1.4 两条直线的交点课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.4 两条直线的交点 【课标要求】 掌握两条直线位置关系中相交的几何意义，能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.两条直线的交点 已知两条不重合的直线 （ , 不全为0）， （ , 不全为0），如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 和 的交点. 4 知识点2.两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系 直线 与 的位置关系 相交 重合 平行 直线 与 的公共点 一个 无数个 零个 方程组 的解 一组 无数组 无解 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】求直线的交点 例1 分别判断下列直线 与 的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. （1） , ; 解 解方程组 得 所以交点坐标为 ,所以 与 相交. （2） , ; 解方程组 得有无数组解,故 与 重合. 7 （3） , . 解方程组 ，得 ,矛盾,方程组无解,故两条直线无公共点, 与 平行. 题后反思 将两条直线的方程联立，可得方程组 若方程组有唯一解，则 两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两 条直线平行；若方程组有无数组解，则两条直线重合. 8 跟踪训练1 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： （1） ， ； 解 联立 与 的方程，得 解得 所以 与 相交，其交点坐标为 ． （2） ， ； 解 化为 ，与 重合． 9 （3） ， . 解 化为 ， 化为 ， 所以两条直线的斜率相等而在 轴上的截距不相等，所以 ． 10 【题型二】由直线相交求参数 例2 [2023通州月考] 若三条直线 , , 能围成三角形，求 满足的条件. 11 解 为使三条直线能围成三角形，需三条直线两两相交且不共点． （1）若 与 平行或重合，则由 ，得 ． （2）若 与 平行或重合，则由 ，得 ． （3）若 与 平行或重合，则由 ，得 ．当 时， ， 与 三线重合，当 时， 与 平行． （4）若三条直线交于一点， 由 得 将 ， 的交点 的坐标代入 的方程，解得 （舍去）或 ,所 以要使三条直线能围成三角形，需 且 ． 12 题后反思 由直线相交求参数，要根据题目的要求分析直线的位置关系后再求解. 跟踪训练2 [2023泰州调研] 三条直线 ， ， 不能围成三角形，则 的取值集合是_ ________. <m></m> [解析] 由于三条直线 ， ， 不能围成三 角形， 则直线 与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点． （1）直线 与直线 平行，则 ，解得 . 13 （2）直线 与直线 平行，则 ，解得 . （3）若三条直线交于一点，联立 解得 所以直线 ， 交于点 .由题意可知，点 在直线 上，则 ，解得 ．因此，实数 的取值集合为 ． 14 【题型三】直线交点系方程及应用 例3 直线 过原点，且过直线 与直线 的交点，求直线 的方程. 解 因为直线 不过原点，所以过直线 与直线 的交点的直线 的方程可设为 ． 把原点 的坐标代入，得 ，解得 ，所以所求的直线 的方程为 15 题后反思 过两条已知直线 和 交点的直线系方 程为 （ ,这个直线系不包括直线 ，解题时注意检验 是否满足题意）. 跟踪训练3 过两直线 和 的交点和原点的直线方程 为_ ____________. <m></m> 16 成果验收•课堂达标检测 17 A层 基础达标练 1.直线 和 的交点坐标为( ) C A. B. C. D. 2.（多选题）两条直线 与 的交点坐标就是方程 组 的实数解，下列说法正确的是( ) ABC A.若方程组无解，则两直线平行 B.若方程组只有一解，则两直线相交 C.若方程组有无数多解，则两直线重合 D.方程解的个数与直线位置无关 3.[2023泰州月考] 若三条直线 ， ， 交于一点， 则 ( ) C A. B.2 C. D. 18 4.（多选题）两条直线 与 的交点在 轴上，那 么 的值为( ) BC A. B.6 C. D.0 5.若直线 与直线 的交点在第一象限内，则实数 的取值范围是_ _______. <m></m> , <m></m> 19 6.[2023宿迁检测] （1）求经过两直线 和 的交点且与直线 平行的直线 的方程； 解 依题意，由 解得 所以交点为 ， . 因为直线 与直线 平行，所以直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 20 （2）求经过两直线 和 的交点 ，且与直线 垂直的直线 的方程. 解 方法一 解方程组 得 . 因为直线 的斜率为 ，且 ，所以直线 的斜率为 ，由斜截式可知 的方程 为 ，即 方法二 设直线 的方程为 ， 即 . 因为 ，所以 ，解得 ， 所以直线 的方程为 . 21 7.[2023如皋月考] 直线 经过两条直线 和 的交点，且___. （1）求直线 的方程； 22 解 若选条件①， 联立 解得 即直线 与直线 的交点坐标为 . 设直线 的方程为 ，将点 代入直线 的方程，得 ， 解得 . 所以直线 的方程为 . 若选条件②， 联立 解得 即直线 与直线 的交点坐标为 . 因为直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 经过点 ， 所以直线 的斜率 ， 所以直线 的方程为 ，即 （2）求直线 与坐标轴围成的三角形面积. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答. ①与直线 垂直； ②直线 在 轴上的截距为 . 解 在直线 的方程 中， 令 ，得 ；令 ，得 ， 所以直线 与 轴的交点坐标为 , ，与 轴的交点坐标为 ， 所以直线 与坐标轴围成的三角形面积为 . 24 B层 能力提升练 8.曲线 与 的交点的情况是( ) A A.最多有两个交点 B.两个交点 C.一个交点 D.无交点 9.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点，称为整点.设 为整数，当直线 与直线 的交点为整点时， 的值可以取( ) A A.8个 B.9个 C.7个 D.6个 10.[2023南通质检] 若三条直线 ， 与 共有 两个交点，则实数 的值为( ) C A.1 B. C.1或 D. 25 11.若直线 与直线 的交点位于第二象限，则直线 的倾斜角 的取值范围是( ) D A. B. C. D. [解析] 联立方程组 解得 因为两直线的交点位于第二象限，所以 且 ，解得 . 设直线 的倾斜角为 ，其中 ，即 ，解得 ， 即直线 的倾斜角的取值范围是 , .故选D. 26 12.[2023苏州调研] 若曲线 及 能围成三角形，则 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. [解析] 曲线 由两条射线构成，它们分别是射线 , 及射线 , . 因为方程组 的解为 ，所以射线 , 与直线 有一个交点. 若曲线 及 能围成三角形，则方程组 必有一个解， 故 ，因此 .故选C. 27 13.如果三条直线 ， 和 将平面分为六个部分， 那么实数 的取值集合为_ __________. <m></m> [解析] 若三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线将平面分为七个部分； 如果这三条直线将平面分为六个部分，那么包括两种情况能够成立， ①是直线 过另外两条直线的交点， 由直线 和 的交点是 ，代入解得 . 28 ②是直线 与另外两条直线平行， 当直线 和 平行时，只需 ，解得 ；当直线 和 平行时，只需 ，解得 . 综上， 的取值集合是 . 29 14.[2023太仓调研] 已知直线 ， 相交于点 ，其中 . （1）求证： ， 分别过定点 ， ，并求点 ， 的坐标. 证明 在直线 的方程中，令 可得 ，则直线 过定点 ；在直线 的方程中，令 可得 ，则直线 过定点 . 30 （2）当 为何值时， 的面积 取得最大值？并求出最大值. 解 联立直线 ， 的方程 解得 即点 , , 则 ， . 因为 ，所以 . 因为 且 ，所以当 时， 取得最大值，即 . 31 $$