2025年中考数学大复习 第05讲 一元二次方程 讲义

第07讲 一元二次方程 考点一 一元二次方程的相关概念 2 题型01 识别一元二次方程 2 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 3 题型03 一元二次方程的一般式 4 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 5 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 6 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 7 考点二 解一元二次方程 8 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 10 题型02 利用配方法解一元二次方程 11 题型03 利用因式分解法解一元二次方程 13 题型04 利用公式法解一元二次方程 14 题型05 利用换元法解一元二次方程 15 题型06 选用合适的方法解一元二次方程 16 题型07 错看或错解一元二次方程问题 18 题型08 配方法的应用 21 题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况 23 题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况 25 题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 26 题型12 应用根的判别式证明方程根的情况 27 题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围 30 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 33 考点三 一元二次方程根与系数的关系 34 题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值 35 题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 38 题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 39 题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 42 题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 45 题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围 47 题型07 与根与系数有关的新定义问题 48 题型08 构造一元二次方程求代数式的值 51 题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 52 考点四 一元二次方程的应用 56 题型01 分裂（传播）问题 58 题型02 碰面（循环）问题 59 题型03 增长率问题 61 题型04 营销问题 62 题型05 工程问题 65 题型06 行程问题 67 题型07 与图形有有关的问题 69 考点一 一元二次方程的相关概念 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 题型01 识别一元二次方程 【例1】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 【例2】（2023 南阳市一模）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B．3 C．1 D．1或 【变式2-1】（2022上·辽宁沈阳·九年级期中）方程是关于的一元二次方程，则 ． 题型03 一元二次方程的一般式 【例3】（2022上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程写成一般形式，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程化成的形式，则的值分别为（　　） A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25 【变式3-2】（2023集贤县·九年级期中）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 【例4】（2022·广东·中考真题）若是方程的根，则 ． 【变式4-1】（2021·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的一个根为3，则的值为 ． 利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数取值的其他隐含条件. 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 【例5】（2023·甘肃陇南·一模）关于的一元二次方程的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）如果是方程的一个根，那么m、n的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定的 【变式5-2】（2023渭南市月考）若关于x的方程的一个解为，则 ． 【变式5-3】（2023·广东佛山·校考一模）已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 【例6】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【变式6-1】（2023宁德市一模）关于x的一元二次方程的一个根是1，则这个方程的另一个根是 ． 【变式6-2】（2023遵义市第十一中三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 ． 考点二 解一元二次方程 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根. 2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 3. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. 4. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. 5. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. 6. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 【例1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 ． 【变式1-2】（2023·齐齐哈尔市模拟）解关于的方程： ． 题型02 利用配方法解一元二次方程 【例2】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程，配方得，常数m的值是 ． 题型03 利用因式分解法解一元二次方程 【例3】（（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（2023惠阳区模拟预测）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为 ． 【变式3-2】（2023·江苏南京·二模）解方程：． 题型04 利用公式法解一元二次方程 【例4】（2023·甘肃陇南·一模）用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·江苏无锡·一模）方程的解是 ． 【变式4-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）方程的解是 . 【变式4-3】（2023长岭县模拟）一元二次方程根的判别式的值为 ． 题型05 利用换元法解一元二次方程 【例5】（2023·浙江宁波·校考一模）已知，求的值为 ． 【变式5-1】（2023罗湖区模拟预测）若，则 ． 【变式5-2】我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·四川绵阳·二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为 ． 题型06 选用合适的方法解一元二次方程 【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：． 【变式6-1】（2023·广东广州·一模）解方程． 【变式6-2】（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程 (1) (2) (3) 题型07 错看或错解一元二次方程问题 【例7】（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【变式7-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式7-2】（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【变式7-3】（2023上·北京东城·九年级期末）下面是小聪同学用配方法解方程： 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得：．① 二次项系数化为1，得：．② 配方，得．③ 即. ∵， ∴．④ ∴，．⑤ (1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？ (2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 题型08 配方法的应用 【例8】（2023上·江西九江·九年级阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【变式8-1】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况 【例9】（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【变式9-1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2020·安徽·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（  ） A． B． C． D． 若一元二次方程中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根. 题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况 【例10】（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【变式10-1】（2020·山东潍坊·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 【例11】（2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式11-2】（2022·江苏淮安·中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式11-3】（2023绵阳市模拟）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 题型12 应用根的判别式证明方程根的情况 【例12】（2022上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【变式12-1】（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【变式12-2】（2022·北京朝阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围 【例13】（2023·河南信阳·校考三模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【变式13-1】（2022株洲市二中二模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【变式13-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两实数根． (1)求m的取值范围； (2)是否存在实数m，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 【例14】（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式14-1】（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式14-2】（2020·河南·中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值 【例1】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式1-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（         ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023汉寿县一模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式1-4】（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果. 题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 【例2】（2023潜江市模拟）若为方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．12 C．14 D．15 【变式2-1】（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 【例3】（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【变式3-1】（2023连云港市检测）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【变式3-2】（2021上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2021·湖北武汉·中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 【变式3-4】已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 【例4】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【变式4-1】（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【变式4-2】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【变式4-3】（（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【变式4-4】（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ． 题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【例5】（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【变式5-1】（2023秦淮区9年纪月考）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【变式5-2】（2021·江苏南京·一模）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【变式5-3】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围 【例6】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【变式6-2】（2023·山东日照·二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是 ； 【变式6-3】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知关于的方程有两实数根，请用表示的值并求出的取值范围． 题型07 与根与系数有关的新定义问题 【例7】（2023上·湖南娄底·九年级校联考期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 24．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式7-2】（2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 【变式7-3】（2023上·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）对于任意实数a，b，定义：．若方程的两根记为m，n，则 ． 题型08 构造一元二次方程求代数式的值 【例8】（2023·湖北武汉·一模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．16 B．15 C．12 D．9 【变式8-1】（2023武昌区联考）若a≠b，且则的值为（    ） A． B．1 C．.4 D．3 【变式8-2】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 ． 题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【例9】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【变式9-1】（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【变式9-2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 考点四 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 题型01 分裂（传播）问题 【例1】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1-2】（2023·广东阳江·一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【变式1-3】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 题型02 碰面（循环）问题 【例2】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 【变式2-2】（2023上·广东惠州·九年级期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？ 题型03 增长率问题 【例3】（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型04 营销问题 【例4】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（　　） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 【变式4-1】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022春•乳山市期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　50　元． 【变式4-3】（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【变式4-4】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以2元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价 的2.5倍． （1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出 　450　件； 题型05 工程问题 【例5】（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【变式5-1】（2022•渝中区校级自主招生）工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间． 【变式5-2】（2022•沙坪坝区校级开学）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米 （1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？ （2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的最施工速度进行施工，但在实际的施工过程中，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了m%．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队同时施工60天，再由乙单独多施工（m+7）天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值． 题型06 行程问题 【例6】（2021·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【变式6-1】（2021·安徽宣城·校考一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 题型07 与图形有有关的问题 【例7】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【变式7-1】（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·河北衡水·二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示． （1）若，则矩形A的水平边长为 ； （2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ； （3）若矩形A，B的面积相等，则 ． 【变式7-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在一块长米、宽米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草．要使绿化面积为平方米，则修建的路宽应是多少米？    【变式7-4】（2022上·江苏无锡·九年级期中）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程 考点一 一元二次方程的相关概念 2 题型01 识别一元二次方程 2 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 3 题型03 一元二次方程的一般式 4 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 5 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 6 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 7 考点二 解一元二次方程 8 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 10 题型02 利用配方法解一元二次方程 11 题型03 利用因式分解法解一元二次方程 13 题型04 利用公式法解一元二次方程 14 题型05 利用换元法解一元二次方程 15 题型06 选用合适的方法解一元二次方程 16 题型07 错看或错解一元二次方程问题 18 题型08 配方法的应用 21 题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况 23 题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况 25 题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 26 题型12 应用根的判别式证明方程根的情况 27 题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围 30 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 33 考点三 一元二次方程根与系数的关系 34 题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值 35 题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 38 题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 39 题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 42 题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 45 题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围 47 题型07 与根与系数有关的新定义问题 48 题型08 构造一元二次方程求代数式的值 51 题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 52 考点四 一元二次方程的应用 56 题型01 分裂（传播）问题 58 题型02 碰面（循环）问题 59 题型03 增长率问题 61 题型04 营销问题 62 题型05 工程问题 65 题型06 行程问题 67 题型07 与图形有有关的问题 69 考点一 一元二次方程的相关概念 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 题型01 识别一元二次方程 【例1】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【变式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项提示判断即可． 【详解】解：A、，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 【例2】（2023 南阳市一模）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B．3 C．1 D．1或 【答案】C 【提示】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 【变式2-1】（2022上·辽宁沈阳·九年级期中）方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【提示】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，且， 解得； 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 题型03 一元二次方程的一般式 【例3】（2022上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程写成一般形式，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】把等号右边的式子移到等号左边即可解题． 【详解】解： 移项得： 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握移项变号的基本步骤． 【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程化成的形式，则的值分别为（　　） A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25 【答案】C 【提示】将移项化为一元二次方程的一般式即可求解． 【详解】解：将原方程化为一般形式得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键． 【变式3-2】（2023集贤县·九年级期中）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【提示】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 【例4】（2022·广东·中考真题）若是方程的根，则 ． 【答案】1 【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式4-1】（2021·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的一个根为3，则的值为 ． 【答案】 【提示】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数取值的其他隐含条件. 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 【例5】（2023·甘肃陇南·一模）关于的一元二次方程的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】根据一元二次方程的概念可求出的值，根据解为可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程， ∴，解得，， ∴一元二次方程， ∵解为， ∴，解得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值的方法是解题的关键． 【变式5-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）如果是方程的一个根，那么m、n的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定的 【答案】A 【分析】把方程的解代入方程，得到m，n的关系式，判断m，n的大小． 【详解】解：把代入方程有： ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，n的关系式，是解题的关键． 【变式5-2】（2023渭南市月考）若关于x的方程的一个解为，则 ． 【答案】2022 【分析】先把方程的解代入方程，得到，再求代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 即， 所以． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键． 【变式5-3】（2023·广东佛山·校考一模）已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据方程的根的定义，把代入方程求出即可解答； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 整理得，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的概念是解题的关键． 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 【例6】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【变式6-1】（2023宁德市一模）关于x的一元二次方程的一个根是1，则这个方程的另一个根是 ． 【答案】 【提示】根据方程的一个根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∴关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴方程的另一个根是-5． 故答案为：-5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． 【变式6-2】（2023遵义市第十一中三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 ． 【答案】-2 【提示】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题． 【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1， 方程 即方程的另一个根为x=-2 故本题的答案为-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键． 考点二 解一元二次方程 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根. 2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 3. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. 4. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. 5. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. 6. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 【例1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 ． 【答案】/ 【提示】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可． 【详解】解：， ， 解得．， 方程的两根为、，且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式1-2】（2023·齐齐哈尔市模拟）解关于的方程： ． 【答案】， 【提示】变形后利用直接开方法解方程即可． 【详解】整理得：， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进行计算即可． 题型02 利用配方法解一元二次方程 【例2】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【变式2-1】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【提示】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 【变式2-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【变式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程，配方得，常数m的值是 ． 【答案】 【提示】根据配方法的一般步骤先把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 题型03 利用因式分解法解一元二次方程 【例3】（（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 【变式3-1】（2023惠阳区模拟预测）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为 ． 【答案】13 【提示】利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为：； 故答案为：13. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系. 【变式3-2】（2023·江苏南京·二模）解方程：． 【答案】 【提示】先移项，然后利用因式分解法可进行求解． 【详解】解： 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 题型04 利用公式法解一元二次方程 【例4】（2023·甘肃陇南·一模）用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】Δ＝，给赋值并代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴Δ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式4-1】（2023·江苏无锡·一模）方程的解是 ． 【答案】 【提示】利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式4-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）方程的解是 . 【答案】 【提示】利用公式法计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键． 【变式4-3】（2023长岭县模拟）一元二次方程根的判别式的值为 ． 【答案】1 【提示】首先找出一元二次方程中，，，然后根据根的判别式计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， ， 故答案是：1． 【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式． 题型05 利用换元法解一元二次方程 【例5】（2023·浙江宁波·校考一模）已知，求的值为 ． 【答案】3 【提示】把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可． 【详解】解：设， 据题意，得， 解得， ∵， ∴不符合题意舍去， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将看作一个整体，熟练应用换元法． 【变式5-1】（2023罗湖区模拟预测）若，则 ． 【答案】5 【提示】设，把原方程化为关于的一元二次方程，解方程求出，根据非负数的性质即可获得答案． 【详解】解：设，则原方程变形为， 即， 解得，， ∵， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及非负数的性质，熟练掌握解一元二次方程的一般方法和步骤是解题的关键． 【变式5-2】我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果． 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键． 【变式5-3】（2023·四川绵阳·二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【提示】利用抛物线与轴的交点问题得到一元二次方程的解为，，再把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由表值值数据得或时，， 一元二次方程的解为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得，， 即一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数的性质． 题型06 选用合适的方法解一元二次方程 【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：． 【答案】． 【提示】利用配方法解方程即可． 【详解】解：移项，得 ， ∴， ∴， 两边开平方，得 ， ∴． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程． 【变式6-1】（2023·广东广州·一模）解方程． 【答案】，； 【提示】直接开平方求解即可得到答案； 【详解】解：两边开平方可得， ， 即， ∴，， ∴方程的解为：，； 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及选择适当的解法求解． 【变式6-2】（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程 (1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ∴，； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ， 或， ∴，． 题型07 错看或错解一元二次方程问题 【例7】（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 【变式7-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-2】（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析 【提示】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 【变式7-3】（2023·山西晋中·模拟预测）（1）计算：． （2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 第一步 ，即第二步 第三步 第四步 任务一： ①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是　 　，依据的一个数学公式是　 　；第　 　步开始出现错误； 任务二： ②请你直接写出该方程的正确解． 【答案】（1）；（2）①配方法，完全平方公式，二；② 【提示】（1）代入特殊角的三角函数值，再按实数的运算顺序计算； （2）根据小明同学的解答步骤提示即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）任务一： 上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式；第二步开始出现错误； 任务二：正确的解法为： ， ，即， ， 所以． 故答案为：配方法，完全平方公式，二，． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式7-4】（2023上·北京东城·九年级期末）下面是小聪同学用配方法解方程： 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得：．① 二次项系数化为1，得：．② 配方，得．③ 即. ∵， ∴．④ ∴，．⑤ (1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？ (2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 【答案】(1)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 (2)不正确，解答从第③步开始出错，， 【提示】（1）根据等式的性质2即可写出依据； （2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【详解】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； （2）不正确，解答从第③步开始出错， 正确的步骤为： 配方，得．③ 即 ∵， ∴．④ ∴，．⑤ 此方程的解为，． 【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据． 题型08 配方法的应用 【例8】（2023上·江西九江·九年级阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9 【提示】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式8-1】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【答案】(1)且；(2)， 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况 【例9】（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】A 【提示】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0， ∴方程无实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 【变式9-1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 【变式9-2】（2020·安徽·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 【变式9-3】（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根． 【答案】0（答案不唯一） 【提示】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a， ∵要使原方程有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 若一元二次方程中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根. 题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况 【例10】（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【提示】根据根的判别式直接判断即可得出答案． 【详解】解：对于关于x的方程， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 【变式10-1】（2020·山东潍坊·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【提示】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根． 【详解】△=(k-3)2-4(1-k) =k2-6k+9-4+4k =k2-2k+5 =(k-1)2+4， ∴（k-1）2+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 【例11】（2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 【变式11-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 【变式11-2】（2022·江苏淮安·中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【提示】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 【变式11-3】（2023绵阳市模拟）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且． 【提示】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可. 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 又∵该方程为一元二次方程， ， 且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键． 题型12 应用根的判别式证明方程根的情况 【例12】（2022上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【提示】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【详解】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2）解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． 【变式12-1】（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【提示】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 【变式12-2】（2022·北京朝阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)a的值为3 【提示】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明； （2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1， 则， 由①得， 代入②可得：， 解之得，， 又因为该方程的两个实数根都是整数， 所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式12-3】（2023·广东江门·二模）已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【提示】（1）计算方程的根的判别式，若，则方程总是有实数根； （2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【详解】（1）证明： ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：①若为底边，则为腰长，，， ∴， 解得：， 此时原方程化为， ∴，即， 此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若为腰，则中一边为腰， 把代入方程，， ∴， 则原方程化为， ， ∴，， 此时三边为6，6，2能构成三角形， 综上所述：三边为6，6，2， ∴周长为． 【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围 【例13】（2023·河南信阳·校考三模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【提示】根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的定义得出，，然后求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴且． 故选：D． 【点睛】本题主要考在一元二次方程根的情况，同时考查二次项系数不为零这一隐含条件，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【变式13-1】（2022株洲市二中二模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【提示】根据题意分两种情况：当时，根据一元二次方程的根的判别式求解；当，原方程即为，即可求解． 【详解】解：当时，∵关于x的方程有实数根， ∴， 即且， 解得：且； 当时，原方程即为，有实数根； 综上，实数k的取值范围是 故答案为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，属于常考题型，熟知时，一元二次方程有两个实数根是解题的关键． 【变式13-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两实数根． (1)求m的取值范围； (2)是否存在实数m，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，4 【提示】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系：即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两实数根， ∴， 解得； （2）解：存在．理由如下： 由根与系数的关系得 ∵ 即 即，化简， 解得， 经检验都是原方程的解， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的范围以及根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 【变式13-3】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【提示】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； 根据根与系数的关系可得出、，将其代入中，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，． ， 解得：． （2）、是方程的解， ，． ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；根据根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程． 【变式13-4】（2023·浙江·模拟预测）已知三个关于的方程和．若其中至少有两个方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】或 【提示】分类讨论：①当时，②当时，③当，时，分别求出m的取值范围即可． 【详解】解：①当时，方程和有解； ②当时，方程和有解； ③当，时，第一个方程有根则：，解得：； 第二个方程有根则：，解得：， 第三个方程有根则：，解得：， 当每两个方程都有解时，有或或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 【例14】（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【提示】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 【变式14-1】（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【提示】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 【变式14-2】（2020·河南·中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【提示】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值 【例1】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-2】（2023汉寿县一模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，可知，，将化简为，代入即可得出结论． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关系得到，是解答本题的关键． 【变式1-3】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-4】（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果. 题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 【例2】（2023潜江市模拟）若为方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．12 C．14 D．15 【答案】B 【提示】根据一元二次方程解的定义得到，即，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：为的实数根， ，即， ， 为方程的两个实数根， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，则，． 【变式2-1】（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】3 【提示】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 【变式2-2】（2021·四川成都·中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】-3． 【提示】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = =1+2×（-2） =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 【例3】（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【答案】A 【提示】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式3-1】（2023连云港市检测）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【答案】D 【详解】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根, ∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4, ∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8, ∴原式=8α+8+8β+6 =8（α+β）+14, ∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根, ∴α+β=2, ∴原式=8×2+14 =30, 故选D. 【变式3-2】（2021上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 【变式3-3】（2021·湖北武汉·中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 【答案】D 【提示】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可． 【详解】解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3 ∴=0+5+30+1=36． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键． 【变式3-4】已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【提示】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 【变式3-5】（2020·浙江杭州·九年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为 ． 【答案】-2 【提示】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得，＋=-2，然后将原代数式 “降次”，并利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，＋=-2 ∴ ∴ = = = = = = =5×（-2）＋8 =-2 故答案为：-2． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键． 题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 【例4】（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 【变式4-1】（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 【变式4-2】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 【变式4-3】（（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 【变式4-4】（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ． 【答案】2 【提示】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可． 【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0， ∴x12＝2x1﹣k+1， ∵＝x12+2x2﹣1， ∴＝2（x1+x2）﹣k， ∴＝4﹣k， 解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意； 当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式4-5】（2022·四川巴中·中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【提示】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【例5】（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【提示】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可． 【详解】解：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为、， ∵， ∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：， 【变式5-1】（2023秦淮区9年纪月考）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【答案】A 【提示】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论． 【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0， ∴x1≠x2，结论A符合题意； B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1+x2=a， ∵a的值不确定， ∴B结论不一定正确，不符合题意； C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1•x2=﹣2，结论C错误，不符合题意； D、∵x1•x2=﹣2， ∴x1＜0，x2＞0，结论D错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【变式5-2】（2021·江苏南京·一模）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】A 【提示】根据根的判别式，根与系数的关系进行判断即可． 【详解】 原方程有两个不相等的实数根，设两根分别为 同号 即原方程有两个正根． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式5-3】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【答案】C 【提示】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围 【例6】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型． 【变式6-1】（（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 【变式6-2】（2023·山东日照·二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是 ； 【答案】 【提示】根据根的判别式、根与系数的关系列出关于的不等式组，通过解该不等式组，求得的取值范围． 【详解】解：∵的一元二次方程两个实数根、 ∴，， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解不等式组，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式6-3】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知关于的方程有两实数根，请用表示的值并求出的取值范围． 【答案】； 【提示】根据根与系数关系定理，根的判别式计算即可． 【详解】∵关于的方程有两实数根， ∴， ∵， ∴； ∵关于的方程有两实数根， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了根与系数关系定理，根的判别式，熟练掌握定理和判别式是解题的关键． 题型07 与根与系数有关的新定义问题 【例7】（2023上·湖南娄底·九年级校联考期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 【变式7-1】．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 24．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 【变式7-2】（2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【提示】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式7-3】（2023上·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）对于任意实数a，b，定义：．若方程的两根记为m，n，则 ． 【答案】 【提示】根据新定义可得出m，n为方程的两个根，利用根与系数的关系可得出和的值，变形后利用整体代入得方法进行计算． 【详解】由题意得，整理得 ∵方程的两根记为m，n， ∴m，n为方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键． 题型08 构造一元二次方程求代数式的值 【例8】（2023·湖北武汉·一模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．16 B．15 C．12 D．9 【答案】B 【提示】根据题意可得m，n可以看作一元二次方程的两根，则，，整理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴m，n可以看作一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为，两根之积为． 【变式8-1】（2023武昌区联考）若a≠b，且则的值为（    ） A． B．1 C．.4 D．3 【答案】B 【详解】解：由得： ∴ 又由可以将a，b看做是方程 的两个根 ∴a+b=4，ab=1 ∴ 故答案为B. 【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解． 【变式8-2】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 ． 【答案】 【提示】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式8-3】（2021上·重庆黔江·九年级期末）已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 【答案】 【提示】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键． 题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【例9】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 【变式9-1】（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【提示】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【变式9-2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 考点四 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 题型01 分裂（传播）问题 【例1】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】根据“有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎”列方程即可得到答案． 【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝169， 即（1+m）2＝169． 解得：m1＝12，m2＝﹣14（不合题意，舍去）． 故选：B． 【变式1-2】（2023·广东阳江·一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】(1)人 (2)不超过 【提示】（1）设每轮感染中平均一个人传染人，根据题意列方程解方程即可； （2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染人，进而得到三轮后患病总人数为即可解答． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人． 根据题意得， 解得，或， ∵， ∴， 答：每轮感染中平均一个人传染人； （2）解：根据题意可得： 第三轮的患病人数为， ∵， ∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人， 答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人； 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键． 【变式1-3】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝81， 整理得（1+x）2＝81， 则x+1＝9或x+1＝﹣9， 解得x1＝8，x2＝﹣10（舍去）， ∴（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 题型02 碰面（循环）问题 【例2】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设八年级共有x个班，利用比赛的总场数＝八年级的班级数×（八年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设八年级共有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝21， 整理得：x2﹣x﹣42＝0， 解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7， ∴八年级共有7个班． 