3.3.2 抛物线的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第3章 圆锥曲线与方程 3.3.2 抛物线的几何性质 【课标要求】 1.掌握抛物线的几何性质. 2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.抛物线的方程、图形及性质 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 ， ， ， ， 离心率 4 准线方程 焦半径 续表 5 知识点2.抛物线的焦半径 抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径，若 ，则焦半径 ， . 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】抛物线几何性质及应用 例1 已知抛物线 . （1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量 的范围； 解 抛物线 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量 的范围分别为 ， ， ， 轴， ． 8 （2）以坐标原点 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形 ， ，若焦点 是 的重心，求 的周长. 如图，由 可知 轴，设垂足为 ，又焦点 是 的 重心，则 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 设 ，代入 ，得 ，所以 或 ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 的周长为 ． 9 题后反思 研究抛物线的几何性质要从以下三个方面入手： （1）开口方向：由抛物线标准方程看图象开口方向，关键是看准二次项是 还是 ，一次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为 ；过焦点且垂直于对称轴的弦（又称为通径） 长为 . 跟踪训练1 [2023镇江期中] 抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，其面积为_ ____. <m></m> 10 [解析] 由题意知， 为等边三角形时， ，所以 垂直于抛物线的准 线，设 ，则 ，所以等边三角形 的边长为 . 因为 ，所以由 ，得 ，解得 ， 所以等边三角形 的边长为4，其面积为 ． 11 【题型二】与抛物线有关的最值问题 例2 求抛物线 上的点到直线 的最小距离. 解 设 为抛物线上的点,它到直线 的距离 ，所以当 时, 有 最小值 .故最小距离为 . 规律方法 抛物线中最值的求解策略 策略一：可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值问题，但要注意抛物线的 范围. 策略二：当条件中有关于抛物线上的点 到焦点 的距离问题时，一定要考虑抛 物线的定义，注意点 到点 的距离与点 到准线的距离的转化. 跟踪训练2 已知直线 和直线 ，则抛物线 上一 动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是___. 2 12 [解析] 如图，因为抛物线的方程为 ，所以焦点坐标为 ， 准线方程为 ．设点 到准线的距离为 ，点 到 直线 的距离为 ，则 ，所以 ，其中 为焦点 到直线 的距离．因为 ，所以所求距离之和的最 小值是2． 13 【题型三】直线与抛物线 角度1 直线与抛物线位置关系的判断 例3 [2023苏州调研] 已知曲线 .下面给出了 三个问题，从中任意选出一个问题，然后对选择的问题进行求解. ①若 ， ，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程、 顶点坐标、焦点坐标及 ， 的取值范围； ②若 ， ，写出曲线的方程，并求经过点 且与曲线 只有一个公共 点的直线方程； ③若 ，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论 如何变化，这两点都不在曲线 上. 14 解 选择①： 因为 ， ，所以该曲线的方程为 ， 该曲线是抛物线，其对称轴方程是 ，顶点坐标为 ,焦点坐标为 , 的取 值范围是 , 的取值范围是 ． 选择②: 因为 ， ，所以该曲线的方程为 ，该曲线是抛物线， 当过点 的直线斜率不存在时，直线与曲线 没有交点，不符合题意. 当过点 的直线斜率存在时，设斜率为 ，则直线方程可设为 ， 15 联立 消去 ，得 ． 当 时， ，符合经过点 且与曲线 只有一个公共点； 当 时，只需 ，解得 ，此时方程为 ． 综上,符合题意的直线方程为 或 或 选择③： 因为 ，所以曲线的方程为 ，即 当 时， ； 当 时， ，当 时， ， 因此，符合题意的这两个点可以是 ， ． 规律方法 直线与抛物线交点问题的解题思路 （1）判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数. （2）直线与抛物线有一个公共点时，有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切. 跟踪训练3 已知直线 ，抛物线 ，求 为何值时， 与 只 有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 17 解 联立 消去 ，得 当 时， 式只有一个解， 即 ，所以直线 与 只有一个公共点 ，此时直线 平行于 轴． 当 时， 式是一个一元二次方程， ． ①当 ，即 且 时， 与 有两个公共点，此时直线 与 相交； ②当 ，即 时， 与 有一个公共点，此时直线 与 相切； ③当 ，即 时， 与 没有公共点，此时直线 与 相离． 综上，当 或0时， 与 只有一个公共点；当 且 时， 与 有两个公 共点；当 时， 与 没有公共点． 18 角度2 直线与抛物线的综合问题 例4 已知直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于 ， 两点. （1）若 ，求点 的坐标； 解 设 ,由抛物线的定义，可知 ，从而 ，代入 ，解得 ，所以点 的坐标为 或 ． 19 （2）求线段 的长的最小值. 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ． 联立 消去 ，整理，得 . 因为直线与抛物线相交于 ， 两点，所以 .设 , ,则 . 由抛物线的定义，可知 ． 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，与抛物线相交于 ， ， 此时 .故 ，即线段 的长的最小值为4． 