精品解析：四川省江油市太白中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

江油市太白中学高二（下）六月月考（数学） 一、选择题 1. 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 在等比数列{}中，，则＝（ ） A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 4. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 二项式 的展开式中第9项是常数项，则的值是 A. 4 B. 8 C. 11 D. 12 6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ） A. 36 B. 400 C. 420 D. 480 7. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ） A. 0.93 B. 0.934 C. 0.94 D. 0.945 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求函数导数正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（  ） A. 四名同学看电影情况共有种 B. “每部电影都有人看”的情况共有72种 C. D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是 12. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极值点的个数为3 B. 函数的单调递减区间为 C. 若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当时，方程有4个不同的实根 三、填空题 13. 若，则__________. 14. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 15. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是__________. 16. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是______. 三、解答题 17. 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 19. 设为数列的前项和，已知，． （1）证明：为等比数列； （2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？ 20. “坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为：和，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜． （1）求甲获胜的概率； （2）求甲得分的分布列及数学期望． 21. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 22. 已知函数. （1）证明：； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油市太白中学高二（下）六月月考（数学） 一、选择题 1. 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有项，可求得的值． 【详解】因为展开式中，二项式系数最大的项只有第项即最大， 根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大， 所以，解得. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合导数的运算法则和导数的定义，即可求解. 【详解】由题意知，， 又由，则，所以 故选：A． 3. 在等比数列{}中，，则＝（ ） A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】由题意，又同号，所以． 故选：C． 4. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据速度的变化快慢得答案. 【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 5. 二项式 的展开式中第9项是常数项，则的值是 A. 4 B. 8 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的第9项，令x的次数为0即可． 【详解】二项式的通项公式， T9＝28• 是常数项， ∴n﹣12＝0，n＝12 故选D． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，属于基础题． 6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ） A. 36 B. 400 C. 420 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次分析5个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分4步进行分析： ①，对于区域，有5种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种； 故选：C． 7. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ） A. 0.93 B. 0.934 C. 0.94 D. 0.945 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率与条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件表示为“任选一件零件为甲车床生产的”， 事件表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件表示为“任选一件零件为正品”， 则，，，， 所以. 故选：B. 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数在上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项. 【详解】由当时，， 得， 设，则， 所以在上单调递增， 又函数为偶函数， 所以为偶函数， 所以在在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以，A选项错误； ，即，所以，B选项错误； ，即，所以，C选项错误； ，即，所以，D选项正确； 故选：D. 二、多选题 9. 下列求函数导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式以及积的求导法则，代入计算，即可得到结果. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A错误； 对于C，， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：BC. 11. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（  ） A. 四名同学看电影情况共有种 B. “每部电影都有人看”的情况共有72种 C. D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断 D. 【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择， 故四名同学的报名情况共有种，A正确； 对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况， 再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种， 故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误； 对于C，由已知有：，， 所以， C正确； 对于D， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确. 故选：ACD. 12. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极值点的个数为3 B. 函数的单调递减区间为 C. 若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当时，方程有4个不同的实根 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：由的图象可知，当时，，再由导函数的符号可判断； 对于B：由图象得当时，，当时，，根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可判断； 对于C：由时，函数的最大值是2可判断； 对于D：作出函数的大致图象可判断． 【详解】解：对于A：由的图象可知，当时，，且当时，，当时，，当时，，当时，，所以0，2，4是函数的极值点，故A选项正确； 对于B：由导函数的正负与函数之间的关系可知，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，故B选项错误； 对于C：当时，函数的最大值是2，而的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数的大致图象如图所示，当时，直线与函数的图象有4个交点，故D选项正确． 故选：AD． 三、填空题 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的运算法则与赋值法求解. 【详解】因为，则， 令，有，解得. 故答案为：. 14. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知 ，即 解得， 所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算． 15. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解. 【详解】，令得， 时，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 若函数在上有最小值，则其最小值必为， 则必有且， 即且， 则且，解得， 故答案为：. 16. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当五人中只有三个人被录用，不同的录用情况种数为； 当五人中只有四个人被录用，不同的录用情况种数为； 当五个人都被录用，不同的录用情况种数为， 所以每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是在于超过3人被录用时，如何正确分组，正确运用排列和组合的定义. 三、解答题 17. 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列． 【答案】(1)；(2) 0 1 2 3 【解析】 【分析】(1)用古典概型概率计算公式直接求解； (2) 的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应取值时的概率，最后列出分布列. 【详解】(1)所选3人中恰有一名男生的概率； (2) 的可能取值为0,1,2,3. ∴ξ的分布列为: 0 1 2 3 【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式、以及离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值. 【小问1详解】 的定义域为， ，所以， 又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 19. 设为数列的前项和，已知，． （1）证明：为等比数列； （2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？ 【答案】（1） ，，， ，，， ， 是首项为2公比为2的等比数列． （2），，，成等差数列 【解析】 【分析】（1）由已知可得：，，解得，可得，可得，即可证明； （2）由（1）知，，可得，．只要计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， ，， 即，，成等差数列． 20. “坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为：和，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜． （1）求甲获胜的概率； （2）求甲得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列为： 0 2 4 期望为. 【解析】 【分析】（１）由题意分析可得，甲胜的充分必要条件是两场比赛都是甲胜，利用独立事件概率公式即可求得； （2）由题意，甲的得分可能值为0，2，4，分别求的对应概率，得到概率分布列，利用期望的定义计算期望值即可. 【小问1详解】 设甲获胜的概率为，则． 【小问2详解】 设甲得分数为，则可取值为0，2，4， ，， 于是分布列为： 0 2 4 于是． 【点睛】本题考查独立事件的概率，离散型分布列和期望，属基础题，理解题意，分析甲的分的各种情况是解决问题的关键. 21. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式； （2）求出，由裂项相消法可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，令得， 因为， 所以， 两式相减得， 即． 所以， 所以， 即， 所以当时，， 又，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 22. 已知函数. （1）证明：； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 先证，即证， 令， 易知时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，即， 再证，即证， 由上可知在上恒成立，所以成立， 整理得，证毕； （2） 【解析】 【分析】（1）构造函数利用导数研究其单调性及最值即可； （2）分离参数得，利用导数研究的单调性求其最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知时，单调递增，故， 所以原不等式恒成立， 令， 而时，单调递增，即， 所以，则在上单调递增， 所以， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $