精品解析：2024年山东省济南市莱芜区中考数学综合展示3试题

2024年莱芜区数学中考 综合成果展示三 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 16的算术平方根是( ) A. 4 B. -4 C. D. 8 2. 如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据第七次人口普查的主要数据显示，莱芜区目前的常住人口是97万人．97万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（ ） A. B. C. 3 D. 2 5. 下列图形中是中心对称但不是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 7. 多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是47 B. 众数是42 C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 8. 已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（ ） A. 3 B. 5或9 C. 5 D. 9 9. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于E，交于D，连接．若，，则（ ） A B. 2 C. D. 10. 新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：x2－36= _________． 12. 如果小球在如图所示地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13. 代数式比代数式大1，则______． 14. 某快递公司每天上午9：30—10：50为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过_______分钟时，两仓库的快递件数相同． 15. 如图，折叠矩形纸片，使点D落在边的点M处，为折痕，，．则四边形面积的最小值是______． 16. 如图，点，点，点，点...，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17 计算：． 18. 解不等式组，并指出它所有的非负整数解． 19. 如图，矩形中，对角线相交于点O．于点M，于点N．求证：． 20. 某校为了提高学生学习数学的兴趣，举办了数学竞赛活动，从八年级随机抽取了m名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 数据分成5组：A：，B：，C：，D：，E： C组的数据是：120，122，127，123，128，125，126，123，127，128，125，128，129，129 请结合以上信息，回答下列问题： （1）______，并补全频数分布直方图； （2）C组数据的众数是______，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______； （3）B组对应的扇形圆心角为______度； （4）八年级学生参加竞赛的有300人，请你估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数． 21. 如图，某数学研究小组测量山体的高度，在点处测得山顶的仰角为，沿方向前行米至点处，斜坡的坡比为，在观景台处测得山顶的仰角为，且点到水平地面的垂直距离为米，点、、在一条直线上，，，在同一竖直平面内． （1）求斜坡的水平宽度的长； （2）求山体的高度大约为多少米．（参考数据：，，，） 22. 如图，在中，以为直径的与相交于点D，过点D作的切线交于点E．． （1）求证：； （2）若的直径为13，，求的长． 23. 某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元． （1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？ （2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？ 24. 如图，一次函数的图像与x轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过直线上的点B作轴于点C，与反比例函数交于点，连接，． （1）求k的值与B点坐标； （2）求； （3）若点P是直线上的动点，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究． 专题探究：已知中，，，点M是线段上的一点，N是线段上的点，，交于点Q，将线段绕点M顺时针旋转度，得到线段，连接． （1）如图1，当时，直接写出线段与的数量关系______； （2）如图2，当时，判断线段与的数量关系，并给出证明； （3）变式应用：如图3，在中，，，，M是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段的最小值． 26. 如图，抛物线交y轴于点，并经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，过点A作轴交抛物线于点B，点D的坐标为，连接AD，BD． （1）求抛物线解析式； （2）若点E从A出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以EF为对角线作正方形．当点G随着E点运动到达抛物线上时，求此时m的值； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C为顶点的三角形是直角三角形，如果存在，请求出G点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年莱芜区数学中考 综合成果展示三 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 16的算术平方根是( ) A. 4 B. -4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟悉相关性质是解题的关键． 2. 如图，以下给出几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图和俯视图的定义，理解定义，会用定义看出几何体的三视图是解题的关键．根据主视图的定义从前往后看，俯视图的定义从上往下看，即可求解． 【详解】解：A、主视图和俯视图都是矩形，故此项错误； B、主视图是矩形，俯视图是三角形，故此项错误； C、主视图是矩形，俯视图是圆，故此项正确； D、主视图是三角形，俯视图是含圆心的圆，故此项错误． 故选：C． 3. 