格， 每台售价x（元） 400 450 年销售y（台） 600 550 设年销售量y与销售单价x的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：年销售量y与销售单价x的函数关系式为， ∵， ∴当x取最小值时，y取最大值， ∵在每台利润不少于50元的前提下， ∴x的最小值为， ∴y的最大值为， ∴此时公司年利润为（元）， 答：该公司一年最多可销售650台扫地机，此时公司年利润为32500元． 24. 一天中午，小明和小丽分别骑自行车和乘坐公共汽车从甲地去乙地．八年级一班数学兴趣活动小组的同学们根据有关信息画出了两人行驶距离与小明所用时间，回答下列问题： （1）填空： ①甲、乙两地相距 ； ②小明骑自行车的平均速度是 ； （2）①求小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式（注明t的取值范围）； ②求小丽出发后多长时间与小明相遇？ （3）小明出发多长时间两人相距？ 【答案】（1）①20；②8； （2）①；②0.375小时； （3）小明出发小时或小时或小时或小时两人相距． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：函数图象为直线（射线或线段），函数解析式可表示为：；注意本题中两个人相遇，则两个函数值相等；两个人相距，则两个函数值的差的绝对值等于2． （1）①图中表示的是两人行驶距离与小明所用时间之间的函数关系图象，图象的最高点对应轴的，那么甲、乙两地相距； ②小明骑自行车的平均速度总路程骑车所用时间，把相关数值代入计算即可得到小明骑自行车的平均速度； （2）①设小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式为：．把，代入可得和的值，即可得到所求的函数解析式，相对应的自变量的取值在1.5和2之间； ②设小明骑自行车行驶的路程与时间之间的函数关系式为：，把代入可得的值，即可求得与的关系式．两人相遇，则行驶的路程相等，求得的值后减去1.5即为所求的时间； （3）两人相距，则两人行驶的路程相距．分三种情况列出方程后分情况解答即可． 【小问1详解】 解：①图中表示的是两人行驶距离与小明所用时间之间的函数关系图象，图象的最高点对应轴的， 甲、乙两地相距． 故答案为：20； ②小明2.5小时行驶了， 小明骑自行车的平均速度为：． 故答案为：8； 【小问2详解】 解：①设小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式为：． 经过点，， ． 解得：． ； ②设小明骑自行车行驶路程与时间之间的函数关系式为：． 经过点， ． 解得：． 小明骑自行车行驶的路程与时间之间的函数关系式为：． 小丽与小明相遇． ． 解得：． ． 答：小丽出发后小时与小明相遇； 【小问3详解】 解：当小明出发后，小丽还没出发前： （小时）， 当小明和小丽都出发后： ． ． ①． 解得：． ②． 解得：． 当小丽到达终点后，与小明相距， ∴， 解得：； 综上可得：小明出发小时或小时或小时或小时两人相距． 25. 如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． （1）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； （3）在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 【答案】（1）y， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）的图象过、两点， ∴， 解得：， ∴、，反比例函数的解析式是y， ∵一次函数（）的图象过点、， ∴ 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∴，， 当时，点M在点N的上方，则； 当时，点M在点N的下方，则； 综上，d与t之间的函数关系式为 【小问3详解】 解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴，， 如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当，时， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 过点作轴于点G， 同理可证， ∴，， ∴ ∴； ③当，时， 过点作轴于点K，作轴于点L， 同理可得，， ∴，， ∴设（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $