1.2.2 直线的两点式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.2.2 直线的两点式方程 【课标要求】 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程与截距式方程. 2.会利用直线的两点式方程与截距式方程解决有关问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.直线的两点式方程 已知直线 过两点 , （其中 , ），此时直线的位 置是确定的，也就是直线的方程是可求的.当 时，所求直线的斜率 . 任取 , 中的一点，例如取 ，由点斜式方程，得 ，当 时，可写为 ，这个方程叫作直线的 两点式方程. 名师点睛 与坐标轴垂直的直线不能用直线的两点式表示，但如果将上述方程变形为 ，则可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直 线. 4 知识点2.直线的截距式方程 已知直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，如图，其中 , . 将两点 ， 的坐标代入两点式，得 ，即 ，这个方 程叫作直线的截距式方程. 5 名师点睛 由截距式方程可知，只有在 轴、 轴上的截距都存在且不为0的直线才能用截距式表示，因此，过原点的直线、与 轴垂直的直线、与 轴垂直的直线不能用截距式表示. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】直线的两点式方程 例1 已知 的三个顶点分别为 ， ， . （1）求边 所在直线的方程； 解 由两点式得，边 所在直线的方程为 ，即 ． （2）求边 上的中线 所在直线的方程. 由题意得，点 的坐标为 . 由两点式得， 所在直线的方程为 ，即 ． 8 规律方法 利用两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求直线方程.在斜率存在的情况下，也可以先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 9 跟踪训练1 已知 的三个顶点分别是 ， ， ，求 三边所在直线的方程. 解 如图，直线 过点 ， ，其两点式 方程为 ，整理得 ，这就是边 所在直线的方程．直线 垂直于 轴，故边 所在 直线的方程为 ．直线 平行于 轴，故边 所在 直线的方程为 ． 10 【题型二】直线的截距式方程 例2 求过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 的方程. 解 ①当直线 在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0时，可设直线 的方程为 ．又直线 过点 ，所以 ，解得 ，所以直线 的方程 为 ，即 ②当直线 在两坐标轴上的截距均为0时，直线 过原点，设直线 的方程为 .因 为直线 过点 ，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 ． 综上，直线 的方程为 或 ． 11 题后反思 应用直线的截距式方程的注意事项 （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，那么可以考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及直线是否与坐标轴垂直. 12 跟踪训练2 求过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程. 解 ①当截距不为0时，设直线 的方程为 .又直线 过点 ，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ． ②当截距为0时，设直线 的方程为 .又直线 过点 ，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 ． 综上，直线 的方程为 或 ． 13 【题型三】直线的截距式方程的应用 例3 直线过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点， 是否存在这样的直线同时满足下列条件：（1） 的周长为12.（2） 的面 积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 解 设直线方程为 ， 若满足条件（1），则 .又因为直线过点 ，所以 ． 14 由①②可得 ，解得 或 所以所求直线的方程为 或 ，即 或 ． 若满足条件（2），则 . 由题意，得 ， 由③④可得 ，解得 或 所以所求直线的方程为 或 ，即 或 ． 综上，存在同时满足 两个条件的直线,其方程为 ． 题后反思 本题主要考查了直线的截距式方程的应用，解答中涉及直线与坐标轴围成的三角形的面积和三角形的周长问题，以及方程组的求解等知识点的综合应用，熟记直线的截距式方程是方程组顺利求解的关键. 16 跟踪训练3 过点 作直线 ，直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为原点. （1）若 的面积为9，求直线 的方程； 解 设 ， ，其中 ， ，则由直线的截距式方程，得直线 的方 程为 ．将点 的坐标代入直线 的方程，得 依题意，得 ，即 ，所以 ，从而 ，所以 ，整理得 ，解得 ， ，因此直线 的方 程为 或 ，整理得 或 ． 17 （2）若 的面积为 ，求 的最小值，并求出此时直线 的方程. 根据题意，结合（1）得， ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，因此直 线 的方程为 ，即 18 成果验收•课堂达标检测 19 A层 基础达标练 1.经过点 , 的直线在 轴上的截距为( ) D A.2 B. C. D.27 2.有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程 也可写成 ； ③过点 ， 的直线可以表示成 . 其中正确说法的个数为( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 20 3.