2.3 圆与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第2章 圆与方程 2.3 圆与圆的位置关系 【课标要求】掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法，会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.圆与圆的位置关系及其判定 几何法：若两圆的半径分别为 ， ，两圆的圆心距为 . 位置关系 图示 与 ， 的关系 外离 外切 4 位置关系 图示 与 ， 的关系 相交 内切 内含 续表 5 代数法：通过两圆的方程组成的方程组的公共解的个数进行判断. 消元，得到一元二次方程， 6 知识点2.两圆的公切线 （1）定义 与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，包括外公切线和内公切线. （2）公切线的条数 位置关系 图示 公切线条数 外离 4 外切 3 7 位置关系 图示 公切线条数 相交 2 内切 1 内含 0 续表 8 知识点3.两圆公共弦所在直线方程 圆 ， 圆 ， 则 为两圆公共弦所在直线方程. 9 知识点4.圆系方程 （1）过直线 与圆 的交点的圆系方程 是 . （2）以点 为圆心的同心圆系方程是 . （3）与圆 同心的圆系方程是 . （4）过一定点 的圆系方程是 . 10 题型分析·能力素养提升 11 【题型一】圆与圆位置关系的判断 例1（1） 圆 ， ，判断 圆 与圆 的位置关系； 解 把圆 的方程化为标准方程，得 ，所以圆 的圆心坐标 为 ，半径 ． 把圆 的方程化为标准方程，得 ，圆 的圆心坐标为 ， 半径 ． 圆 和圆 的圆心距 .又 ， ， 而 ，即 ，所以两圆的位置关系是相交． 12 （2）试分别确定圆 与 外切、内切、相交、内含、外离时， 的取 值范围. 将两圆的一般方程化为标准方程，得 ， 圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆 的圆心坐标为 ，半径 ． 从而圆心距 ． 当两圆外切时， ，即 ，解得 . 13 当两圆内切时， ，即 ，解得 . 当两圆相交时， ，即 ，解得 . 当两圆内含时， ，即 ，解得 . 当两圆外离时， ，即 ，解得 ． 14 规律方法 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆的圆心距 与两圆的半径 , 的关系，若 ，则两圆外切；若 ，则两圆内切；若 ，则两圆外离；若 ，则两圆内含；若 ，则两圆相交. 根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况. 15 跟踪训练1 [2023通州调研] 圆 与圆 的位置关系为( ) A A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 [解析] 圆 的圆心为 ，半径 . 由 ，得 ，所以圆 的圆心为 ， ，半径 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ,所以两圆相交．故选A. 16 【题型二】两圆相切问题 例2 [2023南通质检] 已知半径为 的圆 与圆 外切于点 ，求 圆心 的坐标. 解 由题意知，圆 的圆心为 ，半径 ，设所求圆 的圆心为 ， 若圆 与圆 外切于点 ，则必有 ， ， 三点共线且 ， 即 解得 或 当 ， 时，圆 与圆 内切，不合题意； 当 ， 时，圆 与圆 外切，符合题意.故点 的坐标是 ． 17 题后反思 处理两圆相切问题时，首先，分两圆内切和外切两种情况；其次，将两圆相切的 问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外 切时）. 本题易错点是在求解出参数值后，忽略两圆内切也满足三点共线且圆心距为 的情 况，造成增根. 跟踪训练2 已知点 在圆 上.若圆 过点 ，且与圆 相切于点 ，则圆 的标准方程为_ ___________________. （ <m></m> ） <m></m> 18 [解析] 将点 的坐标代入圆 的方程 ，可得 ， 所以圆 的方程为 ，化为标准方程可得 ，圆心为 . 设圆 的标准方程为 ，圆心为 ，直线 的 方程为 ，即 .把 的坐标代入得 . 又 ，解得 ， ，所以 ，故圆 的标准方程为 ． 19 【题型三】两圆相交问题 例3 已知两圆 和 . （1）试判断两圆的位置关系； 解 将两圆方程配方化为标准方程，得 ， ， 则圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 ． 