3.2.1 双曲线的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第3章 圆锥曲线与方程 3.2.1 双曲线的标准方程 【课标要求】 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.双曲线的定义 平面内到两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（小于 的正数）的点的轨迹叫作双曲线，两个定点 ， 叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 4 知识点2.双曲线的标准方程 焦点位置 在 轴上 在 轴上 图形 标准方程 焦点 , , , , 的关系 5 名师点睛 在双曲线的标准方程中, 不一定成立，要注意与椭圆中 , , 的区别.在椭圆中， ；在双曲线中， . 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】双曲线定义的理解与运用 角度1 双曲线定义的理解 例1（1） 已知动点 满足 ，则动点 的轨 迹是( ) D A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的左支 D.双曲线的右支 [解析] 表示动点 到两定点 ， 的距离之差等于2，而 ，由双曲线的定义知，动点 的轨迹是 双曲线的右支．故选D． 8 （2）[2023南通调研] 已知点 是圆 （ 为坐标原点）上一动点，点 .若线段 的垂直平分线交直线 于点 ，则点 的轨迹是( ) D A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 [解析] 依题意， ， .因为线段 的垂直平分线交直线 于点 ， 于是得 ，当点 在线段 的延长线上时，如图1， ； 9 当点 在线段 的延长线上时，如图2， . 从而 ，由双曲线的定义知，点 的轨迹是双曲线．故选D． 规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：（1）列出等量关系，化简得到方程；（2）寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 跟踪训练1 已知圆 和圆 ，动圆 同时与 圆 及圆 外切，则动圆的圆心 的轨迹方程为_ ______________________. <m></m> （ <m></m> ） 11 [解析] 如图，设动圆 与圆 及圆 分别外切于点 和点 ，根据两 圆外切，得 ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以点 到两定点 ， 的距离的差是常数且小于 ．由双曲线的定义， 得动点 的轨迹为双曲线的左支，其中 ， ，则 ．故点 的轨迹方 程为 ． 12 角度2 双曲线定义的简单运用 例2 [2023新海月考] 设 , 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线上的一点， 且 ，则 的面积为_ ____. <m></m> [解析] 由双曲线 ，可得 ， ，则 ，所以 ， . 又 ， ，由余弦定理可得 ，所以 ，所以 ． 13 规律方法 双曲线定义的应用 （1）已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离. （2）双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 跟踪训练2 双曲线 的左、右两焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 _ ____. 60 <m></m> 14 [解析] 双曲线 可化为 ，所以 ， ． 设 ， ，由双曲线的定义，知 .又 ，在 中，由余弦定理得 ， 所以 ． 15 【题型二】求双曲线的标准方程 例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程: （1）焦点为 ， ，且过点 ； 解 由已知得 ，且焦点在 轴上．因为点 在双曲线上，所以 ， 则 ， 故所求双曲线的标准方程为 ． 16 （2）与双曲线 共焦点，且过点 , . 由 ，得 ，所以 ．设所求双曲线的标准方程为 ．依题意， ，所以 ，故所求双 曲线方程可写为 ． 因为点 ， 在双曲线上，所以 ，化简，得 ，解得 或 ．当 时， ，不合题意，舍去，所以 ， ． 故双曲线的标准方程为 ． 17 规律方法 求解双曲线标准方程的两种方法 （1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 ， ， 的方程并求出 ， ， 的值. （2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 的值，由定点位置确定 的值. 提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论. 18 跟踪训练3 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）过点 ， ， , 且焦点在坐标轴上； 解 设双曲线的标准方程为 . 因为 ， 两点在双曲线上， 所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为 . 19 （2） ，经过点 ，且焦点在 轴上. 因为焦点在 轴上， ，所以设所求双曲线方程为 （其中 ）. 因为双曲线经过点 ，所以 ，解得 或 （舍去），所以 所求双曲线的标准方程为 . 20 【题型三】双曲线在实际问题中的简单运用 例4 如图，某野生动物保护区监测中心设置在点 处，正西、正 东、正北处有三个监测点 ， , ，且 ， 一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点 均收到求救信号， 点接收到信号的时间比 点接收到信号的时 间早 （注：信号每秒传播 ）. 21 （1）以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系（如图），根据题设条件求观 察员所有可能出现的位置的轨迹方程； 解 设观察员可能出现的位置的所在点为 . 因为 点接收到信号的时间比 点接收到信号的时间早 ，故 ， 故点 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线的标准方程为 . 由题意可知 ， ，所以 , , ， 故点 的轨迹方程为 ． 22 （2）若已知 点与 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点的坐标，以及与监 测中心 的距离. 因为 ， ，设 的垂直平分线方程为 ，所以 ， 解得 ,则 的垂直平分线方程为 ， 与 联立，可得 ，故 ， ，故观 察员遇险地点的坐标为 ，与监测中心 的距离为 23 规律方法 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系. （2）求出双曲线的标准方程. （3）根据双曲线的标准方程及定义解决实际应用问题. 提示：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念外，还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用. ②实际应用问题时要注意其实际意义以及在该意义下隐藏的变量范围. 24 跟踪训练4 如图， 地在 地的正东方向 处， 地在 地的 北偏东 方向 处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点 到 地的距离比到 地的距离远 ，则曲线 的方程是 _ _____________________；现要在曲线 上选一处 建一座码头， <m></m> （ <m></m> ） <m></m> 向 ， 两地转运货物，那么这两条公路 ， 的路程之和最短是_ ________ . 25 [解析] 如图,以 所在直线为 轴, 的垂直平分线为 轴建立平 面直角坐标系， 则 ,由双曲线的定义知,点 的轨迹为双曲线的右支. 故 , , , , ,故点 的轨迹方程为 ，即曲线 的方程为 . 根据题意知 , ， 当 , , 三点共线时，等号成立. 26 成果验收•课堂达标检测 27 A层 基础达标练 1.已知 ， 为平面内两个定点， 为动点，若 （ 为大于零的常 数），则动点 的轨迹为( ) D A.双曲线 B.射线 C.线段 D.双曲线的一支或射线 2. 是双曲线 左支上一点， ， 分别是左、右焦点，则 ( ) D A.4 B. C.8 D. 28 3.已知双曲线过点 和 ，则双曲线的标准方程为( ) B A. B. C. D. 4.[2023宿迁月考] 与椭圆 ： 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为 ( ) C A. B. C. D. 5.（多选题）若方程 表示双曲线，则实数 可能是( ) ABC A.8 B.4 C.0 D. 29 6.已知动点 ， 的坐标满足方程 ，则点 的轨迹方程是( ) C A. B. C. D. 30 7. ，且 的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为 ； 的焦距为 6； 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4. 在以上这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题. 问题：已知双曲线 ，___，求 的方程. 解 选择条件①. 因为 ，所以 ， ， ，所以 ， . 因为 的左支上的点到右焦点的距离的最小值为 ，所以 ， 31 解得 ，故 的方程为 . 选择条件②. 因为 的焦距为6，所以 .若 ，则 ， ， ， 所以 ，解得 ，则 的方程为 ； 若 ，则 ， ， ，所以 ， 解得 ，则 的方程为 . 综上， 的方程为 或 . 选择条件③. 因为 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以 ，即 . 若 ，则 ，所以 ，解得 ，则 的方程为 ； 若 ，则 ，所以 ，解得 ，则 的方程为 . 综上， 的方程为 或 . B层 能力提升练 8.若双曲线的方程为 ，其焦点在 轴上，焦距为4，则实数 等于( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 9.（多选题）在平面直角坐标系中，有两个圆 和 ，其中 ， 为正常数，满足 或 ，一 个动圆 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( ) BCD A.两个椭圆 B.两个双曲线 C.一个双曲线和一条直线 D.一个椭圆和一个双曲线 34 10.设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ， ， 是两曲线的一个 公共点，则 ( ) B A. B. C. D. 11.已知有相同焦点 ， 的椭圆 和双曲线 ， 是它们的一个交点，则 的形状是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能 12.如图，已知双曲线以长方形 的顶点 ， 为左、右焦点，且 双曲线过 ， 两顶点.若 ， ，则双曲线的标准方程为 _ __________. <m></m> 35 13.已知 ， ，在 中， ，则顶点 的轨迹方程为_ _____________________. <m></m> （ <m></m> ） [解析] 因为 ， ，所以 .设顶点 ，由 ，根据正弦定理可得 ，即 .由双曲线的定义，可得点 的轨迹是以 ， 为焦点，以 为长轴长的双曲线的右支，且点 不 在 轴上，所以 ， ，则 .因此,顶点 的轨迹 方程为 . 36 14.已知圆 与 轴的两个交点 ， 都在某双曲线上，且 ， 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为_ __________. <m></m> [解析] 由圆的方程 知,与 轴的交点坐标为 , .因为 圆与 轴的两个交点 ， 都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在 轴上，且 . 又因为 ， 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以 ，即有 ，所以此 双曲线的标准方程为 . 37 15.已知 ， 是平面上的两点，若曲线 上至少存在一点 ，使 ，则称曲线 为“黄金曲线”.下列五条曲线： ； ； ； ； . 其中为“黄金曲线”的是______.（写出所有“黄金曲线”的序号） ④⑤ 38 16.如图，在以点 为圆心， 为直径的半圆 中， ， 是半圆弧上一点， ，曲线 是满足 为定值的动点 的轨迹，且曲线 过点 .建立适当的平面 直角坐标系，求曲线 的方程. 解 如图，以点 为原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立平 面直角坐标系，则 ， ， ， .依题意得 ，所 以曲线 是以 ， 为焦点的双曲线,则 ， ， 所以 ， .故曲线 的方程为 . 39 C层 拓展探究练 17.（多选题）已知 , 两监测点间的距离为800米，且 监测点听到爆炸声的时间比 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是( ) BD A.爆炸点在以 , 为焦点的椭圆上 B.爆炸点在以 , 为焦点的双曲线的一支上 C.若 监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监 测点的距离为 米 D.若 监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监 测点的距离为680米 40 [解析] 依题意， , 两监测点间的距离为800米，且 监测点听到爆炸声的时间比 监测点迟2秒.设爆炸点为 ，则 ，所以爆炸点在以 , 为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若 监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则 ，即 ，结合 ，可得 ，所以C选项错误，D选项正确.故选 . 41 18.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光 线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦 点；光线从双曲线的一个焦点出发，被双曲线反射后的反射光线 等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆 ： D A. B. C. D. 与双曲线 有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发， 在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 次反射后回到左焦点所经过的路 径长为( ) 42 [解析] 由题意得，光线从左焦点出发，经过椭圆反射要回到另一 个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线 的反向延长线过另一个焦点. 如图， ， ，所以光线经过 次 反射后回到左焦点所经过的路径长为 .故选D. 43 $$