若直线 的横截距与纵截距都是负数，则( ) B A.直线 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B.直线 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C.直线 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D.直线 的倾斜角为钝角且不过第三象限 4.[2023海门月考] 过点 且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________ ______________. <m></m> 或 <m></m> 5.已知两点 ， ，则直线 的方程为_ ___________________________. <m></m> 或 <m></m> 21 6.若直线 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线 的方程. 解 因为直线 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线 在两坐标轴上的截距 相等或互为相反数且不为0. 若 在两坐标轴上的截距相等，且设为 ，则直线方程为 ，即 . 因为 ，即 ，所以 ，所以直线方程为 . 若 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在 轴上的截距为 ，则在 轴上的截距 为 ，故直线方程为 ，即 . 因为 ，即 ，所以 ，所以直线方程为 .综 上，直线 的方程为 或 . 22 B层 能力提升练 7.在 中，已知点 ， ，且 边的中点 在 轴上， 边的中 点 在 轴上，则直线 的方程为( ) A A. B. C. D. 8.两条直线 与 在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的( ) B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 9.（多选题）经过点 ,且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是 ( ) AC A. B. C. D. 23 10.[2023靖江质检] 光线从点 射出，到 轴上的点 后，被 轴反射到 轴上 的点 ，又被 轴反射，这时反射线恰好过点 ，则 所在直线的方程是 ( ) A A. B. C. D. [解析] 根据题意，作出如图所示的光线路径，则点 关于 轴的 对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，则 所 在直线的方程即为 所在直线的方程，由两点式方程，得 所在 直线的方程为 ，整理得 故选A. 24 11.已知直线 过点 ，在 轴和 轴上的截距分别为 ， ，且满足 ， 则直线 的方程为_ __________________________. <m></m> 或 <m></m> [解析] 若 ，则直线 过原点 ， 此时直线 的斜率 ，直线 的方程为 . 若 ，设直线 的方程为 ，即 .因为点 在直线 上，所以 ,解得 ，所以直线 的方程为 ，即 . 综上，所求直线 的方程为 或 . 25 12.已知直线 与 轴、 轴所围成的图形的面积为 ，则直线 的方程可以是________ ______________________. <m></m> （答案不唯一） [解析] 若直线 与 轴、 轴所围成的图形的面积为 ，则只需满足直线 在 轴、 轴上的截距之积的绝对值为 即可，则直线 在 轴、 轴上的截距可以为1和 ，则 直线 的方程可以为 ，即 （答案不唯一）. 26 13.已知 ， ， 是直线 上一动点，则 的最大值为___. 3 [解析] 易求得直线 的方程为 ，因为 在直线 上，所以 ，所以 ，当 时， 取得最大值，最大值为3. 27 14.已知直线 经过点 ， ， ，则直线 能否同时经过点 和点 ？若能，求出 的值；若不能，请说明理由. 解 由题意，可得直线 的两点式方程为 ，整理得 .若直 线 经过点 ，则有 ，即 ，解得 或 .若直线 经过点 ，则有 ，即 ，方 程无实数根.综上可知，直线 能经过点 ，此时 或 ，不能经过点 .所以 直线 不能同时经过点 和点 . 28 15.过点 作直线 . （1）若直线 在 轴上截距是在 轴上的截距的2倍，求直线 的方程. 解 由题意可知直线 的斜率存在，当直线 在坐标轴上的截距为零时，设直线 为 ，因为 在直线 上，所以 ，得 ，所以直线 的方程为 ，即 当直线 在坐标轴上的截距不为零时，设直线 的方程为 ，因为 在直线 上，所以 ，解得 ，所以直线 的方 程为 ，即 .综上，直线 的方程为 或 . 29 （2）若直线 分别交 轴、 轴的正半轴于点 , . ①当 为 中点时，求直线 的方程； 设 , ，则直线 的方程为 . 因为 为 中点，所以 , ，解得 , ，则直线 的方程为 ，即 30 ②设 是坐标原点，当 的面积最小时，求直线 的方程. 设 , ，则直线 的方程为 .因为 在直线 上， 所以 . 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 ，当且仅当 , 时等号成立，所以直线 的方程为 ， 即 . 31 C层 拓展探究练 16.[2023镇江调研] 在平面直角坐标系中，方程 所表示的曲线是( ) C A.两条平行线 B.一个矩形 C.一个菱形 D.两条相交直线 [解析] 当 , 时，方程为 ；当 , 时，方程为 ； 当 , 时，方程为 ；当 , 时，方程为 . 因此，原方程所表示的曲线是一个以 ， ， ， 为顶点的菱形. 故选C. 32 17.过点 作直线 ，若直线 经过点 , ，且 ， ，求直线 的条数. 解 因为直线 过点 和 ，所以可设直线 的方程为 .因为直线 过点 ，所以 ，即 因为 ， ，所以当 时，直线和 轴垂直，和 轴无交点，直线不过 点 ，故 时不满足条件； 当 时， 当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ； 当 时，由①知，满足条件的正整数 不存在. 综上，满足条件的直线有4条. 33 $$