1.2.1 直线的点斜式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.2.1 直线的点斜式方程 【课标要求】 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.直线的点斜式方程 已知直线 经过点 ，且斜率为 ，则直线 的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程. 当直线 的倾斜角为 时（如图1）， ，即 ，这时直线 与 轴 平行或重合，直线 的方程是 ，即 . 图1 4 当直线 的倾斜角为 时（如图2），直线斜率不存在，这时直线 与 轴平行 或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时直线 上每一点的横坐标都等于 ，所 以直线 的方程是 ，即 . 图2 5 知识点2.直线的斜截式方程 我们把直线 与 轴的交点 的纵坐标 称为直线 在 轴上的截距.如果直线 的斜率为 ，且在 轴上的截距为 ，那么方程为 ，即 叫作直线的斜截式方程.当 时， 表示过原点的直线；当 且 时， 表示与 轴平行的直线；当 且 时， 表示与 轴重合的直线. 6 名师点睛 （1）纵截距不是距离，它是直线与 轴交点的纵坐标，可为正数、负数或零.纵 截距也可能不存在，比如当直线与 轴垂直时. （2）由于有些直线斜率不存在，即有些直线在 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】直线的点斜式方程 例1 根据条件判断下列直线能否用点斜式表示，若能，写出直线的点斜式方程： （1）过点 ，斜率 ； 解 由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为 ． （2）过点 ，倾斜角为 ； 由题意知，直线的斜率 ，故所求直线的点斜式方程为 ． （3）过点 ，且与 轴平行； 因为直线与 轴平行，所以斜率不存在．由于直线上所有点的横坐标都是 ，故这条 直线的方程为 ，该直线不能用点斜式表示． 9 （4）过点 ，且与 轴垂直. 由题意可知，该直线的斜率不存在，所以直线的方程为 ，该直线不能用点斜式表示． 10 规律方法 求直线的点斜式方程的思路 提醒：只有在斜率存在的情况下，方程才能用点斜式表示. 11 跟踪训练1 若直线 过点 ，分别求满足下列条件时的直线的方程: （1）倾斜角为 ； 解 直线的斜率 ，所以所求的直线方程为 ． （2）平行于 轴； 平行于 轴的直线的斜率 ，故所求的直线方程为 ． （3）过原点. 过点 与 的直线的斜率 ，故所求的直线方程为 ． 12 【题型二】直线的斜截式方程 例2 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程： （1）过点 ，且在 轴上的截距为6； 解 由题意可知，直线的斜率存在且过点 ，则设直线的方程为 .又因为直线过点 ，所以 ，解得 ，所以直线的斜截式方程为 ． 13 （2）过点 ，且在 轴上的截距为3. 由题意可知，直线的斜率不为0且过点 ，则设直线的方程为 .又因为直 线过点 ，所以 ，解得 ，所以直线的方程为 ，故所求直线的斜截式方程为 ． 规律方法 求解直线的斜截式方程的策略 （1）求直线的斜截式方程，只要分别求出直线的斜率和在 轴上的截距，代入方 程即可. （2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的 斜截式方程. 14 跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在 轴上的截距是5； 解 由直线的斜截式方程可知，所求直线的斜截式方程为 ． （2）倾斜角为 ，在 轴上的截距是 ； 因为倾斜角为 ，所以斜率 ．由斜截式方程可得，所求直线 的斜截式方程为 ． 15 （3）倾斜角为 ，和 轴的交点与原点间的距离为3. 因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率 ．因为直线和 轴的交点与原点间的距离为3，所以直线在 轴上的截距 或 ,所以所求直线的斜截式方程为 或 ． 16 【题型三】点斜式、斜截式方程的综合应用 例3 已知直线 过点 ，且与 轴和直线 围成的三角形的面积为2，求直线 的方程. 解 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，经检验，符合题目要求.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 当 时， 显然不符合题意；当 时，令 ，得 .由三角形的面积为2，得 ，解得 ，故直线 的方程为 ，即 . 综上，直线 的方程为 或 ． 17 题后反思 本题考查利用待定系数法求直线的点斜式方程，注意要对直线的斜率是否存在进行讨论. 跟踪训练3 已知直线 的斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线 的 方程. 解 设直线 的方程为 ，当 时， ；当 时， 由已 知得, ，即 ，所以 ．故直线 的方程为 或 ． 18 成果验收•课堂达标检测 19 A层 基础达标练 1.