2024年全国高中数学联合竞赛模拟卷(二)一试试题

全国高中数学联合竞赛模拟卷 (二) 一试试题 一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1. (数列 难度: 1) 已知数列{}共有100项, 使得 则满足这种条件的不同数列的个数为 . 2. (向量 难度: 1) 设向量a、 b满足|a|=3,|b|=4,a·b=0. 以a、 b、 a-b的模为边长构成三角形, 则其边与半径为1的圆的公共点个数最多为 . 3. (不等式 难度: 1) 用[x]表示不超过实数x的最大整数，设R是满足 的点(x,y)构成的区域，则区域R的面积为 . 4. (函数 难度: 2) 已知函数 则函数f(f(…f(x)…))(其中有 100 个f ) 在[0, 1]上图像的总长为 . 5. (三角 难度: 2) 在△ABC中, 已知∠A、 ∠B、 ∠C所对的三条边分别为a、 b、 c, 且 则函数 的值域为 . 6. (解几 难度: 2) 已知椭圆 抛物线 两者的一个交点为P(x₀,y₀)(x₀>0).定义 设定点N(2,0),若y=a与y=f(x)交于A、B 两点，则△ABN周长的取值范围为 . 7. (计数 难度: 3) 将一枚均匀硬币连续掷抛n(n≥4)次，用pn表示未出现连续三次正面的概率，则 8. (立几 难度:3) 已知半径为1的球的内部有一个内接正四棱锥，若球心到四棱锥各个面的距离相等，则四棱锥的底面边长为 . 二、 解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分16分) (解几 难度:2) 已知抛物线 过点P(p，0)作两条互相垂直的直线l₁、l₂，直线l₁与抛物线交于点A、B，直线l₂ 与抛物线交于点C、D.求 的最大值.(用p表示) 10. (本题满分 20分) (数列 难度:3) 已知数列{an}满足 证明： 11. (本题满分 20分) (不等式 难度:3) 设α、 β(α<β)是关于x的二次方程 的两个不等实根，函数 的定义域为[α,β]. (1) 求 的值； (2) 若g(t)=maxf(x)-minf(x), 对任意的的 证明： 参考答案 一、 填空题 1. 4851. 由 或-5,知 设99个差中有x个5、 y个-5, 则 因此，所求数列的99个差 中, 有97个取5、 2个取-5. 由于97个5、 2个-5的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列，从而，所求数列的个数为 2. 4. 由题意知 故以a、b、a-b的模为边长构成三角形是一个直角三角形，其内切圆半径为 当半径为1的圆所处的位置恰是三角形的内切圆位置时，三角形与圆只有三个交点.当圆的位置偏离后使得三角形有两条边与圆相交时，能实现四个交点的情形，但五个以上的交点不能实现.因此，公共点个数最多为4个. 3. . 若x+y<3, 则[x]+[y]≤x+y<3, 又因为[x]+[y]为整数, 所以, [x]+[y]≤2.从而, x+y+[x]+[y]≤5. 若x+y>3, 即[x]+[y]+{x}+{y}>3, 由于{x}+{y}<2, 故[x]+[y]>1,进而, [x]+[y]≥2. 于是, x+y+[x]+[y]>5. 故x+y+[x]+[y]≤5⇔x+y≤3 (忽略边界). 所以, 区域R的面积为 . 考虑f的n次迭代：其图像包含2"条线段，每一条线段具有共同特征：投影到x轴方向为 单位长，投影到y轴方向为1单位长，从而，每条线段长为 故n次迭代后的函数图像总长为 取n=100即可. 因为 所以，由余弦定理得 于是， 故 由 从而，函数的值域为( 由题设易得 设点A(xA, yA), B(xB, yB),其中， 又N(2，0)恰是曲线C₁与C₂的公共焦点，则由抛物线的定义知 因为点B在椭圆上，所以， 故 注意到， 因此, △ABN的周长为 7. . 显然， 当n≥4时，连续抛掷n次硬币. 若第一次出现反面，则未出现连续三次正面的概率为 若第一次出现正面，此时，若第二次出现反面，则未出现连续三次正面的概率为 若第二次出现正面，则第三次必须出现反面，从而，未出现连续三次正面的概率为 于是， 故 注意到，侧面三角形和底面正方形内接于半径相同的圆，设圆的半径为r，正方形的边长为a,则 侧面等腰三角形的腰长为 棱锥的高为 又球心在棱锥的内部，故棱锥的高也可表示为 则由 解得 二、解答题 9. 设 直 线 l₁ 的 参 数 方 程 为 (t为参数, 与抛物线 联立得 从而， 同理， 故 当 时，上式等号成立. 所以，当直线l₁与l₂的倾斜角分别为 时, 的最大值为-8p². 10. 显然, 所以， 又 用数学归纳法易证， 当n>1时， 由 因为 所以， 又由 得 从而， 因此， 11. (1) 由韦达定理得α+β=t,αβ=-1, 则 故 (2)已知函数 则 而且对 且 于是, f'(x)≥0. 所以， 函数 在区间[α，β]上是增函数，则 g 故 注意到, 当x∈[0,1]时, 有 事实上，两边平方得 当且仅当 时,上式等号成立. 故 当且仅当 时，上式等号成立. 另一方面, 当x∈[0,1]时, 有 事实上，两边平方得 当且仅当x=0或1时， 上式等号成立. 故 当且仅当cosθ=0或1时，上式等号成立. 综上，对任意的 均有 学科网（北京）股份有限公司 $$