1.2.1 直线的点斜式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“直线的点斜式与斜截式方程”核心知识点，从确定直线位置的几何要素（点和斜率）切入，系统梳理方程推导过程，明确点斜式（过定点、已知斜率）和斜截式（斜率与y轴截距）的适用条件及区别，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 资料以射击手托枪位置与瞄准方向为情境引入，引导学生抽象出直线的点和斜率要素，培养数学抽象能力。通过“想一想”辨析截距与距离等概念，发展逻辑推理素养。题型分层设计并附规律总结，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.1　直线的点斜式方程 课标 要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程（数学抽象、数学运算）. 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题（数学运算、逻辑推理）. 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，结合教材，试从数学角度分析子弹是否会命中目标. 【问题】　（1）情境中托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？ （2）眼睛瞄准的方向对应的是哪个几何要素？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点　直线的点斜式与斜截式方程 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l经过点P1（x1，y1），斜率为k y－y1＝　k（x－x1）　 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距） y＝　kx＋b　 提醒：当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示. 【想一想】 1.若直线的倾斜角为0°，且经过点P0（x0，y0），能用点斜式表示吗？ 提示：能. 2.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？ 提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0. 3.直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？ 提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一次函数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k（x－x0）.（　×　） （2）x轴所在的直线方程为x＝0.（　×　） （3）直线在y轴上的截距不能等于0.（　×　） （4）直线的点斜式方程也可写成＝k.（　×　） 2.经过点（－2，2），倾斜角是60°的直线方程是（　　） A.y＋2＝（x－2）　　　 B.y－2＝（x＋2） C.y－2＝（x＋2） D.y＋2＝（x－2） 解析：B　因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率为tan 60°＝，又经过点（－2，2），则所求直线方程为y－2＝（x＋2），故选B. 3.已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是－3，则此直线的方程是（　　） A.y＝2x－3 B.y＝2x＋3 C.y＝－2x－3 D.y＝－2x＋3 解析：A　根据直线的斜截式方程得，直线方程为y＝2x－3.故选A. 题型一　直线的点斜式方程 （链接教科书第12页例1）写出下列直线的点斜式方程： （1）直线经过点（－1，1），且斜率为1； 解：因为直线的斜率为1，又过点（－1，1），所以该直线方程为y－1＝x＋1. （2）经过点（2，5），倾斜角为45°； 解：因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. （3）经过点D（1，1），且与x轴垂直. 解：由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线无点斜式方程. 规律方法 求直线的点斜式方程的思路 1.已知直线的方程为y＋3＝－（x－1），则（　　） A.该直线过点（－1，－3），斜率为－1 B.该直线过点（－1，－3），斜率为1 C.该直线过点（1，－3），斜率为－1 D.该直线过点（1，－3），斜率为1 解析：C　因为直线方程为y＋3＝－（x－1），所以直线的斜率为－1，且当x＝1时，y＝－3，故直线过点（1，－3），故选C. 2.直线y＝x＋1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程. 解：直线y＝x＋1的斜率k＝1， 所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1. 所以直线l的方程为y－4＝－（x－3）. 题型二　直线的斜截式方程 （链接教科书第12页例2）根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； 解：由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； 解：由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2. （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 规律方法 对直线斜截式方程的理解 （1）斜截式是点斜式的一种特殊情形，即斜率为k的直线过点（0，b）； （2）直线在y（x）轴上的截距不是距离，它是直线与y（x）轴交点的纵（横）坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数； （3）求直线的斜截式方程，只要确定直线的斜率和截距即可. 根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）过点A（－1，－2），B（0，3）； 解：斜率k＝＝5，又B（0，3），故过点A，B的直线的斜截式方程为y＝5x＋3. （2）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°. 解：与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直线的斜截式方程为y＝±x－6. 题型三　直线方程的应用 （链接教科书第20页习题12题）（1）已知直线y－1＝k（x－3），当k变化时，所有的直线恒过定点（　C　） A.（1，3）　　　　　　　　 B.（－1，－3） C.（3，1） D.（－3，－1） 解析：直线y－1＝k（x－3），由点斜式方程可知不论k取何值它所表示的所有的直线都恒过定点（3，1）.故选C. （2）若斜率为k的直线l经过点P（4，1），且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，则k＝　－　. 解析：由题意可知直线l的方程为y－1＝k（x－4）且k＜0，当x＝0时，y＝1－4k＞0；当y＝0时，x＝4－＞0.则×（1－4k）×（4－）＝8，解得k＝－. 规律方法 1.解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k（x－x0）的形式，则表示的直线必过定点（x0，y0）. 2.在求面积时，要注意将截距转化为距离. 1.直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（　　） A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0 解析：B　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0. 2.已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），A＝60°，B＝45°，试用直线方程表示下列直线. （1）AB边所在直线； （2）AC边和BC边所在的直线. 解：（1）如图所示，因为A（1，1），B（5，1），所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1. （2）因为A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的点斜式方程为y－1＝（x－1）. 因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的点斜式方程为y－1＝－（x－5）. 1.（2026·徐州质检）直线y＝－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（　B　） A.k＝3，b＝6 B.k＝－3，b＝－6 C.k＝－3，b＝6 D.k＝3，b＝－6 2.已知直线的倾斜角为120°，且过点（0，2），则此直线的方程为（　　） A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 解析：B　∵直线的倾斜角α＝120°，∴直线的斜率k＝tan 120°＝－，∴直线方程为y－2＝－x，整理得y＝－x＋2. 3.已知直线方程为y＋5＝x－2，则直线的倾斜角为　　，在y轴上的截距是　－7　. 解析：直线方程y＋5＝x－2可化为y＝x－7，所以直线的斜率为1，即倾斜角为，直线在y轴上的截距为－7. 4.求斜率为，且与坐标轴围成的三角形的周长是12的直线l的方程. 解：由已知直线的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b. 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b. 由题意，得｜b｜＋｜－b｜＋＝12. 所以｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝12，解得b＝±3. 所以所求直线方程为y＝x±3. 1.经过点（3，1），且斜率为的直线方程为（　　） A.x－2y－1＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x－y－5＝0 D.2x＋y－7＝0 解析：A　由点斜式方程可得y－1＝（x－3），整理可得x－2y－1＝0.故选A. 2.直线y＝ax＋1的倾斜角为120°，则实数a的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：D　因为直线y＝ax＋1的倾斜角为120°，所以直线的斜率为a＝tan 120°＝－，故选D. 3.（2026·盐城月考）方程y＝k（x－2）表示（　　） A.经过点（－2，0）的所有直线 B.经过点（2，0）的所有直线 C.经过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线 D.经过点（2，0）且除去x轴的所有直线 解析：C　易验证直线经过点（2，0），又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴. 4.已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（　　） A.y＝x＋1 B.y＝－x＋5 C.y＝3 D.x＝2 解析：D　因为直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，可知直线l与x轴垂直，所以直线l的方程为x＝2.故选D. 5.（2026·连云港月考）斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍，且在y轴上的截距是－2的直线方程是（　　） A.x＝－2 B.y＝x－2 C.y＝x＋2 D.y＝x＋2 解析：B　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线的斜截式可得方程为y＝x－2. 6.若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－a，－b）位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C. 7.〔多选〕在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（　　） A.每一条直线都有点斜式方程 B.方程k＝与方程y＋1＝k（x－2）可以表示同一条直线 C.直线l过点P0（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x＝x0 D.直线l过点（2，0），倾斜角为45°，则其方程为y＝x－2 解析：CD　点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故A错误；点（2，－1）不在方程k＝所表示的直线上，故B错误；C显然正确；D中直线l的斜率k＝tan 45°＝1，由点斜式可得其方程为y－0＝x－2，即y＝x－2，故D正确. 8.不管k为何值，直线y＝k（x－2）＋3必过定点　（2，3）　. 解析：化为点斜式为y－3＝k（x－2），故直线必过定点（2，3）. 9.（2026·南通质检）将直线y＝x＋－1绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是　y＝x　. 解析：直线y＝x＋－1的倾斜角是45°，逆时针方向旋转15°后倾斜角为60°，斜率是，则方程是y－＝（x－1），即y＝x. 10.求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点（，－1）； （2）在y轴上的截距是－5. 解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， ∴其倾斜角α＝120°， 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. （1）∵所求直线经过点（，－1），斜率为， ∴所求直线方程是y＋1＝（x－）. （2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y＝x－5. 11.若y＝a｜x｜与y＝x＋a（a＞0）有两个公共点，则a的取值范围是（　　） A.a＞1 B.0＜a＜1 C.a＝1 D.0＜a≤1 解析：A　y＝x＋a（a＞0）表示斜率为1，在y轴上的截距为a（a＞0）的直线，y＝a｜x｜表示关于y轴对称的两条射线.所以当0＜a≤1时，只有一个公共点，如图1；当a＞1时，有两个公共点，如图2. 12.〔多选〕对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是（　　） A.直线l恒过定点（1，0） B.直线l的斜率可以不存在 C.当m＝时，直线l的倾斜角为60° D.当m＝2时，直线l在y轴上的截距为 解析：AB　对于A，在直线l：x＝my＋1中，令y＝0，则x＝1，所以直线l过定点（1，0），故A正确；对于B，当m＝0时，直线l：x＝1，此时直线l的斜率不存在，故B正确；对于C，当m＝时，直线l：x＝y＋1，所以直线l的斜率为，倾斜角为30°，故C错误；对于D，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，令x＝0，得y＝－，即直线l在y轴上的截距为－，故D错误.故选A、B. 13.直线l经过点A（－1，1），在x轴上的截距的取值范围是（－2，1），则其斜率的取值范围为　（－∞，－）∪（1，＋∞）　. 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－1＝k（x＋1），令y＝0，得x＝－－1，故直线在x轴上的截距为－－1，令－2＜－－1＜1，得k＞1 或k＜－. 14.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. （1）求证：直线l过定点； （2）当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 解：（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点（－2，1）. （2）设函数f（x）＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线，当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是{k｜－≤k≤1}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $