1.5.2 点到直线的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.5.2 点到直线的距离 【课标要求】 1.掌握点到直线的距离公式，了解点到直线的距离公式的两种推导方法. 2.会求平面内点到直线的距离，并能解决与距离有关的问题. 3.会求两平行线之间的距离. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.点到直线的距离 （1）点 到直线 的距离，是指从点 到直线 的垂线段 的长度，其中 为垂 足.实质上，点到直线的距离是直线外一点与直线上的点所连线段的长度的最小值. （2）平面上任意一点 到直线 （ ， 不全为0）的 距离为 . 名师点睛 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可. （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线 或 ，求点 到它们的 距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 或 . 4 知识点2.两条平行直线之间的距离 两条平行直线之间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长.一般地，两条平 行直线 , 与 不全为0，且 之间 的距离为 . 名师点睛 （1）两条平行直线之间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且 ， 的系数分别对应相等的情况，否则必须先转化才能套用公式. （2）两条平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】点到直线距离公式的运用 例1 若直线 在两坐标轴上的截距相等，且点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程. 解 若直线 过原点，可设直线 的方程为 ， 由题意可得 ，解得 . 若直线 不过原点，可设直线 的方程为 ，即 ， 由题意可得 ，解得 或 ． 综上所述，直线 的方程为 或 或 或 ． 7 题后反思 利用点到直线的距离公式求直线方程时，需要注意以下两点： （1）求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与否加以讨论. （2）在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论. 跟踪训练1 已知直线 过点 且与点 和点 的距离之比为 ，求直线 的方程. 8 解 若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时，点 , 到直线 的距离分 别为1,3，不符合题意. 若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，即 由已知条件可得 ，整理得 ，解得 或 ． 综上所述，直线 的方程为 或 ，即 或 ． 9 【题型二】平行线间的距离 例2 已知三条直线 ，直线 和直线 ，且 和 的距离是 . （1）求 的值. 解 的方程即为 ， 所以 和 的距离 ， 所以 ．因为 ，所以 ． 10 （2）能否找到一点 ，使得点 同时满足下列三个条件： 是第一象限的点；②点 到 的距离是点 到 的距离的 ；③点 到 的距离与点 到 的距离之比是 .若能，求出点 的坐标；若不能，请说明理由. 解 设点 ，若点 满足条件②，则点 在与 和 平行的直线 上， 且 ，解得 或 ， 所以 或 若点 满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ， 11 所以 或 ． 因为点 在第一象限，所以 不符合题意． 联立方程 和 ，解得 ， ，应舍去． 联立方程 和 ，解得 ， ，所以 ， ,即为同时满足三个条件的点． 规律方法 求两条平行直线之间的距离的两种思路 （1）利用“化归”法将求两条平行直线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. （2）直接利用两平行直线 与 , 不全为0，且 之间的距离公式. 13 跟踪训练2 两平行直线 ， 分别过点 ， . （1） ， 之间的距离为5，求两直线的方程； 解 当 ， 的斜率不存在时，易知 ， ， ， 之间的距离为1， 不符合题意； 当 ， 的斜率存在时，设斜率为 ，则 ， ，化为一 般式得 ， 由 ， 之间的距离为5，可得 ，解得 或 .当 时， ， ；当 时， ， ． 故两直线方程为 ， 或 ， 14 （2）若 ， 之间的距离为 ，求 的取值范围. 解 如图，当 ， 旋转到和 垂直时， ， 之间的距离 最大， 为 ；当 ， 旋转到和 重合时，距离 为0. 又两平行直线 ， 不重合， 故 ． 15 【题型三】利用距离公式求最值 例3 已知实数 ， 满足 ，那么 的最小值为( ) D A. B. C. D. [解析] 表示直线 上的动点到点 的距离，过点 向直线 作垂线，由垂线段最短知 的最小值为 点 到直线 的距离，即 .故选D． 16 题后反思 （1）解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. （2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时，我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 跟踪训练3 [2023扬州调研] 已知直线 ， 为直线 上的动点， 则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 17 成果验收•课堂达标检测 18 A层 基础达标练 1.[2023灌云期中] 原点到直线 的距离为( ) D A.1 B. C.2 D. 2.平行直线 与 的距离等于( ) A A.1 B.0 C. D.3 3.已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，则点 到 边的 距离为( ) B A. B. C. D. 19 4.“ ”是“点 到直线 的距离为3”的( ) B A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.（多选题）若直线 与直线 平行且距离为3，则直线 的方程 为( ) AB A. B. C. D. 20 6.[2023赣榆月考] 已知点 . （1）求过点 且与原点的距离为2的直线的方程. 解 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，符合题意. ②当直线的斜率存在时，设斜率为 ，则直线方程为 ，即 . 根据题意，得 ，解得 ，所以直线方程为 . 故符合题意的直线方程为 或 . 21 （2）是否存在过点 且与原点的距离为6的直线?若存在，求出该直线的方程；若不存 在，请说明理由. 解 不存在.过点 且与原点的距离最大的直线为过点 且与 垂直的直线，此时最大距离为 ，而 ，故不存在这样的直线. 22 7. 的四条边所在直线的方程分别是 ， ， ， ，求 的面积. 解 如图，由 ， ，联立求得交点 . 由 ， ， 联立得交点 . 由 ， ， 联立得交点 . 由于点 到 的距离 ， ，故 . 23 B层 能力提升练 8.已知直线 恒经过定点 ，则点 到直线 的距离是( ) B A.6 B.3 C.4 D.7 9. ， 分别为 与 上任一点，则 的最小值为 ( ) C A. B. C.3 D.6 10.（多选题）已知 ， 和直线 ，若在坐标平面内 存在一点 ，使 ，且点 到直线 的距离为2，则点 的坐标为( ) BD A. , B. C. , D. , 24 11.在直角坐标平面内，与点 的距离为2，且与点 的距离为3的直线共有 ( ) C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 [解析] 当直线斜率不存在时，设为 ，由题意可知 且 ， 没有实数 使得两个式子同时成立；当直线斜率存在时，设直线方程为 ， 即 . 因为点 到该直线的距离为2，所以 .① 因为点 到该直线的距离为3，所以 .② 25 由 ,得 或 ，当 时，代入①中，得 ，该方程的判别式 ，该方程有两 个不相等的实数根； 当 时，代入①中，得 ，该方程的判别式 ，该方程有两个相等的实数根，所以这样的直线共有3 条.故选C. 12.（多选题）已知平面上一点 ，若直线上存在点 使 ，则称该直线为 “切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的是( ) BC A. B. C. D. [解析] 设点 到直线的距离为 ，对于A， ，故直线上不存 在到点 的距离等于4的点，故A不符合题意； 对于B， ，所以在直线上可以找到不同的两点到点 的距离等于4，故B符 合题意； 对于C， ，故直线上存在一点到点 的距离等于4，故C符合题意； 对于D， ，故直线上不存在到点 的距离等于4的点，故D不 符合题意.故选 . 27 13.若过点 ， ， ， 作四条直线构成一个正方形，则该正方 形的面积可以为_ ______________________________（写出符合条件的一个答案即可）. <m></m> 答案不唯一，也可填 <m></m> 或 <m></m> [解析] 易得四条直线的斜率都是存在的，当过点 和点 的直线平行，过点 和点 的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点 和点 的直线分别为 ，即 ， ，即 ，则 过点 和点 的直线分别为 ，即 ， ，即 ，其中 和 的距离与 和 的距离相等， 即 ，解得 ，故正方形的边长为 ，该正方形的面积为 . 28 当过点 和点 的直线平行，过点 和点 的直线平行，且两组平行线互相垂直时， 设过点 和点 的直线分别为 ，即 ， ，即 ，则过点 和点 的直线分别为 ，即 和 ，即 ， 其中 和 的距 离与 和 的距离相等，即 ，解得 ， 故正方形的边长为 ，该正方形的面积为 . 当过点 和点 的直线平行，过点 和点 的直线平行，且两组平行线互相垂直时， 设过点 和点 的直线分别为 ，即 ， ，即 ，则过点 和点 的直线分别为 ，即 ， ，即 ， 其中 和 的距离与 和 的距离相等，即 ，解得 ，故正方形的边长为 ， 该正方形的面积为 . 综上，该正方形的面积为 或 或 . 14.已知直线 经过直线 与 的交点 . （1）若 经过点 ，求 的方程. 解 联立 解得 所以点 .若 经过点 ，则直线 的斜 率 ，所以直线 的方程为 ，整理可得 . 31 （2）若直线 分别与 轴、 轴的正半轴交于 ， 两点， 为原点，是否存在使 面积最小的直线 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 解 直线 分别与 轴、 轴的正半轴交于 , 两点，不妨设直线 的方程为 ，则 ，即 ，解得 ，当且仅 当 , 时取等号，所以 ，此时直线 的方程为 ， 即 .故存在使 面积最小的直线 ，直线 的方程为 . 32 C层 拓展探究练 15.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际 线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颌的范围分为上庭、中庭、下庭， 各占脸长的 ，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的 宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份. B A. B. C. D. 如图，假设三庭中一庭的高度为 ，五眼中一眼的宽度为 ，若图中提供的直 线 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点， 则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( ) 33 16.若点 和 到直线 的距离都是 . （1）根据 的不同取值，讨论满足条件的直线 有多少条？ 解 如图， ， 为 的垂直平分线.由 知不论 为多少，总有两条 的平行线满足到 的距离为 ，易知 ， 34 当 时，由图知还存在两条经过 中点且与 相交的直线满足到 的距 离为 ，如图中 , ，故满足条件的共有4条直线；当 时，由图知还存在一条 与 相交的直线满足到 的距离为 ，如图中 ，故满足条件的共有3条直线；当 时，由图知不存在与 相交的直线满足到 的距离为 ，故满足条件的共有 2条直线. 综上，当 时，满足条件的共有4条直线；当 时，满足条件的共有3条 直线；当 时，满足条件的共有2条直线. （2）从以下三个条件 ， ， 中选择一个条件，求出直线 的方程. 解 若选①，由（1）知存在4条直线，存在两条与 平行的直线满足条件，由 ，设 ，即 ，故 ，解 得 或 ，故直线为 或 ；存在两条与 相 交的直线满足条件，且经过 中点 , ，即 , ，当斜率不存在时，直线 为 ， , 到直线的距离均为2，满足条件，当斜率存在时，设直线为 ，即 ，故 ，解得 ，直线 方程为 .故直线 的方程为 或 或 或 . 36 若选②，由（1）知存在2条直线，即存在两条与 平行的直线满足条件，由 ，设 ，即 ，故 ，解 得 或 ，故直线为 或 . 若选③，由（1）知存在3条直线，存在两条与 平行的直线满足条件，由 ，设 ，即 ，故 ，解 得 或 ，故直线为 或 ；存在一条与 相交的直线满足条件，即 的垂直平分线，又 中点为 , ，即 , ，故 的垂直平分线为 ，即 .故直线 的方程为 或 或 . $$