精品解析：甘肃省环县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

环县一中2023～2024学年度第二学期期末考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1，3，4，5章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知球的半径为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由球的表面积公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故选：C. 2. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算，代入计算，即可求解. 【详解】，的虚部是1. 故选：A. 3. 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【解析】 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 4. 某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（ ） A. 24人 B. 36人 C. 48人 D. 60人 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样比例可得答案. 【详解】设这个样本中共有人， 则，解得． 故选：B． 5. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式可求得，代入圆柱侧面积公式即可求得结果. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为； 设体积扩大倍后的底面半径为，则，， 其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍. 故选：B. 6. 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出. 【详解】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得. 故选：C. 7. 如图，有一古塔，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，在点测得塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于西偏北方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为（ ）） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，根据正弦定理可求出，在中，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】由已知可得，在中，有，，， 根据正弦定理， 可得. 在中，有，，， 所以. 故选：B. 8. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将异面直线通过平移转化为平面角，构造三角形，将三条边长求出来，用余弦定理求出即可. 【详解】连接，，如图所示. 易得，所以直线与所成的角为（或其补角）. 不妨设. 在中，易得，，， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得，根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断A、B、C，再根据复数代数形式的乘法运算判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 所以的实部是，虚部为，，，故A、B、C正确； ，故D错误. 故选：ABC 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面，面面位置的判定方法逐一判断即可得. 【详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，则，又，故，故B正确； 对C：若，，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误； 对D：若，，则，又，则，故D正确. 故选：BD. 11. 已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若事件与事件是互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对立事件可判断A；根据互斥事件和独立事件的概率公式即可判断BCD. 【详解】，故A正确； 因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误； 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则，的夹角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，，可得，所以， 因为，所以. 故答案为：. 13. 在中，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再结合同角三角关系分析求解. 【详解】由正弦定理，可得， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 14. 若一组数据m，n，9，8，10的平均数为9，方差为2，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据平均数，方差的公式列出方程求解即可. 【详解】根据题意得平均数， 方差， 所以，且，解得或 所以. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意知，，故； 【小问2详解】 用表示“两人共命中2次”， ． 16. 为了了解学生的物理学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了物理测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少？（精确到0.001） 【答案】（1），估计本次物理测试成绩的平均分为分 （2） 【解析】 【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a，再根据直方图求物理测试成绩的平均分即可； （2）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 所以估计本次物理测试成绩的平均分为（分）. 【小问2详解】 设受嘉奖的学生分数应不低于， 因为，则， 可得，解得， 所以受嘉奖的学生分数应不低于. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，是线段上的一点． （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示． 因为底面为菱形，所以是的中点，又，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）证明：在直四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又底面为菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）证明线面平行，只需在平面内找到一条直线与平行即可； （2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，只需证明线线垂直即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得； （2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以由正弦定理得, ， 又，所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由，则， 故，，所以， 所以， 又，整理得， 则， 解得， 所以的面积为． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，，分别是，的中点，. （1）求四棱锥的体积； （2）求与底面所成角的正切值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由是的中点，可知点到底面的距离为，由平面知识可求出四边形的面积，再根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积； （2）由（1）可知，与底面形成的角为，为与的交点，解三角形即可求出与底面所成角的正切值． 【详解】（1）∵，，四边形为菱形 ∴， 如图，连，相交于点，连． ∵，，∴ ∵平面，∴平面，且. ∴. （2）∵平面，∴与底面形成的角为． ∵， ∴．故与底面所成角的正切值为. 【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2023～2024学年度第二学期期末考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1，3，4，5章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知球的半径为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 4. 某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（ ） A. 24人 B. 36人 C. 48人 D. 60人 5. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一古塔，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，在点测得塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于西偏北方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为（ ）） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若事件与事件是互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若，则事件与事件相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则，的夹角的大小为__________. 13. 在中，，，，则______. 14. 若一组数据m，n，9，8，10的平均数为9，方差为2，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 16. 为了了解学生的物理学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了物理测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少？（精确到0.001） 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，是线段上的一点． （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，，分别是，的中点，. （1）求四棱锥的体积； （2）求与底面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $