精品解析：2024年山东省济南市中考数学一模考前模拟试题

2024年山东省济南市中考数学一模考前模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 如图所示的几何体左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校在五四青年节期间组织开展了一次“激扬青春，放飞梦想”为主题的演讲活动，该校随机从中抽取了10名演讲者的成绩制成统计图，根据统计图提供的信息得出的下列结论中错误的是（　　） A. 这组数据的众数是90 B. 这组数据的中位数是90 C. 这10名演讲者的平均成绩为89 D. 这组数据的方差是15 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（ ） A. （-，-1） B. （-2，0） C. （-1，-）或（-2，0） D. （-，-1）或（-2，0） 9. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算________.（ ） A. 36 B. 46 C. 56 D. 42 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 分解因式： ______ ． 12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________． 13. 代数式与代数式的值相等，则______． 14. 如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17 计算：． 18. 解不等式组并写出所有整数解 19. 如图，的对角线，交于点，过点且分别与，交于点、． 求证：． 20. 为进一步提升学生数学核心素养，某校拟开展初中数学实践作业成果展示活动，作业项目包括：测量、七巧板、调查活动、无字证明、数学园地设计（分别用字母A，B，C，D，E依次表示这五项作业）．为了解学生上交的作业项目，现随机调查了若干名学生（每位同学只上交一种作业），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）请根据以上信息直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中作业D“无字证明”的圆心角的度数是______度； （4）若参加成果展示活动的学生共有人，请你估计上交A“测量”作业的学生人数． 21. 为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，） （1）求B点与支撑柱的距离； （2）若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离． 22. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价的和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同． （1）求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品件数少于乙种商品的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货利润最大？最大利润是多少？ 24. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 25. 在边长为2的正方形中，点是射线上一动点（点不与，重合），与相交于点，射线与射线相交于点，是的中点，连接，． （1）如图1，当点在中点时，判断：与的位置关系为_______； （2）如图2，当点E在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请给出证明； （3）在点E运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出DE长． 26. 如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省济南市中考数学一模考前模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 如图所示的几何体左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可． 【详解】解：从几何体的左面看会看到一个矩形，中间有一条水平虚线，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查三视图的相关知识，解题的关键是掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形． 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项进行计算即可． 【详解】A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法正确，符合题意； C、，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查整式的运算，熟记运算法则是解题的关键． 5. 某校在五四青年节期间组织开展了一次“激扬青春，放飞梦想”为主题的演讲活动，该校随机从中抽取了10名演讲者的成绩制成统计图，根据统计图提供的信息得出的下列结论中错误的是（　　） A. 这组数据的众数是90 B. 这组数据的中位数是90 C. 这10名演讲者的平均成绩为89 D. 这组数据的方差是15 【答案】D 【解析】 【分析】先根据折线图写出10名演讲者的成绩，分别求出他们的众数、中位数、平均数和方差，得结论． 【详解】解：这10名演讲者的成绩分别为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95． 由于90出现的次数最多，所以这组数据的众数是90，故选项A正确； 由于这组数按从小到大排列后，第5第6个数的平均数为90， ∴这组数据的中位数是90，故选项B正确； ∵ ×（80+85+85+90+90+90+90+90+95+95）＝×890＝89， ∴这10名演讲者的平均成绩为89分，故选项C正确； ∵ [（80﹣89）2+（85﹣89）2+（85﹣89）2+（90﹣89）2+（90﹣89）2+（90﹣89）2+（90﹣89）2+（90﹣89）2+（95﹣89）2+（95﹣89）2] ＝×190＝19． ∴这组数据的方差为19，故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了折线图、平均数、众数、中位数、方差等相关知识，掌握平均数、中位数、平均数及方差的计算办法是解决本题的关键． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键． 7. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用列表法求出概率即可． 【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下： 小华\小丽 总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种， 则她们恰好选到同一个宣传队的概率是． 故选C 【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（ ） A. （-，-1） B. （-2，0） C. （-1，-）或（-2，0） D. （-，-1）或（-2，0） 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵A（，1），B（1，）， ∴tanα=， ∴OA与x轴正半轴夹角为30°，OB与y轴正半轴夹角为30°， ∴∠AOB=90°-30°-30°=30°， 根据勾股定理，OA==2， OB==2， ①如图1，顺时针旋转时， ∵150°+30°=180°， ∴点A′、B关于原点O成中心对称， ∴点A′（-1，-）； ②如图2，逆时针旋转时， ∵150°+30°=180°， ∴点A′在x轴负半轴上， ∴点A′的坐标是（-2，0）． 综上所述，点A′的坐标为（-1，-）或（-2，0）． 故选C． 考点：坐标与图形变化-旋转． 9. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算________.（ ） A. 36 B. 46 C. 56 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两类基本的尺规作图—尺规作角平分线和线段的垂直平分线、角平分线的定义、对顶角的性质和平行线的判定和性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．易得，于是可根据平行线的性质求出，由题意可得：平分，垂直平分，从而可根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理即可求出，进而可得答案． 【详解】解：解：∵， ∴， ∴， 如图，由题意可得：平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断； ②由对称轴和函数的图像可以判断； ③算出a和c的关系即可； ④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断； 【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3， 0) ∴对称轴 ∴b =-2a，c = -3a ∵二次函数的图象开口向下 ∴a < 0 ∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴， ∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误； ∵c = -3a ∴3a+c=0，故③正确； 由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a) ∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y= ∴故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 分解因式： ______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．综合提公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=， ∴小球停在黑色区域的概率是； 故答案为： 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比． 13. 代数式与代数式的值相等，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 14. 如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 【详解】解：∵是正五边形， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可． 【详解】由图象可知，点和在直线上， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当时，， ∴， ∵点，点在直线上， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴当时，， ∴小泽距甲地的距离为：（千米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 18. 解不等式组并写出所有整数解 【答案】，整数解为3，4 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 整数解为3，4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 19. 如图，的对角线，交于点，过点且分别与，交于点、． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的性质可得，，进而得到，证明即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ． 20. 为进一步提升学生数学核心素养，某校拟开展初中数学实践作业成果展示活动，作业项目包括：测量、七巧板、调查活动、无字证明、数学园地设计（分别用字母A，B，C，D，E依次表示这五项作业）．为了解学生上交的作业项目，现随机调查了若干名学生（每位同学只上交一种作业），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）请根据以上信息直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中作业D“无字证明”的圆心角的度数是______度； （4）若参加成果展示活动的学生共有人，请你估计上交A“测量”作业的学生人数． 【答案】（1） （2）件解析 （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）用项目B的人数除以其人数占比即可得到答案； （2）先求出项目C的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以项目D的人数占比即可得到答案； （4）用乘以样本中项目A的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴本次共调查了名学生， 故答案为：； 小问2详解】 解：项目C的人数为名， ∴补全统计图如下所示： 【小问3详解】 解：， ∴扇形统计图中作业D“无字证明”的圆心角的度数是度， 故答案为：； 【小问4详解】 解：名， ∴估计上交A“测量”作业的学生人数为名． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 21. 为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱的夹角，支撑臂，．（参考数据：，，，，） （1）求B点与支撑柱的距离； （2）若cm，支撑臂，求路灯C离地面的距离． 【答案】（1） （2）路灯C离地面的距离为； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）直接利用锐角的正弦求解即可； （2）如图，过作交于，过作于，过作于，过作于，证明，，，求解，，求解，可得，再利用线段的和差可得答案． 【小问1详解】 解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴B点与支撑柱的距离为； 【小问2详解】 如图，过作交于，过作于，过作于，过作于， 则，四边形，四边形为矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴路灯C离地面的距离为． 22. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见详解； （2）； 【解析】 【分析】本题考查切线证明，等腰直角三角形性质，圆的性质，勾股定理： （1）连接，根据为的直径得到，根据是的平分线得到，即可得到，结合得到，即可得到证明； （2）根据，，得到，从而得到，根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出，再求出即可得到答案. 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过B作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价的和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同． （1）求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元 （2）该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元 【解析】 【分析】（1）设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元，根据“用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同”列出方程，即可求解， （2）总购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“进货的总资金不超过1100元”求出的范围，列出总利润关于进货量的一次函数关系式，即可求解， 本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：找出方程中的等量关系． 【小问1详解】 解：设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解， 所以， 故答案为：每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元， 【小问2详解】 解：总利润为元，购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：，， ∴， ∵比例系数， ∴随着增大而减小， ∴当时，由最大利润（元），， 故答案为：该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元． 24. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析过程；②见解析过程，；（3），8；（4）． 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 25. 在边长为2的正方形中，点是射线上一动点（点不与，重合），与相交于点，射线与射线相交于点，是的中点，连接，． （1）如图1，当点在中点时，判断：与的位置关系为_______； （2）如图2，当点E在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请给出证明； （3）在点E运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出DE的长． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，由证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出，由平行线的性质得出，因此，得出，即可得出结论； （2）同（1）的思路进行证明，即可得出结论； （3）分两种情况：①当点在边上时，由，要使是等腰三角形，必须，得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出，得出；②当点在的延长线上时，同①方法可得；即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 成立；理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 分两种情况：①当点在边上时， ，要使是等腰三角形，必须， ， ， ， ， ； ②当点在的延长线上时， ，要使是等腰三角形，必须， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 26. 如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+4 （2）S最大＝，D（﹣，5） （3）存在，Q（﹣2，） 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4； 【小问2详解】 如图1， 作DF⊥AB于F，交AC于E， ∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4）， ∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m， ∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m， ∵S△ABC＝＝＝8， ∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+， ∴当m＝﹣时，S最大＝， 当m＝﹣时，y＝﹣＝5， ∴D（﹣，5）； 【小问3详解】 设P（﹣1，n）， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA＝PC， 即：PA2＝PC2， ∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2， ∴n＝， ∴P（﹣1，）， ∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC ∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝， ∴Q（﹣2，）． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$