精品解析：广西贵港市金田中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

2024年春季期高一数学月考 一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，复数，若为纯虚数，则（ ） A. 3或 B. 3 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为复数为纯虚数， 所以，解得. 故选：B 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】时，不一定是相等或相反向量， 时，， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以为等腰三角形， 故选：A 5. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 6. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案. 【详解】因为，都是锐角，所以， 故， 又，所以， 所以 . 故选：B 7. 如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，，可得四边形为平行四边形．根据向量的线性运算可得即可． 【详解】如图，连接，，，， 因为，分别是，的中点，，分别是，的中点， 所以,且，,且,所以，且， 可得四边形为平行四边形，且 ，，则． 故选：． 8. 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值. 【详解】依题意可得如下图形： 在中，，，，， 所以由正弦定理得：，解得：， 在，， 所以，则红豆树的高度为米. 故选：D 二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量和实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若且，则当时，一定有与共线 C. 若 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理、向量数乘和向量数量积的定义逐项分析判断. 【详解】对于A选项：若，则或或，A错误； 对于B选项：根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，B正确； 对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即， 故与的夹角为或，可得； 当与至少有一个是零向量时，显然； 综上所述：，C正确； 对于D选项：∵且，则， ∴，但不能确定，D错误． 故选：BC． 10. 对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则一定为锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理和诱导公式计算即可判断A；由正弦定理化简即可判断B；由余弦定理和基本不等式计算化简即可判断C；根据诱导公式和两角和的正切公式化简计算即可判断D. 【详解】对于，在中，若， 因为， 则或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于，若， 由正弦定理得，所以一定为等腰三角形，故B正确； 对于，由余弦定理， 得，又， 所以， 即， 即， 又，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为12， 所以，所以， 又因，所以，故错误； 对于D， ， 所以， 所以， 所以三个数有0个或2个为负数， 又因为最多一个钝角， 所以，即都是锐角， 所以一定为锐角三角形，故正确. 故选：BD. 11. 已知向量，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为5 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出的关系，进而可判断D. 【详解】因为，， 所以，， 对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 又，解得或，故B错误； 对于C， ，其中， 当时，取得最大值，故C错误； 对于D，若，则， 即，所以， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】 首先求出､的坐标，而后可求. 【详解】解：，， . 故答案为：0. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 13. 中，，，则_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，分为钝角和为锐角，两种情况讨论，结合两角和余弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得，可得， 当为钝角时，，且， 可得； 当为锐角时，，且， 可得. 故答案为： 或. 14. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出，结合投影向量的公式即可求得答案. 【详解】由题意知平面向量满足，， 则，即， 可得，整理得， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数的实部与虚部之和为14，求m的值. 【答案】（1）5 （2）1 【解析】 【分析】（1）先将复数进整理，得出其实部和虚部，由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案. (2)先化简复数，得出实部与虚部，从而求出答案. 【小问1详解】 由z为纯虚数，则，解得（舍去） 【小问2详解】 所以，解得 16. 已知向量，． （1）求； （2）若，求m的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算即可求得的值； （2）利用向量垂直的充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值． 【小问1详解】 ∵， ∴； 【小问2详解】 由，可得 即，即，解得． 17. 在△ABC中，角的对边分别为，若，且． （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得，判断角的范围，确定答案; （2）由条件可推得，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得 所以，或 又因为，则，故 故答案为： 【小问2详解】 由（1）知，又，所以 ，则，所以. 又，所以， 在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： 18. 已知在中，是边的中点，且，设与交于点，记. （1）用表示向量； （2）若，且，求的余弦值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解； （2）由得，结合及数量积的定义即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， . 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以， 所以，即的余弦值为. 19. 已知函数（且）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义计算即可； （2）先判定函数的奇偶性和单调性，去函数符号结合三角函数与二次函数的性质解不等式即可 【小问1详解】 函数且是偶函数， ， 即 ； 【小问2详解】 由（1）知，，定义域为，. 易知函数在上单调递增，且为奇函数， 对于恒成立， 即， 对于恒成立. ， 当且仅当时取等号， ， 即，解得， 又为整数，或或， 的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季期高一数学月考 一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，复数，若为纯虚数，则（ ） A. 3或 B. 3 C. 或 D. 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 5. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 6. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求=（ ） A. B. C. D. 8. 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量和实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若且，则当时，一定有与共线 C. 若 D. 若且，则 10. 对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则一定为锐角三角形 11. 已知向量，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为5 D. 若，则 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则______. 13. 中，，，则_____． 14. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为______． 四､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数. （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若复数的实部与虚部之和为14，求m的值. 16. 已知向量，． （1）求； （2）若，求m的值． 17. 在△ABC中，角的对边分别为，若，且． （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 18. 已知在中，是边的中点，且，设与交于点，记. （1）用表示向量； （2）若，且，求的余弦值. 19. 已知函数（且）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $