精品解析：江苏省句容高级中学2023-2024学年高一下学期强基班期中调研数学试题

2023～2024学年度第二学期强基班期中调研 数学试题 2024.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的性质解出集合M和N，从而可求得答案. 详解】， ， 故，， ∴. 故选：B. 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】幂函数的图象经过点，， 则，即，所以，解得， 所以，则. 故选：A 3. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的最小值为. 故选：D 4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可. 【详解】由图象可知，所以， 因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以， 由(2)可得：，所以， 因此有，所以函数是减函数， ，所以选项A符合. 故选：A. 5. 若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，再利用函数单调性求解即可. 【详解】由， 得， 令， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 由，即， 所以， 对于AB，当时，，故AB错误； 对于CD，由，得， 所以，故C正确，D错误. 故选：C. 6. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由，得 因为， 所以， 即， 解得， 所以 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错． 7. 若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时，，由题意，当时，，对分和两种情况讨论即可求解. 【详解】解：由时，， 因为函数的值域为R，所以当时，， 分两种情况讨论： ①当时， ，所以只需，解得，所以； ②当时，，所以只需，显然成立，所以. 综上，的取值范围是. 故选：D. 8. 已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 可证为奇函数且为增函数，从而可得恒成立，参变分离后可求m的取值范围. 【详解】因为恒成立，故恒成立，故的定义域为. 令，则， 故，故为上的奇函数. 在上，均为增函数，故在上为增函数， 故在上增函数，由可得： 即也就是， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数不等式的恒成立问题，注意利用函数的奇偶性和单调性去掉对应法则，从而把函数不等式转化为指数不等式，后者可参变分离，结合基本不等式可求最值，从而得到参数的取值范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断BC；根据二次函数的性质即可判断D. 【详解】当时，，此时，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（ ） A. 点的坐标为 B. 当，，时，的值为9 C. 当时， D. 当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入验证可判断A；将，，，代入，然后分别得出点A、C的坐标，使点A与点C的纵坐标相等求解m的值可判断B；用含a、b的式子表示出点A、B、C的坐标，再利用AC与x轴平行得到m与c的关系式可判断C；设，利用对数函数的单调性，以及对数的运算法则，即可证明. 【详解】对A：由图可知，若设，则, 又A在上，则，所以，故A对； 对B：由题意得，，且与轴平行， 所以，得故B对； 对C：由题意得 ，，且与轴平行， 所以，因为，所以，故C错； 对D：因为，且，所以， 又因为，所以，， 又因为， 所以，所以，所以， 即，故D对； 故选：ABD 11. 已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（ ）． A. 0 B. C. 1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解． 【详解】记，作出函数的图象如图所示， 令，则由图可知， 当时，方程只有一个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程有三个根； 显然不是方程的根， 若是方程根，则，此时另一个根为， 结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意； 所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根， 等价于方程的一个根在，一个根在， 令，则，解得， 结合选项可知，的值可以是. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行_________次二分. 【答案】8 【解析】 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】取，再逐一验证即可. 【详解】当时， 对于①，，故满足①； 对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立， 得函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，故满足②； 对于③，任取， 则， 因为，所以， 即， 所以，故满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知函数的零点为.若，则的值是__________；若函数的零点为，则的值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数零点存在性定理可得；由已知可得为两函数图象的交点的横坐标，为两函数图象的交点的横坐标，根据函数与的图象关于对称，求出交点的横坐标可得答案. 【详解】因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 且，所以； 由可得， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 因为函数与的图象关于对称，且互相垂直， 且由解得，即、的中点为， 所以. 故答案为：1；2. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键点将零点问题转化成函数图象交点问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质计算即可； （3）根据完全平方公式及立方和公式计算即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 因为，，所以， 则， ， 所以. 16. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先判断出，，，把不等式化为，即可解得； （2）构造基本不等式，求出的最小值. 【小问1详解】 由题设知且的两根为， 所以，，可得：， 可化为：，解得：， 所以不等式的解集为 【小问2详解】 ，且 所以 当且仅当即，取“=” 所以的最小值为6. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质列方程求解即可； （2）先利用分离常数法结合指数函数性质求得在的值域，然后利用换元法结合对数函数性质，利用二次函数性质求得的值域，最后利用值域关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立，整理得，故； 【小问2详解】 由（1）得，则， 因为，所以，所以， 所以在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得. 18. “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． （1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； （2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】（1）一次支付好，理由见解析 （2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 【解析】 【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【小问1详解】 分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额元, 因为，所以一次支付好； 【小问2详解】 设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意，恒成立，即可证明是偶函数； （2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”； （3）可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证. 小问1详解】 因为是上的偶函数，故对任意的都有．又是上的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数； 【小问2详解】 不妨设，当时，在上是严格增函数，有． 而， 所以， 因此，当时，函数是函数的“从属函数”； 【小问3详解】 举反例不具备充分性. 令，显然在上是严格增函数， 因为， 所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数． 因此不是的充分条件． 必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”， 若函数在上为严格增函数或严格减函数， 则函数在上是严格增函数或严格减函数． 任取，且，有，即对任意，且，有． 下面证明：对任意的实数，有或成立． 若存在，，使得且…①， 其中不妨设…②， 当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！ 当①②两式中等号均不成立时，考虑， 因为， 由连续函数的零点存在定理知，必存在使得， 也与（其中）矛盾！ 同理可证且也不可能. 【点睛】思路点睛：第二问利用放缩法即可得证，第三位可通过举反例证明非充分，必要性利用定义可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期强基班期中调研 数学试题 2024.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 3. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A B. C. D. 5. 若，则（ ）． A. B. C. D. 6. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A. B. C. D. 7. 若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，过函数（）图象上两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（ ） A. 点的坐标为 B. 当，，时，的值为9 C. 当时， D. 当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则 11. 已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（ ）． A. 0 B. C. 1 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行_________次二分. 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 14. 已知函数的零点为.若，则的值是__________；若函数的零点为，则的值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 16. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 18. “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． （1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； （2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$