3.3.1 抛物线的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第3章 圆锥曲线与方程 3.3.1 抛物线的标准方程 【课标要求】 1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程. 2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程. 3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.抛物线的定义 平面内到一个定点 和一条定直线 不在 上 的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点 叫作抛物线的焦点，定直线 叫作抛物线的准线. 说明：若在定义中有 ，则动点的轨迹为 的垂线，垂足为 . 4 知识点2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 5 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 名师点睛 （1）“ ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以 （2）抛物线的焦点所在轴 轴、 轴 由标准方程中的一次项来确定，开口方向 （向左、向右、向上、向下）由一次项系数的符号来确定，可简记为“焦点位置要看一 次项，符号决定开口方向”. 续表 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】求抛物线的标准方程 例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点为 ； 解 因为焦点在 轴的负半轴上,所以可设抛物线的标准方程为 ,其中 ,即 , ，所以抛物线的标准方程为 . （2）准线为 ； 因为焦点在 轴的正半轴上,所以可设抛物线的标准方程为 ,其中 ,所以 , ，所以抛物线的标准方程为 . 8 （3）过点 ； 由题意,抛物线方程可设为 或 .因为抛物线过点 ， 所以 或 ,所以 或 ，所以所求抛物线的标准方程为 或 . （4）焦点到准线的距离为 . 由焦点到准线的距离为 ,可知 , ，所以所求抛物线的标准方程为 或 或 或 . 9 规律方法 求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即 求出方程中 的值，从而求出方程. （1）定义法：先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程. （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数的值. ①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线： 根据题设中的条件设出其标准方程 或 或 或 ，并进行求解. ②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线： 当焦点在 轴上时，可将抛物线方程设为 ； 当焦点在 轴上时，可将抛物线方程设为 .再根据条件求 . 10 跟踪训练1 根据下列条件，求抛物线的标准方程： （1）焦点在 轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6； 解 由焦点到准线的距离为6，得 ．又焦点在 轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为 ． 11 （2）焦点 在 轴上，点 在抛物线上，且 . 因为抛物线的焦点 在 轴上，且点 在抛物线上， ①当 时，抛物线的方程可设为 ，则 解得 或 所以抛物线的标准方程为 或 ． ②当 时，抛物线的方程可设为 ， 则 解得 或 所以抛物线的标准方程为 或 ． 综上，抛物线的标准方程为 或 或 或 ． 12 【题型二】抛物线定义的理解及运用 角度1 对抛物线定义的理解 例2 若动点 满足 ，则点 的轨迹是 ( ) D A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [解析] 因为动点 满足 ，即 ， 即动点 到定点 的距离等于动点 到定直线 的距 离.又点 不在直线 上，根据抛物线的定义，可得动点 的轨迹 为以 为焦点，以 为准线的抛物线．故选D． 13 题后反思 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为 ；一个定点 叫作抛 物线的焦点；一条定直线 叫作抛物线的准线；一个定值，即点 到点 的距离和它 到直线 的距离之比等于1. 跟踪训练2 在平面直角坐标系 中，动点 到直线 的距离比它到定点 的距离小1，则点 的轨迹方程为( ) D A. B. C. D. 14 角度2 抛物线定义的运用 例3 已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，点 . （1）求 的最小值，并求出取最小值时点 的坐标； 15 解 将 代入 ，得 .而 ，即点 在抛物线 内部.如 图，过点 作 垂直于抛物线的准线 于点 .由抛物线的定义，知 .当 ， ， 三点共线 在线段 上 时， 取得最小 值 ，即 的最小值为 ，此时点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，即 点 的坐标为 ，所以 的最小值为 ，点 的坐标为 ． （2）求点 到点 , 的距离与到直线 的距离之和的最小值. 显然点 ， 在抛物线 外部.设抛物线上点 到准线 的距离为 , 由抛物线的定义，得 ，当 ， ， 三点共线 在线段 上 时取等号.又 ， ，所以 ，所以所求最小值为2． 题后反思 抛物线定义的两种应用 （1）实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离.因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. （2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离之和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 17 跟踪训练3 已知定长为3的线段 的端点 ， 在抛物线 上移动，求 的中 点 到 轴距离的最小值. 解 如图,设点 是抛物线 的焦点,过 , 两点分别作其准线的垂 线 , ,过 的中点 作准线的垂线 , , , 为垂足,则 .由抛物线的定义,知 , , 所以 . 设点 的横坐标为 , ,则 . 当线段 过焦点 时,等号成立,此时点 到 轴距离的最小值为 . 18 【题型三】抛物线简单的实际应用 例4 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形 的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛 物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑.已知 镜口圆的直径为 ，镜深 ，若把盛水和食物的容器近似地看作 点，求每根钢筋的长度. 19 解 如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶 点）与原点重合， 轴垂直于镜口圆的直径． 由已知，得点 的坐标是 . 设抛物线的标准方程为 ，则 ，解得 ，所以所求抛 物线的标准方程是 ，焦点坐标是 ． 因为盛水和食物的容器在焦点处，所以 ， 两点间的距离即为每根钢筋的长． .故每根钢筋的长度是 ． 20 题后反思 抛物线简单的实际应用 首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中反光镜是抛物线形，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤： （1）建系：建立适当的坐标系； （2）假设：设出合适的抛物线标准方程； （3）计算：通过计算求出抛物线的标准方程； （4）求解：求出需要求的量； （5）还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题. 跟踪训练4 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知 灯口直径是 ，灯深 ，则光源到反射镜顶点的距离是( ) B A. B. C. D. 21 成果验收•课堂达标检测 22 A层 基础达标练 1.已知点 ，直线 ，若动点 到 的距离等于 ，则点 的轨迹 是( ) C A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 2.顶点在坐标原点，准线方程为 的抛物线的标准方程是( ) B A. B. C. D. 3.（多选题）对抛物线 ，下列描述正确的是( ) BC A.焦点坐标为 B.焦点坐标为 C.准线方程为 D.准线方程为 23 4 . （多选题）对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线， 垂足的坐标为.其中满足抛物线方程为的是( ) A.① B.② C.③ D.④ BD 5.已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ，该点到准线的距离为6， 则该抛物线的标准方程为( ) D A. B. 或 C. D. 或 6.若抛物线 的准线与直线 间的距离为3，则抛物线的方程为___________ ____________. <m></m> 或 <m></m> 24 7.已知点 与点 的距离比它到直线 的距离小2. （1）求点 的轨迹 的方程； 解 因为点 与点 的距离比它到直线 的距离小2，所以点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，所以点 的轨迹 是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线.故轨迹 的方程为 . 25 （2）若轨迹 上有两点 ， 在第一象限，且 ， ，求证：直线 的斜率是 . 证明 如图，设 , 在准线上的投影分别为 , ，连接 ， ，过点 作 交 于点 . 26 因为 ， ， 又 ，所以 . 因为 ，所以 . 故直线 的斜率是 . 27 B层 能力提升练 8.已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ， 则 的面积为( ) A A.2 B. C. D.4 9.已知直线 和直线 ，则抛物线 上一动点 到直 线 和直线 的距离之和的最小值是( ) B A. B.2 C. D.3 10.已知 是抛物线 的焦点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 28 11.（多选题）在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ， 准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足.若直线 的斜率 ，则下列结论正确的是( ) BC A.准线方程为 B.焦点坐标为 C.点 的坐标为 D. 的长为3 [解析] 由抛物线方程为 ，得焦点坐标为 , ，准线方程为 ，故A 错误，B正确.因为直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ， 当 时， ，所以 , .因为 ， 为垂足，所以点 的纵 坐标为 ，可得点 的坐标为 , ，故C正确.根据抛物线的定义，可知 ，故D错误.故选 . 29 12.已知点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是点 ，点 的坐标是 ，则 的最小值为( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 [解析] 易知抛物线的焦点为 ，准线方程为 .如图，连 接 ，延长 交准线于点 ，根据抛物线的定义，知 所以 ，当 且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立，所以 的最小值 为9.故选C. 30 13.已知 是抛物线 上的一点， 为抛物线的焦点，若以 为直径 作圆，则这个圆与 轴的关系是( ) B A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况都有可能 [解析] 如图，过 的中点 作准线 的垂线 ，交直线 于点 ， 交 轴于点 ；过点 作准线 的垂线 ，垂足为 ，交 轴于点 ，则 ， ，所以 ，所以这个圆与 轴相切.故选B. 31 14.[课本改编题] 一抛物线形的拱桥如图所示，桥的跨度 米，拱高 米，在建造时每隔4米用一个柱 子支撑，则支柱 的长度为_____米. 3.84 [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,使抛物线的焦点 在 轴上.可设抛物线的标准方程为 . 因为桥的跨度 米，拱高 米，所以 , ， 代入标准方程，得 ，解得 ，所以抛物线的标准方程为 .把点 的横坐标 代入 ,得 ，解得 .支柱 的长度为 （米）. 32 15.[2023宿迁期末] 已知点 为抛物线 上一点，若点 到两定点 ， 的距离之和最小，则点 的坐标为______. <m></m> , <m></m> [解析] 如图，过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 .由抛物线的定 义，知点 到焦点 , 的距离与点 到准线的距离相等，即 ，所以 .易知当 ， ， 三点共 线时， 取得最小值，所以 ，此 时点 的坐标为 , . 33 16.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物 线的某一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与 隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 . （1）以抛物线的顶点为原点 ，其对称轴所在的直线为 轴，建立 平面直角坐标系 （如图），求该抛物线的方程； 解 根据题意可设该抛物线的方程为 ,结合图象，可得点 的坐标为 因为点 在抛物线上，所以 ，解得 ,所以该 抛物线的方程为 . 34 （2）若行车道总宽度 为 ，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米. 设车辆高为 ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，则 ，故 ，代入方程 ，解得 ，所以通过隧道的车辆限制高度为 . 35 C层 拓展探究练 17.如图，正方体 的棱长为1，点 在棱 上，且 ，点 是平面 上的动点，且动点 到直线 的距离与 点 到点 的距离的平方差为1，则动点 的轨迹是( ) B A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线 [解析] 如图，在正方体 中，作 ，垂足为 ，则 平面 ，过 作 ，则 平面 ，则 为点 到直线 的距离.由题意得 ，由已知得 ，所以 ， 即点 到点 的距离等于点 到 的距离，所以根据抛物线的定义可得，点 的轨 迹是抛物线.故选B. 36 18.如图，已知点 ，抛物线 的焦点是 ， ， 是抛物线上两点，四边形 是矩形. （1）求抛物线的方程； 解 因为抛物线 的焦点是 ，所以 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 . 37 （2）求矩形 的面积. 设 ， ，因为四边形 是矩形，所以 , ，且 ，即 ， ，且 ，所以 ， ，且 ，所以 ，解得 ， .由抛 物线的定义得 , ，所以矩形 的面积为 . 38 $$