根据第七次人口普查的主要数据显示，莱芜区目前的常住人口是97万人．97万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题关键是正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出，据此即可求解． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键． 5. 下列图形中是中心对称但不是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 6. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，代入，可求出，再结合题意即得答案. 【详解】解：∵， ∴，点A、B分别在原点的两侧， ∵， ∴， 解得：， ∵点A在原点的左侧， ∴，即点A表示的数是， 故选：A. 【点睛】本题考查了数轴，正确理解题意、得出是解题的关键. 7. 多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是47 B. 众数是42 C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；每月阅读数量超过40的有2、3、4、5、7、8，共六个月． 【详解】A、极差为：83-28=55，故本选项错误； B、∵58出现的次数最多，是2次， ∴众数为：58，故本选项错误； C、中位数为：（58+58）÷2=58，故本选项正确； D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误； 故选C． 8. 已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（ ） A. 3 B. 5或9 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长 ∴当或时，即 ∴方程为 解得： 此时该方程为 解得：， 此时三角形的三边为5，5，1，符合题意； 当时，即 即 解得： 此时该方程为 解得： 此时三角形的三边为3，3，5，符合题意， 综上所述，k的值等于5或9 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键． 9. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于E，交于D，连接．若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知是的垂直平分线，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，在 中，只要求得的长即可求得的长，因为含角的直角三角形，故所有边的数值都可求出． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线，， ∴为的中线，． ∵为的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得，． 又，由勾股定理得，． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和作法，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握垂直平分线的作法和性质以及解直角三角形是解题的关键． 10. 新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．依据两个函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于，可初步确定的取值范围，然后再依据自变量的取值范围进一步确定的取值范围，即可求解． 【详解】解：抛物线与线段是牵手函数， 抛物线与平行于轴的线段相切或者相交， 代入中， 即关于二次方程有两个相等或者不等的实数根， 整理上述关于的二次方程得①， 对于①式， 解得：， 将①式整理成关于的二次方程：， 则关于的判别式：， 解得：， 结合的已知取值范围得出：线段与抛物线有公共点的取值范围为：． 观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是， 把代入方程①式：， 可求得， 即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置， 因此，的取值范围是． 故选：B． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：x2－36= _________． 【答案】（x＋6）（x－6） 【解析】 【分析】根据平方差公式解答即可． 【详解】解：x2－36=（x＋6）（x－6）； 故答案为：（x＋6）（x－6）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，掌握平方差公式是解答的关键． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】分别求出总面积和阴影部分的面积，根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：总面积为个小正方形的面积， 如图所示，阴影部分的面积为个由两个小正方形组成的长方形的一半， 阴影部分的面积为个小正方形的面积， 小球停留在阴影区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率，正确计算概率等于阴影区域的面积与总面积之比是解题关键． 13. 代数式比代数式大1，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意列一元一次方程求解． 【详解】根据题意，得 故答案为：4 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是解题的关键． 14. 某快递公司每天上午9：30—10：50为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过_______分钟时，两仓库的快递件数相同． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出甲、乙直线方程，令两个直线方程相等即可求解． 【详解】解：由题意可得：设甲直线方程为， 把代入得：，解得， ∴甲直线方程为， 设乙直线方程为， 把代入得：，解得， ∴乙直线方程为， 令，解得：， 经过分钟时，两仓库的快递件数相同， 故答案为：． 【点睛】本题考查结合实际问题利用待定系数法求一次函数解析式，正确计算是关键． 15. 如图，折叠矩形纸片，使点D落在边的点M处，为折痕，，．则四边形面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为t，连接，过点E作于点G，设，则，由勾股定理得出，证得，由锐角三角函数的定义得出，求出，则由梯形的面积公式以及二次函数的性质可得出答案． 【详解】设的长为t，连接，过点E作于点G，如图， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵折叠矩形纸片，使点D落在边的点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，四边形面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键． 16. 如图，点，点，点，点...，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可得奇数点的规律为：，，…..，偶数点的规律为：，，……，根据规律求解即可． 【详解】解：由图像可得，奇数点的规律为：，，…..， 偶数点的规律为：，，……， ∵2023是奇数，即， ， 的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据负指数幂、0次幂、特殊角三角函数值、绝对值意义求解． 详解】原式 【点睛】本题考查实数运算、负指数幂、0次幂的计算、特殊角三角函数值、绝对值化简；熟练相关法则和公式是解题的关键． 18. 解不等式组，并指出它所有的非负整数解． 【答案】，它的非负整数解：0，1，2 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后取其公共解集，最后按非负整数的性质即可求解． 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集是：； 它的非负整数解：0，1，2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 19. 如图，矩形中，对角线相交于点O．于点M，于点N．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定及性质，利用矩形的性质及证得，进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是矩形． ，，， ． ∵，， ． 在和中， ， ， ． 20. 某校为了提高学生学习数学的兴趣，举办了数学竞赛活动，从八年级随机抽取了m名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 数据分成5组：A：，B：，C：，D：，E： C组的数据是：120，122，127，123，128，125，126，123，127，128，125，128，129，129 请结合以上信息，回答下列问题： （1）______，并补全频数分布直方图； （2）C组数据的众数是______，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______； （3）B组对应的扇形圆心角为______度； （4）八年级学生参加竞赛的有300人，请你估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数． 【答案】（1）50，见解析 （2）128，127.5 （3）72 （4）204人 【解析】 【分析】（1）根据E组所占百分比为，人数有8人，即可求出m的值，从而求出B组人数； （2）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数；根据中位数的定义：将数据按照从小到大的顺序排序后，位置在最中间的数值，进行求解即可； （3）B组人数占总人数的百分比×360度即可； （4）根据样本求总数的方法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：E组所占百分比为，人数有8人， ∴， ∴B组人数为人， 补全频数分布直方图如下所示： 【小问2详解】 解：由题意可得：C组数据的众数是128， 中位数是第25 和26个，在C组中， 将C组数据按从小到大排列为：120，122，123，123，125，125，126，127，127，128，128， 128，129，129 中位数是； 【小问3详解】 解：B组对应的扇形圆心角为度 【小问4详解】 解：人； 【点睛】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，正确获取信息是解题关键． 21. 如图，某数学研究小组测量山体的高度，在点处测得山顶的仰角为，沿方向前行米至点处，斜坡的坡比为，在观景台处测得山顶的仰角为，且点到水平地面的垂直距离为米，点、、在一条直线上，，，在同一竖直平面内． （1）求斜坡的水平宽度的长； （2）求山体的高度大约为多少米．（参考数据：，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据坡比可得，即可求解； （2）可证四边形是矩形，设，可求，，从而可求解． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ，斜坡的坡比为，， ， ， 答：斜坡的水平宽度米． 【小问2详解】 解： ，， ， ， ， 四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， 经检验，是方程的根， 答：山体的高度米． 【点睛】本题考查了坡比的定义及三角函数在解直角三角形中的应用，掌握定义，理解三角函数的定义是解题的关键． 22. 如图，在中，以为直径的与相交于点D，过点D作的切线交于点E．． （1）求证：； （2）若的直径为13，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、平行线的性质、直径所对圆周角是直角、等积法求线段等；灵活运用等积法确定线段间数量关系是解题的关键． （1）连接，由是的切线得，进而可证得，所以；由，知，所以可证得，结论得证； （2）连接，可得，由等腰三角形三线合一得；根据勾股定理求得，由求解． 小问1详解】 证明：连接， ∵是圆的半径，是的切线． ∴． ∵． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵的直径为13，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23. 某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元． （1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？ （2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？ 【答案】（1）第一批和第二批服装的购进单价分别是40元和60元 （2）第二批服装售价至少定为100元 【解析】 【分析】（1）设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设第二批服装的售价定为m元，根据第二批服装的利润不低于5200元，列一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，元， 答：第一批和第二批服装的购进单价分别是40元和60元； 【小问2详解】 解：设第二批服装的售价定为m元， 第二批购进数量：件， ，解得， 答：第二批服装售价至少定为100元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键． 24. 如图，一次函数的图像与x轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过直线上的点B作轴于点C，与反比例函数交于点，连接，． （1）求k的值与B点坐标； （2）求； （3）若点P是直线上的动点，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）4 （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）将已知点代入解析式求解析式，再代入点的一个坐标求出另一个坐标即可； （2）利用解析式求出所需点，再用割补法求目标三角形面积； （3）先利用目标点位置确定一个角的对应关系，得到三角形相似的可能对应情况，分类讨论进行边长计算，再由几何角度求出纵坐标，代入解析式求出横坐标，得到点． 【小问1详解】 将代入得： ， 解得， ， 将代入，解得， ， 将代入得：， 解得， ， 代入，得， ， 将代入，得， ； 【小问2详解】 由题意知：，，，， ； 【小问3详解】 ，，， ，， ， 当点P在延长线上时，，为锐角三角形，此种情况不存在， 点P在线段上，且， 或， ①当时，作于点H，为图中位置， ， ， ，， ，， 代入得， ； ②当时，，同理作，为图中位置， ，， ， 代入得， ， 综上，当或时与相似． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点及围成三角形面积，考查在直线上找一点与另外两定点构成三角形与已知三角形相似．在函数交点问题中，通常利用已知点和已知部分函数系数进行代入求解，计算不规则面积时通常采用割补法．找点构造三角形与已知三角形相似的问题中，通常先确定可明确对应的角，减少对应的可能情况种类，再分类讨论进行计算． 25. 某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究． 专题探究：已知中，，，点M是线段上的一点，N是线段上的点，，交于点Q，将线段绕点M顺时针旋转度，得到线段，连接． （1）如图1，当时，直接写出线段与的数量关系______； （2）如图2，当时，判断线段与的数量关系，并给出证明； （3）变式应用：如图3，在中，，，，M是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段的最小值． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件依次证明、、都是等边三角形，然后证明，可得结论； （2）根据旋转的性质、含30度为底角的等腰三角形的性质证明，，即可证明，推出，即得结论； （3）在线段上截取，连接，证明（），推出，可得当的值最小时，的值最小，作于H，求出的长即得答案． 【小问1详解】 解：； 理由如下：如图1， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点M顺时针旋转度，得到线段，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ； 证明：先证明含30度为底角的等腰三角形的腰与底之比为， 如图，中，，，作于D， 则，且在直角三角形中，，即， ∴； 如图2，∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵将线段绕点M顺时针旋转度，得到线段，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 ∵，，，， ∴， ∵，， ∴ ，， 在线段上截取，连接， ∴（）， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 作于H，在中， ∵，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点M与H重合时，的值最小，即的值最小， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、构建全等三角形和相似三角形是解题的关键． 26. 如图，抛物线交y轴于点，并经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，过点A作轴交抛物线于点B，点D的坐标为，连接AD，BD． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E从A出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以EF为对角线作正方形．当点G随着E点运动到达抛物线上时，求此时m的值； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C为顶点的三角形是直角三角形，如果存在，请求出G点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）利用对称轴及已知的与x轴交点确定另一交点，用两点式求解； （2）根据二次函数解析式确定，所以是等腰直角三角形，由，得是等腰直角三角形，所以，；连接与交于I，运用正方形的性质，可求得；将G点坐标代入中，求得时，G点能到达抛物线； （3）由，，，得，，，根据勾股定理逆定理 ，分三种情况构建方程求解． 【小问1详解】 ∵抛物线过点，对称轴：x=2， ∴与x轴另一个交点为， ∴设抛物线：， 将代入，，解得：， ∴抛物线的解析式为：，即：； 【小问2详解】 ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，由题意得，则， 连接与交于I，在正方形中，， 则，， ∴， 将G点坐标代入中， 整理得：，解得：，， ∴时，G点能到达抛物线， 【小问3详解】 ∵，，， ∴，， ， ①若，则， 解得：，此时， ②若，则， 整理得：，解得：，， 此时，， ③若，，解得：， 此时， 综上所述：点G坐标是，，，． 【点睛】本题考查待定系数法、正方形的性质、勾股定理及逆定理、函数解析式与图象的联系；数形结合思想，利用线段间的数量关系通过求解线段确定点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$