精品解析：甘肃省平凉市静宁县文萃中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

文萃中学2023~2024学年度第二学期高一期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第五章~第六章，必修第二册第一章一第五章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. 310° D. 330° 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. i D. 3. 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 4. 某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（ ） A. 24人 B. 36人 C. 48人 D. 60人 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ） A. 72 B. 82 C. 92 D. 112 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的平均数相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的极差相同 D. 两组数据的方差相同 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 14. _______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 16. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 17. 在中，分别是内角的对边，已知. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 18. 共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图. （1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，，分别是，的中点，. （1）求四棱锥的体积； （2）求与底面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文萃中学2023~2024学年度第二学期高一期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第五章~第六章，必修第二册第一章一第五章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. 310° D. 330° 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出与终边相同的角，再判断即可. 【详解】与角终边相同的角的集合表示为， 当时，，故与角终边相同． 故选：A． 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以． 故选：B. 3. 某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【解析】 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 4. 某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（ ） A. 24人 B. 36人 C. 48人 D. 60人 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样比例可得答案. 【详解】设这个样本中共有人， 则，解得． 故选：B． 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果. 【详解】因为，，故， 所以的面积为. 故选：A. 6. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，缺少这个条件，故A错误； 对于B，由可得，在内存在直线，因为，所以，即，故B正确； 对于C，若，则与可能平行或相交，故C错误； 对于D，因为，所以，若，则平行或异面，故D错误. 故选：B. 7. 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出. 【详解】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得. 故选：C. 8. 已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ） A. 72 B. 82 C. 92 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解. 【详解】因为正棱台的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为， 棱台的侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高， 所以一个侧面积， 棱台的上、下底面面积和为， 所以该棱台的表面积为. 故选:C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的平均数相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的极差相同 D. 两组数据的方差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】分别求出平均数、中位数、极差、方差即可判断. 【详解】第一组数据的平均数； 第二组数据的平均数，故A错误； 第一组数据的中位数为，第二组数据的中位数为，故B错误； 第一组数据的极差为，第二组数据的极差为，故C正确； 第一组数据的方差， 第二组数据的方差为，故D正确； 故选：CD 10. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上有最小值 D. 直线是函数的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期， ∴，∴． 将点代入解析式中可得， ∴，解得， ∵，∴，∴，故A错误. ∵， ∴函数的图象关于点对称，故B正确. 当时，，∴，即最小值为，故C正确． ∵， ∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误. 故选：BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的夹角坐标运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先求出两人都没有击中靶心的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，， 所以两人都没有击中靶心的概率为， 所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为. 故答案为： 14. _______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【小问1详解】 由复数是纯虚数，得，解得； 【小问2详解】 由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 16. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）化简得，结合平方关系求出，再利用两角差的余弦公式，即可求得答案； （2）由（1）可得，化简为，利用齐次式法求值，即可得答案. 【小问1详解】 由，得， 因为锐角，，所以， 可得； 【小问2详解】 由得， 则 ． 17. 在中，分别是内角的对边，已知. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题中等式利用余弦定理解出答案； （2）利用等式变形可计算出，再根据三角形面积公式计算的结果； 【小问1详解】 由， 有. 又， 因为,所以. 【小问2详解】 由，有， 可得，得.， 的面积为. 18. 共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图. （1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 【答案】（1），平均数75.5，中位数75 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5，运算求解． （2）利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，再利用古典概型求解即可． 【小问1详解】 由题意知，解得. 满意度评分值的平均数； 设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75. 【小问2详解】 满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人）， 抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为， 满意度评分值在内的有（人），记为. 从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件， 其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件， 所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，，分别是，的中点，. （1）求四棱锥的体积； （2）求与底面所成角的正切值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由是的中点，可知点到底面的距离为，由平面知识可求出四边形的面积，再根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积； （2）由（1）可知，与底面形成的角为，为与的交点，解三角形即可求出与底面所成角的正切值． 【详解】（1）∵，，四边形为菱形 ∴， 如图，连，相交于点，连． ∵，，∴ ∵平面，∴平面，且. ∴. （2）∵平面，∴与底面形成的角为． ∵， ∴．故与底面所成角的正切值为. 【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $