北京市2025届高三数学一轮总复习专题检测：统计与概率

北京市2025届高三数学一轮总复习专题检测 统计与概率 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、某校高三年级有男生600人，女生400人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样抽取样本，得到男生､女生的平均身高分别为和，估计该校高三年级全体学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 2、某校举办知识竞赛，将人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下．则根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ） A. 中位数估计为 B. 众数估计为 C. 平均数估计为 D. 第百分位数估计为 3、一袋中有大小相同的个红球和个白球. 若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 4、在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（ ） A． B. C. D. 5、从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（ ） A. “都是白球”与“至少有一个白球” B. “恰有一个白球”与“都是红球” C. “都是白球”与“都是红球” D. “至少有一个白球”与“都是红球” 6、袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个黑球. 从袋中随机摸出个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ） A. B. C. D. 7、某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个 班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是（ ） A、 B、 C、 D、 8、抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与互为对立 9、算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是 （ ） A、 B、 C、 D、 10、有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11、已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______. 12、如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为___________． 13、甲､乙两名羽毛球运动员进行单打比赛，根据以往比赛的胜负情况统计，每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，如果比赛采用“三局两胜”制（先胜两局者获胜）.若第一局甲胜，则本次比赛甲获胜的概率为__________. 14、已知事件与相互独立，，，则______． 15、设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（本小题满分13分）科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐. 据统计，2023年1月至12月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 A地区 （单位：万辆） 29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2 B地区 （单位：万辆） 7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1 月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8 月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与B地区销售量的比值（保留一位小数）. （Ⅰ）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求A地区电动汽车市场该月的销售量高 于上月的销售量的概率； （Ⅱ）从2023年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比 超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率； （Ⅲ）记2023年1月至12月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为 ，试判断与的大小.（结论不要求证明） 17．（本小题满分13分）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”；即当天价格比前一天价格高，用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同. 时段 价格变化 第1天到第20天 0 0 0 0 0 第21天到第40天 0 0 0 0 0 用频率估计概率. （1）试估计该农产品价格“上涨”的概率； （2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； （3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明） 18．（本小题满分14分）已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 在总体中抽样100单，以频率估计概率： （1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率； （2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为，估计的数学期望； （ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望． 19．（本小题满分15分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 20．（本小题满分15分）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向. 某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序. 在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果 真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. （Ⅰ）从这张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； （Ⅱ）在新一轮测试中，小组同学对张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或张照片全部测试完毕，则停止测试. 设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； （Ⅲ）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为，判定为女性的概率为）. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性、女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为. 试比较的大小.（结论不要求证明） 21．（本小题满分15分）米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击发子弹，总环数排名前的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 环 环 环 环 环 甲的射击频数 乙的射击频数 丙的射击频数 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立． （Ⅰ）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由； （Ⅱ）若甲、乙各射击次，估计这次射击中出现个“环”和个“环”的概率； （Ⅲ）甲、乙、丙各射击次，用分别表示甲、乙、丙的次射击中大于 环的次数，其中．写出一个的值，使． （结论不要求证明） 参考答案 1、B 2、C 3、C 4、D 5、D 6、B 7、C 8、B 9、A 10、B 11、 12、 13、0.84 14、0.88 15、13 16、（I）设事件C为“A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量”， 在2023年2月至12月中，A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的月份为： 所以，P（C）=。 （Ⅱ）设事件D为“这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5”，在2023年1月至12月中，月销量比超过8的只有11、12月，月销量比低于5的只有1、2月， 则 （Ⅲ） 17、【解析】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：. （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨、下跌、不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 . （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 18、（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元） 19、（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 20、解：（Ⅰ）根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有张，所以该照片确为女性的概率为． （Ⅱ）设事件：输入男性照片且识别正确． 根据题中数据，可估计为． 由题意知的所有可能取值为，，． ，，. 所以的分布列为 所以. （Ⅲ）. 21、解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下： 丙射击成绩的总环数为， 甲射击成绩的总环数为． 因为，所以甲进入决赛． …5分 （Ⅱ）根据题中数据，“甲命中环”的概率可估计为； “甲命中环” 的概率可估计为； “乙命中环” 的概率可估计为； “乙命中环” 的概率可估计为． …5分 所以这次射击中出现个“环”和个“环”的概率可估计为： ． ……13分 （Ⅲ）和．（写出一个即可） …15分 学科网（北京）股份有限公司 $$