1.1 直线的斜率与倾斜角课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第1章 直线与方程 1.1 直线的斜率与倾斜角 【课标要求】 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 3.通过用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.直线的斜率 对于直线 上的任意两点 ， , （1）如果 ,那么由相似三角形的知识可知， 是一个定值，我们将其 称为直线 的斜率. . （2）如果 ,那么直线 的斜率不存在. 4 知识点2.直线的倾斜角 （1）直线的倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，把 轴绕着交点按逆时针方 向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角 也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个 角 称为这条直线的倾斜角. （2）当直线与 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0. （3）直线的倾斜角 的取值范围是 . 5 （4）直线的倾斜角的图形表示：如图， 的倾斜角为0， 的倾斜角为锐角， 的倾斜角为直角， 的倾斜角为钝角. 6 知识点3.直线的斜率与倾斜角的关系 （1）从关系式上看：若直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率 . （2）从几何图形上看： 直线情形 的大小 0 的大小 0 不存在 的范围 0 不存在 7 （1）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率. （2）当直线的倾斜角是 时，其斜率不存在，此时，直线垂直于 轴（即平行于 轴或与 轴重合）. 名师点睛 8 题型分析·能力素养提升 9 【题型一】直线的斜率 例1 （原创题）已知点 , . （1）求直线 的斜率； 解 因为 ， ， 所以 ． （2）设 为 轴上的一点，若直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，求点 的坐标； 设 ，因为 ， ，所以 ， . 因为直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，所以 ，解得 ，即 点 的坐标为 ． 10 （3）设 为 轴上的一点， , , 三点共线，求点 的坐标； 设 ，因为 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，解得 ， 即点 的坐标为 ． （4）将直线 绕着其与 轴的交点逆时针旋转 ，求得到的新直线的斜率. 设直线 的倾斜角为 ，则 .将直线 绕着其与 轴的交点逆时针旋转 ，则 ，故新直线的斜率是 ． 11 题后反思 （1）已知直线的倾斜角 ,求其斜率 时，若 ，根据公式 直 接计算.当倾斜角 未知时，可根据直线与其他直线的位置关系（如平行、垂直等） 确定所求直线的倾斜角 ，再代入 计算. （2）已知直线上两点 , ，求该直线的斜率 时，首先应检验两点的 横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式 直接计 算. 12 跟踪训练1 根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图 中各直线 的斜率 ，并写出各直线的斜率. 解 由已知可得, ， ， ， ， ，所以 ． 【题型二】直线的倾斜角 例2（1） （多选题）下列说法中，正确的是( ) AC A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为 C.倾斜角为 的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为 ，则 [解析] 任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；直线的倾斜角的取值范围为 ，故B错误；倾斜角为 的直线平行于 轴或与 轴重合，有无数条，故C 正确；直线的倾斜角 的取值范围为 ， ，故D错误．故选 ． 14 （2）（多选题）设直线 过原点，其倾斜角为 ，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向 旋转 ，得到直线 ，则直线 的倾斜角可以为( ) AC A. B. C. D. [解析] 因为直线的倾斜角 的取值范围为 ，所以当 时，逆时针旋转 后得到的 的倾斜角为 ；当 时，逆时针旋转 后得到的 的倾斜角为 ．故选 ． 题后反思 求解有关直线的倾斜角问题时，一定要紧紧抓住定义，即要搞清楚倾斜角的顶点、始边和终边. 15 跟踪训练2 （多选题）若直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的倾斜角可能 为( ) ABC A. B. C. D. 16 【题型三】直线的斜率和倾斜角的综合问题 例3 已知两点 , ，过点 的直线 与线段 有公共点. （1）求直线 的斜率 的取值范围； （2）求直线 的倾斜角 的取值范围. 17 （1）要使直线 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是 . （2）由题意可知，直线 的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间.又直线 的倾斜角是 ，直线 的倾斜角是 ，所以 的取值范围是 }. 题后反思 过定点的直线与线段相交，求斜率或倾斜角的范围问题，首先要准确画出图形，关注定点与线段端点连线斜率或倾斜角的情况，进而分析求解. , . 18 跟踪训练3 若过点 的直线与以点 , 为端点的线段相交，则直 线的倾斜角的取值范围是( ) A A. B. C. D. 19 成果验收•课堂达标检测 20 A层 基础达标练 1.下列说法中正确的是( ) D A.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 B.若直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为 C.平行于 轴的直线的倾斜角为 D.若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 2.（多选题）若经过点 和点 的直线的倾斜角为钝角，则实数 的值可能为( ) BCD A. B.0 C.1 D.2 21 3.直线 经过 ， 两点，直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则 的斜率为( ) D A. B. C.1 D. 4.[2023泰州调研] 若直线 经过 ， 两点，则直线 的倾斜角 的取值范围是( ) C A. , B. , C. , D. , 5.（2023如东测试）若三点 , , 共线，则实数 的值为__. <m></m> 22 6.已知点 ， ，若直线 过点 且与线段 相交，求直线 的 斜率 的取值范围. 解 如图， , ，要想直线 过点 且与线段 相 交，则 或 .所以 的取值范围是 , . 23 B层 能力提升练 7.过点 , 的直线的倾斜角 的取值范围是 ，则实数 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，正三角形 的边 所在直线的斜率是0，则边 ， 所 在直线的斜率之和为( ) B A. B.0 C.3 D. 24 9.已知坐标平面内三点 ， ， .若 为 的 边上一 动点，则直线 的倾斜角的取值范围为_ _____. <m></m> , <m></m> [解析] 如图，当直线 绕点 由 逆时针转到 时，直线 与线段 恒有交点，即点 在线段 上，此时 由 增大 到 ，所以 的取值范围为 , ，即直线 的倾斜角的 取值范围为 , . 25 10.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率 为_ __________________（写出任意一条边所在直线的斜率即可）. <m></m> （答案不唯一） [解析] 由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形 ， 其中对角线 所在直线的斜率为3.设对角线 所在直线的倾斜角为 ，则 ，由正方形的性质可知，直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，故 ， . 故答案为 （答案不唯一）. 26 11.（1）如果直线的倾斜角 ，那么当 增大时，直线的斜率将怎样变化？如 果 呢？ 解 因为正切函数 在 , ， , 上均为单调递增函数，所以如果直线的倾 斜角 , ，那么当 增大时，直线的斜率将从0逐渐增大； 如果直线的倾斜角 , ，那么当 增大时，直线的斜率将从 逐渐增大. （2）能否说直线的倾斜角增大时斜率也增大？为什么？ 不能.因为当直线的倾斜角 , 时，直线的斜率为正，且随着倾斜角的增大而增 大，当直线的倾斜角 , 时，直线的斜率为负，且随着倾斜角的增大而增大，故 不能说直线的倾斜角增大时斜率也增大. 27 C层 拓展探究练 12.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线 反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先 根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这 样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从 <m></m> , <m></m> 点 无旋转射入，经过 轴（桌边）上的点 反弹后，经过点 ，则点 的坐标为_ ______. 28 [解析] 设 ，点 关于 轴对称的点 ，则 ， .由题意， , , 三点共线，所以 ，即 ，解 得 ，故点 的坐标为 , . 29 $$