3.1.2 椭圆的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的几何性质 【课标要求】 1.掌握椭圆的几何性质. 2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.椭圆的几何性质 焦点位置 在 轴上 在 轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 4 顶点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴长 长轴长 ,短轴长 焦点 焦距 对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点 离心率 续表 5 知识点2.椭圆 的图形中线段的几何特征 如图, , 为椭圆的左、右焦点， , 为椭圆的左、右顶点， 为椭圆的上顶 点， 为椭圆上一点，过点 作椭圆准线的垂线交两条准线于点 ， . （1） ； ； . 6 （2） ； ； . （3） ； ； . 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】已知椭圆方程研究椭圆的几何性质 例1 求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： （1） ； 解 由 ，得 ， ， ， 所以椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，顶点坐标 为 ， ， ， ，焦点坐标为 ， ． 9 （2） ； 解 由 ，得 ， ， ，所以椭圆的长轴 长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，顶点坐标为 ， ， ， ，焦点坐标为 ， ． （3） . 解 由 ，得 ，所以 ， ， ，所以椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，顶点坐标为 ， ， ， ，焦点坐标为 ， ． 10 题后反思 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 ， ， 之间的关系及相关定义，就可以得到椭圆的几何性质. 11 跟踪训练1 已知椭圆 ，设椭圆 与椭圆 的长轴长、短轴长分别相 等，且椭圆 的焦点在 轴上. （1）求椭圆 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 解 由椭圆 ,可得 , , ,故其长半轴长为10, 短半轴长为8,焦点坐标为 , ,离心率 . （2）写出椭圆 的方程、顶点坐标、焦点坐标、离心率. 解 椭圆 . 顶点坐标为 , , , ，焦点坐标为 , ，离心率 . 12 【题型二】由椭圆的几何性质求椭圆的方程 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； 解 设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ， 由题意可知 结合 ,可解得 ， ， ． 因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为 或 ． 13 （2）经过点 ，且离心率 ； 解 ①当椭圆的焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ， 由题意，得 .因为 ，所以 ， 所以 ，所以所求椭圆的标准方程为 ②当椭圆的焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ， 由题意，得 . 因为 ，解得 ，所以 ，所以所求椭圆的标 准方程为 综上，所求椭圆的标准方程为 或 ． 14 （3）经过点 ，且与椭圆 有相同的焦点. 设所求椭圆的标准方程为 ， 将点 的坐标代入，可得 ，解得 （ 舍去）． 所以所求椭圆的标准方程为 ． 规律方法 在求椭圆的方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程 的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程（组）确定 ， ，也就是我们常用的待定系数法. 15 跟踪训练2 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，其离心率为 ，焦距为8； 解 由题意,知 , ,所以 , 所以 ,所以 , 所以所求椭圆的标准方程为 . （2）已知椭圆的离心率为 ，短轴长为 . 解 由 ,得 . 又 , ,所以 , ,所以所求椭圆的标准方程为 或 . 16 【题型三】求椭圆的离心率 例3（1） [2023常州期中] 在 中， ，若一个椭圆经过 ， 两 点，它的一个焦点为 ，另一个焦点在 上，则这个椭圆的离心率 ( ) D A. B. C. D. [解析] 如图，设另一个焦点为 ，因为 ， ，所以 ， 所以 ，所以 .设 ，则 ，解得 .由 ，得 ，所以 .故 选D． 17 （2）[2023如东调研] 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 顺次连接 上的四个点 ， ， ， ，可以得到一个正方形.若点 ， 不落在正 方形 外侧，则椭圆 的离心率的取值范围为( ) B A. , B. , C. D. , [解析] 根据题意，不妨设点 是椭圆在第一象限内的点，根据椭圆和正方形的对称性， 可设其坐标为 ，则 ，解得 .又点 ， 不落在正 方形 外侧，所以 ，即 ，又 ，可得 ，不等式两边同时除以 ，可整理化简为 ， 解得 .因为 ，所以 ．故选B． 