精品解析：四川省江油市太白中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

江油市太白中学高2023级高一下6月月考数学试题卷 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 出题人：曹林 审题人：曹林 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体中为圆锥的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. 已知向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 的部分图象如图所示，则的图象可由的图象向（ ）个单位 A. 右平移 B. 左平移 C. 右平移 D. 左平移 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 棱台的各侧棱延长后交于一点 D. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角的对边分别是.下面四个结论正确的是（ ） A. ，，则的外接圆半径是4 B. 若，则 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，则 12. 已知△ABC中，角A，B．C所对的边分别是a，b，c，B=，2=，AP=则下列说法正确的是（ ） A. =+ B. a+3c的最大值为 C. △ABC面积的最大值为 D. a+c的最大值为2 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知，则__________. 14. 已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是______． 15. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为________（用坐标表示）． 16. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，，，，，则球的表面积为________． 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，． （1）求与的坐标； （2）求向量，的夹角的余弦值． 18. 在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°． （1）求角A； （2）求△ABC的面积． 19. 已知函数. （1）把化为的形式，并求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 20. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 21. 如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. （1）用，表示； （2）若，，求的最小值. 22. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________． （1）求角A的大小； （2）若D为线段延长线上的一点，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油市太白中学高2023级高一下6月月考数学试题卷 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 出题人：曹林 审题人：曹林 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体中为圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的特征直接判定. 【详解】由图形知，A是圆锥，B是圆台，C是圆柱，D是球. 故选：A 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D. 3. 若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由球的体积公式、表面积公式列式即可求解. 【详解】设该球体的半径为，由题意，解得. 故选：C. 4. 已知向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的几何意义求得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，，又， 所以， 又，所以， 即的夹角为. 故选：A 5. 如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法运算法则直接计算. 【详解】由题意得，， 因为，， 所以. 故选：B 6. 已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解. 【详解】由于,所以即为直线与直线所成的角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 所以, 故选：D 7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高． 【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴， 又，解得， 因此，此圆锥的高． 故选：C． 8. 的部分图象如图所示，则的图象可由的图象向（ ）个单位 A. 右平移 B. 左平移 C. 右平移 D. 左平移 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数图象求得，再将点代入函数的解析式可得，得到函数，将，可得选项. 【详解】由函数图象可得，解得， 再将点代入函数的解析式得， 所以，解得，又，所以， 所以，又， 所以的图象向右平移个长度单位即可得到函数的图象. 故选：A. 【点睛】本题考查由图象求函数的解析式，图象的平移，属于中档题. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有六个面 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C. 棱台的各侧棱延长后交于一点 D. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断. 【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误； 对于B项，因正棱锥的底面时正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故B项正确； 对于C项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故C项正确； 对于D项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故D项正确. 故选：BCD. 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 11. 在中，角的对边分别是.下面四个结论正确的是（ ） A. ，，则的外接圆半径是4 B. 若，则 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，即可判断A；由正弦定理即可求解BD，利用余弦定理，判断出为钝角，即可判断C. 【详解】A．，，设的外接圆半径是，则，解得，故A错误； 对于B，由可得，由正弦定理可得，故B正确， 对于C．，则，为钝角，故一定是钝角三角形，因此C正确； 对于D，由以及正弦定理可得：，， 因为，故D正确； 故选：BCD． 12. 已知△ABC中，角A，B．C所对的边分别是a，b，c，B=，2=，AP=则下列说法正确的是（ ） A. =+ B. a+3c的最大值为 C. △ABC面积的最大值为 D. a+c的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量基底表示向量可判断A；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B，C，D. 【详解】对于A，在△ABC中，因2=，则，A正确； 在△ABP中，由余弦定理得：， 当且仅当时取“=”，于是得当时，， ，C不正确； 在△ABP中，令，则，，由正弦定理得：， 则，， 其中锐角由确定，而，则当时，，取最大值，D正确； 而，则的最大值应大于的最大值，又，即a+3c的最大值为是不正确的，B不正确. 故选：AD 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接运用二倍角余弦公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 14. 已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】首先还原底面，根据几何关系，计算底面积和体积. 【详解】根据直观图的画法规则，还原三棱柱的底面，得，，且， 所以底面的面积，三棱柱的高为3， 所以三棱柱的体积. 故答案为：6 15. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为________（用坐标表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义,可得向量在向量方向上的投影向量为，代入坐标计算即得. 【详解】因向量在向量方向上的投影向量为， 由，可得，， 故向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 16. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，，，，，则球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可知为直角三角形，平面，设球的半径为，进而利用勾股定理求出的值，即可求出球的表面积. 【详解】解：如图，取中点，连接，，则由已知可得， 为直角三角形，， 因为，所以，. 因为，所以为直角三角形，则， 因为，所以平面. 球心为上一点，设球的半径为，连接，即， 则由，可知，解得， 表面积． 故答案为：. 【点睛】 本题考查外接球表面积的求法，考查空间想象能力，运算求解能力，属于中档题. 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，． （1）求与的坐标； （2）求向量，的夹角的余弦值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算； （2）利用平面向量夹角的坐标表示运算. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 ，，， ,． 18. 在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°． （1）求角A； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）A＝90°或A＝30°； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形大边对大角确定角C大小，进而可得角A； （2）根据（1）所得角A，应用三角形面积公式求△ABC的面积. 【小问1详解】 由得：． 由且C为三角形内角，则，故或，而B＝30°， 所以A＝90°或A＝30°． 【小问2详解】 当A＝90°时，． 当A＝30°时，， 所以△ABC的面积为或． 19. 已知函数. （1）把化为的形式，并求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解； （2）由正弦函数的单调区间可得． 【小问1详解】 （1）， 所以最小正周期为． 【小问2详解】 由，，解得，， 所以的增区间为． 20. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 21. 如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. （1）用，表示； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得； 【小问1详解】 因为，所以， 化简得； 【小问2详解】 因为，，， 所以，由图可知， 又因为、、三点共线，所以， 所以， 当，即时，取最小值. 22. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________． （1）求角A的大小； （2）若D为线段延长线上的一点，且，求的面积． 【答案】（1） 若选择①，∵．∴， ∵，∴， 即， ∵∴； 若选择②，∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵∴； 若选择③，∵， ∴， ∴， ∴， ∴，又∵．∴， ∴，∵，∴； （2） 【解析】 【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可. 选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得. 选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果. （2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，， 在中，用余弦定理可得， 即 ①， 又∵在中，， 即.即，即 ②， 在中，用余弦定理可得， 即 ③，③+①可得， 将②式代入上式可得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $