1.3 两条直线的平行与垂直（第2课时 两条直线垂直）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.3 两条直线的平行与垂直 第2课时 两条直线垂直 【课标要求】 1.理解两条直线垂直的条件. 2.能根据斜率判定两条直线垂直. 3.能利用两条直线垂直的条件解决问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.两条直线垂直与斜率之间的关系 对应 关系 与 的斜率都存在,分别为 , , 则 与 中的一条斜率不存在,另一条斜率为0,则 与 的位置关系是 图示 名师点睛 “两条直线的斜率之积等于 ”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条 直线垂直时,除了斜率之积等于 ,还有可能是一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率 不存在. 4 知识点2.垂直直线系方程 与直线 , 不全为0 垂直的直线系方程是 是参变量 . 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】两条直线垂直的判定 例1 判断下列直线 与 是否垂直. （1） 的斜率为 ， 过点 ， ； 解 因为 ，又 ，所以 ，所以 ． （2） 的倾斜角为 ， 过 ， 两点； 因为 的倾斜角为 ，所以 . 又因为 ，所以 ，所以 ． 7 （3） 过 ， 两点， 过 ， 两点. 因为 ， ，所以 ，所以 ． 8 规律方法 使用斜率公式判定两条直线垂直的步骤 （1）看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若 不相等，则进行第二步. （2）用，就是将点的坐标代入斜率公式. （3）求值，计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率 公式时要对参数进行讨论. 总之， 与 一个斜率为0，另一个斜率不存在时， ； 与 斜率都存在 时，满足 . 9 跟踪训练1 判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： （1） ， ； 解 因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，直线 的 斜率为 .因为 ，所以直线 与直线 垂直． （2） ， ； 因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .因为 ，所以直线 与直线 垂直． 10 （3） ， ； 因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .因为 ，所以直线 与直线 不垂直 ． （4） ， . 因为 ， ，所以直线 与直线 平行，不垂直． 11 【题型二】由直线垂直求参数 例2 [2023启东月考] 已知直线 ， .请从以下 三个条件中选出两个求实数 ， 的值. ； ； . 解 （1）若选条件①和②，即 和 .由 ，得 ， 即 .当 时， ， ， 与 不垂直；当 时， ， ， 与 不垂直.故 且 ，得 .又 ， ， ，所以 ， 解得 ，则 ． 12 （2）若选条件①和③，即 和 .由 ，得 ，当 时， ， ， 与 不平行；当 时， ， ， 与 不平行.故 且 ，则 ，解得 或 ，故 或 ， 即 或 （3）若选条件②和③，即 和 ，根据两条直线的位置关系，可得 和 不可能同时成立，此时无解． 题后反思 由直线垂直求参数，先看斜率不存在或斜率为0的情况；若直线的斜率都存在，则利用两条直线的斜率之积为 ，列方程求解. 14 跟踪训练2 （多选题）直线 过点 , ,直线 过点 , .若 ,则 的值可以是( ) AC A. B. C.3 D.4 15 【题型三】由垂直关系求直线方程 例3（1） 过点 且与直线 垂直的直线的方程是( ) B A. B. C. D. [解析] 由题意可知，设所求直线的方程为 ，将点 代入直线方程 中，得 ，解得 ，所以所求直线的方程为 ，即 ．故选B． 16 （2）已知直线 ，其中 ， 不全为0，且直线 ，求证：直线 的方程总可以写成 . 证明 由题意，直线 ，其中 ， 不全为0，且直线 ，当 ， 时，直线 可化为 ，可得直线 的斜率为 ，所以直 线 的斜率为 ，所以直线 的方程可以写成 ；当 ， 时，直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，即 ； 当 ， 时，直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，即 .综上，直线 的方程总可以写成 ． 17 规律方法 与已知直线垂直的直线的求法 （1）若直线 的斜率存在且不为0，与已知直线 垂直，则可设直线 的 方程为 ,然后利用待定系数法求参数 ，从而求出直线 的方程. （2）若直线 与已知直线 垂直，则可设直线 的方程为 ，然后利用待定系数法求参数 ，从而求出直线 的方程. 18 跟踪训练3 设直线 过定点 ，则过点 且与直线 垂直的直线方程为_ __________. <m></m> 19 成果验收•课堂达标检测 20 A层 基础达标练 1.若经过点 和 的直线 与斜率为 的直线互相垂直，则 的值是 ( ) A A.2 B. C. D.4 2.以 ， 为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A A. B. C. D. 3.[2023靖江质检] 已知直线 与直线 垂直， 则 ( ) D A.3 B.1或 C. D.3或 4.已知直线 过点 且与直线 垂直，则 的方程是( ) B A. B. C. D. 21 5.已知 ， ， ， 四点，若顺次连接 ， ， ， 四点， 则四边形 的形状是( ) D A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形 6.直线 ， ，则“ ”是“ ”的 ( ) B A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 22 7.已知直线 过点 ，且与直线 垂直，其中 ， 不全为0， 求证：直线 的方程为 . 证明 由直线与 垂直可得所求直线的方程为 .因为直线 过点 ，所以 ,即 ,所以直线 的方程为 ,即 23 B层 能力提升练 8.[2023常州月考] 若原点在直线 上的射影是 ，则直线 的方程为( ) C A. B. C. D. 9.已知等腰直角三角形 的斜边所在的直线是 ，直角顶点是 ，则两条直角边 ， 的方程是( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 24 10.[2023长沙调研] 已知直线 ， 互相垂直，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 25 11.若 ， ， 分别是 的三个内角 ， ， 的对边，则直线 与直线 的位置关系是( ) C A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定 [解析] 易知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 . 在 中，由正弦定理，得 ，所以 ，所以两条直线垂 直.故选C. 26 12.已知点 ， ， .若 为直角三角形，则必有( ) C A. B. C. D. [解析] 若点 为直角顶点，则点 在 轴上，则 必为0，此时点 ， 重合，不符 合题意； 若点 为直角顶点，则 ； 若点 为直角顶点，根据斜率关系可知 ，所以 ， 即 .以上两种情况皆有可能，所以必有 成立. 故选C. 27 13.[2023扬州测试] 若三条直线 ， 和 围成直角三角形，则 _ _________. <m></m> 或 <m></m> 28 14.已知直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的3倍，且直线 与 垂直， 则直线 的斜率为_ ____. <m></m> [解析] 因为直线 ,所以直线 的斜率为 .设 ， 的倾斜角分别为 ， ，则 ， 所以 . 因为直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的3倍,所以 ， 所以 ，所以直线 的斜率 .设直 线 的斜率为 ,因为直线 与 垂直，所以 ，所以 .所以直 线 的斜率为 . 29 15.已知 的顶点 ， ，其垂心为 ，求顶点 的坐标. 解 设 ，因为点 为 的垂心，所以 ， . 又 ， ， ， , 由 解得 所以点 的坐标为 . 30 16.如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长 ，宽 ，其中一条小路定为 ，另一条小路过点 ， 问如何在 上找到一点 ，使得两条小路所在的直线 与 互相垂 直？ 31 解 如图，以点 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系. 由 ， ，可得 ， ， . 设点 的坐标为 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，解得 ， 即当 时，两条小路所在的直线 与 互相垂直. 32 C层 拓展探究练 17.过坐标原点 作直线 的垂线，垂足为 ，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 33 18.在平面直角坐标系中，已知矩形 的长为2，宽为1，边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点 落在线段 上.若折痕所 在直线的斜率为 ，求折痕所在的直线方程. 解 因为折叠的过程中，点 落在线段 上，特别地，如果折叠后 重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点 和对折后的对 应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线方程. 当 时，点 和点 重合，折痕所在的直线方程为 . 当 时，如图，将矩形折叠后点 落在线段 上的点设为 ， 则点 与点 关于折痕所在的直线对称，由 34 ，即 ，解得 ，故 ，所以折痕所 在的直线与 的交点坐标为 , ，所以折痕所在的直线方程为 ，即 .综上，折痕所在的直线方程为 . $$