对称问题课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 培优课❶ 对称问题 要点深化·核心知识提炼 2 对称问题是解析几何中比较典型、高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称. 知识点1.点关于点对称 设点 关于点 的对称点为 ，则有 所以 即点 .特别地，点 关于坐标原点 的对称点为 . 3 知识点2.点关于直线对称 设点 关于直线 的对称点为 ，则线段 的中点 在已知直线上且直线 与已知直线垂直，即 解此方程 组可得 ， ，即得点 的坐标. 4 知识点3.直线关于点对称 直线 关于点 的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点 ， 关于点 的对称点 ， 的坐标，则直线 的方程即为所求的直线方程. 5 知识点4.直线关于直线对称 （1）若已知直线 与已知对称轴相交，则交点必在与直线 对称的直线 上， 然后求出直线 上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点写出直线 的方程. （2）若已知直线 与已知对称轴平行，则直线 关于对称轴对称的直线 与直线 平行，可以利用直线 与对称轴间的距离等于直线 与对称轴间的距离求解. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】点关于点对称 例1 过点 作直线 ，使它被直线 和 截得 的线段被点 平分，求直线 的方程. 解 设 与 的交点为 ，则由题意知，点 关于点 的对称点 在 上，将点 的坐标代入 的方程,得 ，解得 ，即点 在直线 上，所以直线 的方程为 ． 题后反思 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 8 解 由题意知， 是线段 的中点． 设点 ，由中点坐标公式得 解得 故 ． 跟踪训练1 求点 关于点 的对称点 的坐标. 9 【题型二】点关于直线对称 例2 已知入射光线过点 ，被直线 反射，反射光线过点 ，求反射光线所在直线的方程. 解 设点 关于直线 的对称点为 ，则反射光线所在直 线过点 ， 所以 解得 又反射光线过点 ，所以所求直线的方程为 ，即 ． 10 题后反思 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：（1）两点连线与已知直线垂直；（2）两点所连线段的中点在已知直线上. 光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化. 11 跟踪训练2 已知直线 ，求点 关于 的对称点的坐标. 解 设点 关于直线 的对称点为 ，则线段 的中点在直线 上，且直线 垂直于直线 ， 即 解得 所以点 的坐标为 ． 12 【题型三】直线关于点对称 例3 求直线 关于点 对称的直线方程. 解 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为 由点到直线的距离公式，得 ，即 ，解得 （即为已知直线，舍去）或 故所求的对称直线 方程为 题后反思 直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线相互平行，对称中心到两条直线的距离相等求解. 13 解 设直线 上任意一点 的坐标为 ，则此点关于点 的对称点为 ，且点 在直线 上，所以 ，即 ，所以所求直线 的方程为 ． 跟踪训练3 求直线 关于点 的对称直线 的方程. 14 【题型四】直线关于直线对称 例4 已知直线 ，求直线 关于 的对称直线的方程. 解 解方程组 得 则点 在所求直线上．在直线 上任取一点 ， 设点 关于直线 的对称点为 ，则 解得 点 也在所求直线上． 由两点式，得直线方程为 ，化简得 ，即为所求直线方程． 15 规律方法 求直线 关于直线 对称的直线 的两种处理方法 （1）在直线 上取两点（一般取特殊点），利用求点关于直线的对称点的方法求 出这两点关于直线 的对称点，再用两点式写出直线 的方程. （2）设点 是直线 上任意一点，其关于直线 的对称点为 （点 在直线 上），根据点关于直线对称建立方程组，用 ， 表示出 ， ，再代入 直线 的方程，即可得直线 的方程. 16 解 由题意知，直线 与直线 相交. 由 得 即交点为 ． 在直线 上取一点 ，则点 关于直线 对称的点 满足 解得 ．由直线的两点式方程，得 ，即直线 的方程为 ． 跟踪训练4 求直线 关于直线 对称的直线 的方程. 17 $$