1.5.1 平面上两点间的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.5.1 平面上两点间的距离 【课标要求】 1.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离. 2.利用平面内两点间的距离公式及意义，解决与之相关的平面几何问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.两点间的距离公式 平面上 , 两点间的距离公式 . 4 知识点2.几何问题与代数问题间可相互转化 形如 的式子可以理解为 , 两点间的距离，则求解与 有关的代数问题可转化为几何问题. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】两点间距离公式的简单运用 例1 [2023徐州调研] 如图，已知 的三个顶点分别为 ， ， . （1）试判断 的形状； 解 根据两点间的距离公式，得 ， ， ， ， 即 ，所以 是直角三角形． 7 （2）设 为 的中点，求 边上中线的长. 依题意，线段 的中点 ， ，所以 边 上中线的长为 ． 题后反思 平面上两点间距离公式的应用 （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式,建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解. （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，若边长相等，则可能是等腰或等边三角形；若满足勾股定理，则是直角三角形. 8 跟踪训练1 已知平行四边形 的三个顶点的坐标为 ， ， . （1）求顶点 的坐标； 解 因为 ， ，所以 的中点为 ，该点也为 的中点.设 ， 由 得 所以 ． 9 （2）求平行四边形 的面积. ， 同理 ， . 因为 ，所以 ， 所以平行四边形 是矩形，所以四边形 的面积 ． 10 【题型二】坐标法及其运用 例2 已知 是 的边 的中线，用坐标法证明 . 证明 如图，取 边所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平 面直角坐标系． 设 ， ， （其中 ），则 ， ，所以 ，得证． 11 规律方法 坐标法解决问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； （3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论； （4）反演回去，得到几何问题的结论. 也可简记为： 12 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 ， ，则 的中 点 的坐标为 ． 因为 ， ， ， 所以 ，即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等． 跟踪训练2 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等. 13 【题型三】两点间距离公式的综合运用 例3 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点 与点 之间的距离，结合上述观点，求 的最小值. 14 解 设 ，则 ，所以 的几何意义 为点 与两定点 ， 之间的距离之和． 如图，设点 关于 轴的对称点为 ，则点 的坐标为 ， 则 ， .要求 的最小值，即求 的最小值，又 ，故 的最小值为 ． 15 题后反思 本题巧妙地使用了两点间的距离公式,从而化为几何最值问题.平面上 ， 两点间的距离 ，若给出两点坐标，用此公 式很容易得到两点间的距离；若如本例给出 ，能够联 想到两点间的距离公式，这需要在掌握知识的“直用”的同时也要会“逆用”. 跟踪训练3 [2023常州检测] 设 ， ，则 的最小值为_____. <m></m> 16 成果验收•课堂达标检测 17 A层 基础达标练 1.已知 ， ，则 等于( ) A A.5 B. C. D.4 2.点 关于 轴的对称点 到原点的距离为 ( ) C A.2 B.1 C. D.5 3.[2023新海月考] 设点 在 轴上，点 在 轴上， 的中点是 ，则 等 于( ) C A.5 B. C. D. 4.已知点 ， ， ，且 ，则 的值是( ) C A. B.2 C. D. 18 5.[2023南京调研] 已知点 ， ，点 在坐标轴上， ，则满 足条件的点 的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 19 6.已知等腰梯形 中， ，对角线为 和 .用坐标法证明： . 证明 如图，建立平面直角坐标系，设 ， ， ，则点 的坐标是 ，所以 ， ,故 . 20 B层 能力提升练 7.[2023济宁月考] 光线从点 射到 轴上，经 轴反射后经过点 ，则光 线从点 到点 的路程为( ) C A. B. C. D. 8.（多选题）[2023徐州月考] 对于 ，下列说法正确的是( ) BCD A.可看作点 与点 的距离 B.可看作点 与点 的距离 C.可看作点 与点 的距离 D.可看作点 与点 的距离 9.已知 , ，直线 上存在唯一点 ，使得 ，则 的值为( ) B A. B. 或 C.1或 D. 21 10.已知 的三个顶点分别是 ， ， ， 是边 上的一 点，且 的面积等于 面积的 ，那么线段 的长等于( ) A A.5 B. C. D. [解析] 如图， 由于 的面积等于 面积的 ，故 设 ，由 ，得 ，解得 , ，即 ，所以 . 故选A. 22 11.（多选题）如图，已知直线 交 轴于点 ，交 轴于 点 ，过 ， 两点的抛物线交 轴于另一点 .若该抛物线的 对称轴上存在点 满足 是等腰三角形，则点 的坐标可以是 ( ) ABC A. B. C. D. [解析] 直线 与 轴交点为 ，与 轴交点为 ，而 ， 故可设抛物线的方程为 ，将 代入得 ，所以抛物线的方程为 ，其对称轴为直线 .设 ，当 时， ，解得 ，所 23 以 或 .所以A选项正确. 当 时， ，解得 或 .由于点 在直线 上，故舍去，所以 ，所以B选项正确， D选项错误. 当 时， ，解得 ，故 ，所以C选项正确.故选 . 12.已知点 ， ，当 取最小值时，实数 的值是_ _. <m></m> 13.在平面直角坐标系 中，过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 ， 两点，则线段 长的最小值是___. 4 25 14.函数 的最小值是_ ____. <m></m> [解析] ,问题就可以转化 为在平面直角坐标系中，在横轴上找到一点 ,使得该点 到 , 两点的距离之和最小,如图.根据平面内,两 点间线段最短,显然直线 与横轴的交点就是到 , 两点的距离之和最 小的点,即 . 26 15.在 中， 是 边上任意一点（ 与 , 不重合），且 .用坐标法证明： 为等腰三角形. 27 证明 如图，作 ，垂足为 ，以 边所在直线为 轴，以 边所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.设 , , , 因为 ，所以由两点间距离公式可得 ，即 .又 ，故 ，即 ,所以 ，即 为等腰三角形. C层 拓展探究练 16.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形 和两个等腰直角三角形组成.若 ， ，现 准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平 方和最小，图中 , , , 是 的五等分点，则转播台应建在 ( ) A A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 29 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ， ， .设转 播台建在 处，则 ， 所以当 且 时， 最小，所以转播台应建 在 处.故选A. 30 17.已知直线 ， ，直线 垂直于 ， ，且垂足分 别为 ， .若 ， ，求 的最小值. 解 因直线 垂直于 ， ，则设直线 的方程为 ， 由 得点 ，由 得点 ，而 ， ，于是得 ，而 表示动点 到定点 与 的距离的和，显然，动点 在直线 上，点 与 在直线 两侧，因此， ，当且仅当点 是直线 与线 31 段 的交点，即原点时取“ ”，此时 ，从而得 取最小值 ，所以当直线 的方程 为 时， 取最小值 . $$