过点 ，倾斜角为 的直线方程为( ) B A. B. C. D. 2.下列说法中正确的是( ) D A.每一条直线都有斜截式方程 B.方程 与方程 可表示同一条直线 C.直线 过点 ，倾斜角为 ，则其方程为 D.倾斜角是钝角的直线，其斜率为负数 20 3.[2023苏州月考] 直线 在 轴上的截距为( ) C A. B. C. D. 4.[2023扬州调研] 直线 经过第二、三、四象限，则斜率 和在 轴上的截 距 满足的条件为( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 5.（多选题）在 轴上的截距为 ,且与 轴相交成 角的直线方程可能是( ) AC A. B. C. D. 21 解 直线 的方程为 . 因为 ，又 ，所以 . 如图， 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到直线 的倾斜角为 ，所以 ，所以直线 的方程为 6.直线 过点 ，斜率为 ，把 绕点 按顺时针方向旋转 角得直线 ， 求直线 和 的点斜式方程. B层 能力提升练 7.直线 恒过定点( ) B A. B. C. D. 8.（多选题）已知等边三角形 的两个顶点 ， ，则 边所在直线的 方程可能是( ) BC A. B. C. D. 9.在等腰三角形 中， ， ， ，点 在 轴的正半轴上，则直 线 的点斜式方程为( ) D A. B. C. D. 23 10.方程 表示的直线可能是图中的( ) B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 .当 时，斜率 ， 在 轴上的截距 ，则直线 过第一、二、三象限，四个选项都不符合； 当 时，斜率 ，在 轴上的截距 ，则直线 过第二、三、四 象限，仅有选项B符合.故选B. 24 11.[2023无锡质检] 若直线 经过点 ，且在 轴上的截距的取值范围是 ， 则其斜率 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 如图， 取点 ， , 则 ， 因为直线 与线段 相交（不与点 , 重合），所以 或 故 选A. 25 12.（多选题）已知直线 过点 ，且与 轴和 轴围成一个内角为 的直角三角 形，则满足条件的直线 的方程可以是( ) ABC A. B. C. D. [解析] 由题意，直线 的倾斜角可以是 或 或 或 ，所以直线 的斜率 或 或 或 ，所以直 线 的方程可以为 或 或 或 ，由 ，整理得 ，此时直线过原点，无法与 轴和 轴围成直角三角形.故选 . 26 13.已知 ， ，若点 在线段 上，则 的最小值为( ) A A. B.3 C.7 D.8 [解析] 直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ， 即 所以线段 的方程为 ，所以 ，因此， 的最小值为 .故选A. 27 14.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，过点 作直线 分别与 轴正半轴、 轴正半轴交于点 ， .求 面积的最小值及此时直线 的方程. 解 因为点 在第一象限，且直线 分别与 轴正半轴、 轴正半轴相交，所以直 线 的斜率 ，则设直线 的方程为 ， ， 令 ，得 ；令 ，得 ，所以 . 因为 ，所以 , ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.所以 面积的最小值为6.此时直线 的方程 为 ，即 . 28 C层 拓展探究练 15.有一根蜡烛,点燃 后，蜡烛长为 ；点燃 后，蜡烛长为 . 已知蜡烛长度 与燃烧时间 可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽 共耗时____ . 35 [解析] 根据题意，不妨设直线方程为 ，则 解得 所以直线方程为 ，当 时，即 ，解得 ，所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 . 29 （1）若 ， 的交点坐标为 ，同时 过点 ， 过点 ，求出 ， 满足的关系； 解 依题意直线 ，直线 ， 又 过 ，所以 且 ，即 且 .又 过 ，所以 且 ，即 且 . 若选①，则 ，所以 ，即 且 ， ； 若选②，则 ，所以 ，即 且 ， . 16.若两条相交直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，斜率均存在，分别为 ， ，且 ，若 ， 满足___（从 , 两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答）. 30 （2）在（1）的条件下，若直线 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单 位长度，仍在该直线上，求实数 ， 的值. 直线 ，将直线 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长 度得到直线 ，即 ，所以 ，解得 ，此时直线 ，所以 ， 解得 . 若选①，则 ，此时直线 ，所以 ，解得 ； 若选②，则 ，此时直线 ，所以 ，解得 . 31 $$