又 , ， ，所以 ,所以两圆相交． 20 （2）求公共弦所在直线的方程； 将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 ． （3）求公共弦的长度. 圆心 到直线 的距离 ，所以两圆的公共弦长为 ． 21 规律方法 （1）若两圆相交，则有一条公共弦.将两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数. （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解. 跟踪训练3 [2023常州调研] 圆 与圆 交 于 ， 两点，则 ( ) D A.6 B.5 C. D. 22 成果验收•课堂达标检测 23 A层 基础达标练 1.若圆 与圆 内切，则 ( ) A A. B. C. D. 2.若两圆 和 有3条公 切线，则 ( ) D A. 或 B. 或 C. 或2 D. 或2 3.圆 和圆 交于 ， 两点，则 的垂直平分 线的方程是( ) D A. B. C. D. 24 4.已知圆 、圆 相切，圆心距为 ，其中圆 的半径为 ，则圆 的半径为 _ _____________. <m></m> 或 <m></m> 5.已知圆 的圆心为 ，若圆 与圆 的公共弦所在直线过点 ，则圆 的方程为_ ____________________________. （ <m></m> ） <m></m> （ <m></m> ） <m></m> 25 6.[2023徐州月考] 圆 的方程为 ，圆 的圆心为 . （1）若圆 与圆 外切，求圆 的方程； 解 圆 的方程为 ，圆心坐标为 ，半径为1，圆 的圆心 . 圆心距为 ，圆 与圆 外切，所求圆 的半径为4，所以圆 的方程为 . 26 （2）若圆 与圆 交于 ， 两点，且 ，求圆 的方程. 圆 与圆 交于 ， 两点，且 ，所以圆 到直线 的距离为 .当圆 到 的距离为 时，圆 的半径为 .圆 的方程为 .当圆 到 的距离 为 时，圆 的半径为 . 圆 的方程为 . 综上，圆 的方程为 或 . 27 B层 能力提升练 7.已知圆 ，圆 . 若圆 平分圆 的圆周，则正数 的值为( ) A A.3 B.2 C.4 D.1 8.已知圆 ，圆 ，则下列不是 ， 两圆公切线的直线方程为( ) D A. B. C. D. 28 9.[2023扬州调研] 已知圆 与圆 的公 共弦所在直线恒过点 ，且点 在直线 上，则 的取值范围 是( ) A A. B. C. D. [解析] 由圆 ，圆 ，得圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，可得定点 . 又 在直线 上，所以 ，即 ，所以 ，所以 的取值范围是 .故选A. 29 10.已知圆 和两点 ， .若圆 上有且 只有一点 ，使得 ，则 ______. 4或6 [解析] 由题意，两点 ， ，且 ，可得点 落在 以 为直径的圆上，即圆 ， 要使得圆 上有且只有一点 ，使得 ，等价 于圆 与圆 只有一个公共点，即两圆相切，可得两圆的圆心距为 . 当两圆相外切时，可得 ，即 ，解得 ； 当两圆相内切时，可得 ，即 ，解得 . 综上，实数 的值为4或6. 30 11.已知圆 与圆 相交于点 ， ，则四边形 的面积为_ ____. <m></m> [解析] 根据条件易知 ， ，所以 ，把 代入 ，得 ，把 代入 ，得 ，所以 .因为 ，所以四边形 的面积为 . 31 12.在平面直角坐标系 中，圆 与圆 相交 于 ， 两点. （1）求线段 的长； 解 由圆 与圆 方程相减可知，相交弦 所在直线的方程为 点 到直线 的距离 ， . 32 （2）记圆 与 轴正半轴交于点 ，点 在圆 上运动，求 面积最大时的直 线 的方程. 因为 ， . . 当 时， 取得最大值，此时 .又 ，则直线 的 方程为 . 由 得 或 ， 当点 时， ，此时直线 的方程为 ； 当点 时， ，此时直线 的方程为 . 所以直线 的方程为 或 . 33 C层 拓展探究练 13.[2023张家港月考] 在平面直角坐标系 中，已知圆 与圆 相交于 ， 两点.若圆 上存在点 ，使得 为 等腰直角三角形，则实数 的值组成的集合为_ ____________________. <m></m> , <m></m> , <m></m> } [解析] 由题意,得直线 的方程为 ,当 或 时,设 到 的距离为 ,因为 为等腰直角三角形,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,解得 ；当 时, 经过圆心 ,则 ,即 .综上，实数 的值组成的集 合为 , , }. 34 $$