20 规律方法 解决直线与抛物线相交弦问题的常用方法 （1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式；若不过焦点，则必须用一般弦长公式. （2）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 21 跟踪训练4 已知抛物线 的焦点为 ， 上一点 到焦点的距离为5. （1）求 的方程； 解 由题意知，抛物线的准线方程为 ，则 ，解得 ，所以 的方程为 ． 22 （2）过点 作直线 ，交 于 ， 两点，若线段 中点的纵坐标为 ，求直线 的方程. 由（1）知 .由题意知，直线 的斜率存在，设其方程为 ，与抛物线 方程联立，得 ， . 设 ， ，则 ，而线段 中点的纵坐标为 ，所 以 ，即 ，解得 ，所以直线 的方 程为 ． 23 成果验收•课堂达标检测 24 A层 基础达标练 1.顶点在原点，对称轴为 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( ) D A. B. C. D. 2.若直线 与抛物线 只有一个公共点，则实数 的值为( ) C A. B.0 C. 或0 D.8或0 3.在同一平面直角坐标系中，方程 与 的曲线大致为( ) D A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 25 4.已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，若线段 中点的纵坐标为2， 则直线 的斜率为___. 1 5.一条光线从抛物线 的焦点 射出，经抛物线上一点 反射后，反射 光线经过点 ，若 ，则抛物线的标准方程为_ _______. <m></m> 26 6.已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为4. （1）求实数 的值； 解 由题意可知 ，解得 . 27 （2）若直线 过 的焦点，与抛物线交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程. 由（1）知抛物线 ，则焦点坐标为 . 由题意知，直线 的斜率不为0，设直线 ， , ， 联立 消去 ，得 ，则 , ,所以 ， 所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 或 . 28 B层 能力提升练 7.已知直线 过点 ，且与抛物线 有且只有一个公共点，则符合要求的直 线 的条数为( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 则 的方程为( ) A A. B. C. D. 9.已知圆 与抛物线 交于 ， 两点，与抛物线的准线交 于 ， 两点.若四边形 是矩形，则 ( ) C A. B. C. D. 29 10.设抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，若以 为直径 的圆过点 ，则抛物线 的方程为( ) C A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 [解析] 抛物线 的焦点为 , .设 ，由抛物线的定义， 知 ，得 ，则以 为直径的圆的圆心横坐标为 ，而圆的 半径为 ，于是得该圆与 轴相切于点 ，得圆心的纵坐标为2，则点 的纵坐标 为4，即 , ，从而有 ，整理，得 ，解得 或 ，所以抛物线 的方程为 或 .故选C. 30 11.如图，过抛物线 的焦点 的直线依次交抛物线及准 线于点 ， ， 若 ，且 ，则抛物线的方程为 ( ) A A. B. C. D. [解析] 如图，分别过点 ， 作准线的垂线，分别交准线于点 ， ,设 与 轴交于点 .设 ， 因为 ,所以 . 由抛物线的定义得 ， 故 . 31 在 中，因为 ，所以 ， ， 所以 ，所以 ，所以 . 因为 ， ，所以 ，即 ， 所以 ，所以抛物线的方程为 .故选A. 12.（多选题）点 在直线 上，若存在过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，且 ，则称点 为“ 点”，则下列结论中正确的是( ) AC A.直线 上的所有点都是“ 点” B.直线 上仅有有限个点是“ 点” C.直线 上的所有点都不是“ 点” D.直线 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点” 33 13.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，过点 作 的垂线交 于点 ，且 ， ，则抛物线 的方程为_ _______. <m></m> [解析] 如图，设准线与 轴的交点为 ，准线方程为 ，焦点 为 , .由抛物线的定义知 ，又 ，所以 为等边三角形，且 ，所以 ,则 .又因为 ，所以 ，故抛物线 的方程为 . 34 14.已知过点 的直线 与抛物线 交于 , 两点， ，则 面 积的最小值为_ _. <m></m> [解析] 设直线 的方程为 ， ， ，联立 消去 ，得 ，所以 ， ，所以 ，所以 当 时， 取得最小值，最小值为 . 35 15.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，直线 与抛物 线交于 ， 两点，且 . （1）求抛物线的标准方程. 解 由题意，设所求抛物线的标准方程为 ，联立 消去 ，得 .设 ， ，则 ， .由 ，得 ，解得 或 （舍去）， 所以抛物线的标准方程为 . 36 （2）在 轴上是否存在一点 ，使 为正三角形？若存在，求出点 的坐标；若 不存在，请说明理由. 设 的中点为 ，则 , . 假设在 轴上存在满足条件的点 ，连接 . 因为 为正三角形，所以 ，即 ，解得 ， 所以 , ， 所以 . 又 ， 所以在 轴上不存在一点 ，使 为正三角形. 37 C层 拓展探究练 16.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿 平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线 ，如图， 一平行于 轴的光线射向抛物线上的点 ，反射后又射向抛物线上的 点 ，再反射后又沿平行于 轴的方向射出，且两平行光线间的最小 距离为3，则抛物线的方程为_ _______. <m></m> 38 17.已知抛物线 ： 的焦点为 ， , 在抛物线 上，且 . （1）求抛物线 的方程及 的值； 解 因为抛物线 的焦点为 ，则其准线方程为 . 又 , 在抛物线 上， 由抛物线的定义知 ，解得 ，即抛物线 的方程为 . 将 , 的坐标代入 ，得 ，所以抛物线 的方程为 ， 的 值为2. 39 （2）若过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为 的中点， 是坐 标原点，且 ，求直线 的方程. 40 设 ， ， ，由（1）知 ，显然直线 的斜率存在，设 直线 ，由 消去 ，得 ， 显然 ， ，解得 ，且 ， 于是得 , . 而 ，且点 ， ， ， 都在直线 上，从而得 ，则 有 .又 是 的中点，即 ，从而得 ，即 ，整理，得 ，故有 ，解得 或 ，均满足题意，所以 直线 的方程为 或 $$