18 规律方法 求椭圆离心率或其取值范围的方法 （1）定义法：求出 ， 或 ， 的值，代入 求出 ， 再开方. （2）齐次式法：先根据条件得到关于 ， ， 的齐次等式（不等式），结合 转化为关于 ， 的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式） 两边同时除以 或 ，转化为关于 或 的方程（不等式），再解方程（不等式）即 可得 （ 的取值范围）. （3）特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 19 跟踪训练3（1） 已知椭圆 的上、下顶点分别为 , ，右顶 点为 ，右焦点为 ， ，则椭圆的离心率为( ) C A. B. C. D. （2）[2023江阴月考] 已知点 ， 为椭圆 的长轴顶点， 为椭圆上一点.若直线 ， 的斜率之积的范围是 ，则椭圆 的离心率的 取值范围是( ) A A. , B. , C. , D. , 20 成果验收•课堂达标检测 21 A层 基础达标练 1.已知椭圆 ，则它的短轴长为( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 2.已知 , 分别为椭圆 的左、右焦点， 为上顶点，则 的面积为 ( ) D A.6 B.15 C. D. 3.已知椭圆 与 ，则两个椭圆( ) D A.有相同的长轴与短轴 B.有相同的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的离心率 22 4.[2023新高考Ⅰ] 设椭圆 , 的离心率分别为 , .若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 5.（多选题）已知 为椭圆的焦点， ， 分别为椭圆的两个顶点（且 不是离 最 近的那个顶点），若 ， ，则椭圆的离心率可以为( ) AB A. B. C. D. 6.写出一个焦点在 轴上，且离心率为 的椭圆的标准方程： _ _________________________. <m></m> （答案不唯一） 7.设 是椭圆 上任意一点， 为 的右焦点， 的最小值为 ，则椭圆 的离心率为_ _. <m></m> 23 8.求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）长轴是短轴的3倍且经过点 ； 解 若焦点在 轴上，设方程为 .因为椭圆过点 ，所以 ,得 .因为 ，所以 ，所以方程为 .若焦点在 轴上，设方程为 .因为椭圆过点 ，所以 ，得 . 又 ，所以 ，所以方程为 .综上，椭圆的标准方程为 或 . 24 （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 . 解 由已知，有 解得 从而 .若焦点在 轴上， 则方程为 ；若焦点在 轴上，则方程为 ，所以所求椭圆的标准 方程为 或 . 25 B层 能力提升练 9.（多选题）若椭圆 和椭圆 的离心率相同，且 ，则下列结论正确的是( ) AB A.椭圆 和椭圆 一定没有公共点 B. C. D. 26 10.据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时 的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航 天员翟志刚、王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的 运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面 千米，远地点距地面 千米，地球半径为 千米，则下列说法错误的是( ) B A.椭圆的短轴长为 千米 B.椭圆的短轴长为 千米 C.椭圆的焦距为 千米 D.椭圆的长轴长为 千米 27 11.[2023盐城期末] 下列关于曲线 的结论正确的是( ) D A.曲线 是椭圆 B. 的取值范围是 C.关于直线 对称 D.曲线 所围成的封闭图形面积大于6 [解析] 因为 不是椭圆方程，所以曲线 不是椭圆，故A错误； 因为曲线 ，所以 ，所以 ，故B错误； 曲线 与 轴正半轴的交点坐标为 ， 28 若曲线 关于直线 对称，则点 也在曲线 上， 又 ，所以点 不在曲线 上，所以曲线 不关于直线 对称，故C错误； 曲线 与坐标轴的交点坐标为 , ， 则以 , 四点为顶点的四边形的面积为 ，所以曲线 所围 成的封闭图形面积大于6，故D正确.故选D. 29 12.设 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，若椭圆 上存在 点 满足 ，则椭圆 离心率的取值范围为( ) D A. B. C. , D. [解析] 由椭圆的方程可得 ， .设 ，由 ，得 ，即 .由点 在椭圆上，可得 ，所以 ，代入可得 ，所以 . 30 由 ，得 整理，得 所以 所以 ，即 ，可得 , .故选D. 31 13.若椭圆上存在点 ，使得点 到椭圆的两个焦点的距离之比为 ，则称该椭圆为 “倍径椭圆”.写出一个长轴长为6的“倍径椭圆”的标准方程为 _ _________________________. <m></m> （答案不唯一） 14.已知矩形 中, , ,则以 , 为焦点,且过 , 的椭圆的离心率为_ _. <m></m> 32 15.（1）计算: ①若 , 是椭圆 长轴的两个端点, ,求 ； 解 由椭圆方程可得 , .又 ,所以 . ②若 , 是椭圆 长轴的两个端点, , ,求 ； 解 由椭圆方程可得 , .又 , ,所以 . 33 ③若 , 是椭圆 长轴的两个端点, , ,求 . 解 由椭圆方程可得 , .又 , ,所以 . 34 （2）观察①②③,由此可得到:若 , 是椭圆 长轴的两个端 点, 为椭圆上任意一点,则 _ ____.并证明你的结论. <m></m> 证明 设 . 由题意得 , , 则 . 又 为椭圆上任意一点,满足 ,得 , 代入可得 ,得证. 35 16.已知椭圆 的离心率为 ，焦点 ， . （1）求椭圆 的方程； 解 依题意，得 , ,所以 , ，所以椭圆 的方程为 . 36 （2）已知 ， ，若 是椭圆 在第一象限部分上的一动点，且 是钝角，求 的取值范围. 解 依题意，得 , . 由于 是钝角，所以 .① 由于 是椭圆 在第一象限部分上的一动点， 所以 ，且 , ，② 将②代入①,得 , ， ，则 ,所以 的取值范围是 . 37 $$