故选：C． 【变式2-1】2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 【分析】（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，根据“一共组织30场比赛”列出方程并解答； （2）根据计分规则计算总积分． 【解答】解：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛， 依题意得，x（x﹣1）＝30， 解方程得，x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， （2）（10﹣4﹣2）×3+4×1+2×0＝16， 答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分． 【变式2-2】（2023上·广东惠州·九年级期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】设有人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可． 【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得： ， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 【变式2-3】（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？ 【分析】设共有x个队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设共有x个队参加比赛， 依题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）． 答：共有10个队参加比赛． 题型03 增长率问题 【例3】（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 【变式3-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 【变式3-2】（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 题型04 营销问题 【例4】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（　　） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值． 【解答】解：根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200， 整理得：x2﹣150x+5600＝0． 解得：x1＝70，x2＝80． 当x＝70时，利润率100%＝40%＜50%，符合题意； 当x＝80时，利润率100%＝60%＞50%，不合题意，舍去． 所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元． 故选：A． 【变式4-1】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】利润售价进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，从而列出方程即可． 【详解】解：原来售价为每件60元，进价为每件40元，利润为每件20元，又每件售价降价x元后，利润为每件元． 每降价1元，每星期可多卖出8件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为． 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【变式4-2】（2022春•乳山市期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 　50　元． 【分析】设售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解，结合“从消费者的角度考虑”取舍后可得． 【解答】解：设售价为x元， 根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000， 解得：x＝50或x＝80， 从消费者的角度考虑， x＝80舍去， 答：这种台灯的售价应定为50元． 故答案为：50． 【变式4-3】（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】(1)20% (2)18个 【提示】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 【变式4-4】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以2元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价 的2.5倍． （1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出 　450　件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【分析】（1）直接利用每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，进而得出当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出的件数； （2）利用销量×每件利润＝800，进而得出等式求出答案． 【解答】解：（1）∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件， ∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500﹣10450（件）； 故答案为：450； （2）设定价x元， 由题意得：（x﹣2）（50010）＝800， 解得：x1＝4，x2＝6， ∵售价不能超过批发价的2.5倍， ∴x＝4， 答：定价为4元． 题型05 工程问题 【例5】（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【提示】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式5-1】（2022•渝中区校级自主招生）工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间． 【分析】设原来的工作效率为a（也可以将原来的工作效率当成1），工作效率提高的百分率为x，则工作时间缩短的百分率为2x，根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入3（1﹣2x）中即可求出结论． 【解答】解：设原来的工作效率为a，工作效率提高的百分率为x，则工作时间缩短的百分率为2x， 依题意，得：3a×0.88＝a（1+x）×3（1﹣2x）， 整理，得：2x2+x﹣0.12＝0， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣0.6（不合题意，舍去）， ∴3（1﹣2x）＝2.4． 答：提高工作效率后完成工作量所花的时间为2.4小时． 【变式5-2】（2022•沙坪坝区校级开学）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米 （1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？ （2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的最施工速度进行施工，但在实际的施工过程中，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了m%．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队同时施工60天，再由乙单独多施工（m+7）天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值． 【分析】（1）设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+100）米，根据工作总量＝工作效率×工作时间结合甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+100）米， 依题意，得：54000﹣40（x+x+100）≤18000， 解得：x≥400． 答：甲队每天至少修路400米． （2）依题意，得：60×400（1﹣m%）+（60+m+7）（400+100）（1﹣m%）＝54000， 整理，得：m2+15m﹣700＝0， 解得：m1＝20，m2＝﹣35． 答：m的值为20． 题型06 行程问题 【例6】（2021·福建龙岩·模拟预测）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【答案】 【提示】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ，即甲走的步数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式6-1】（2021·安徽宣城·校考一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【提示】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 题型07 与图形有有关的问题 【例7】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式7-1】（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】设小路的宽为x 米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】设小路的宽为x 米，则绿化区域的长为米，宽为米， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程． 【变式7-2】（2023·河北衡水·二模）六张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示． （1）若，则矩形A的水平边长为 ； （2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ； （3）若矩形A，B的面积相等，则 ． 【答案】 【提示】（1）根据图可得矩形A的长个小矩形宽，即可得到矩形A的水平边长； （2）根据图可得矩形A的宽个小矩形宽，进而得到矩形A的竖直边长，即可得到答案； （3）分别表示出矩形A，B的面积，根据矩形A，B的面积相等即可得到答案． 【详解】解：设矩形A的水平边长为 ，矩形A的竖直边长 ， （1）由图可知， ； （2）由（1）可知， 由图可知 矩形A的周长 ； （3）由题知，矩形A的面积； 由图知，矩形B的面积 矩形A，B的面积相等, ① 小矩形纸片长，矩形A的水平边长为 由图可知小矩形纸片长矩形A的水平边长 ② 联立①②解得，（舍去）． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查列多项式，多项式的值，一元二次方程，掌握解题的方法以及解方程的方法是解题的关键． 【变式7-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在一块长米、宽米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草．要使绿化面积为平方米，则修建的路宽应是多少米？    【答案】1米 【提示】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 则道路的宽应为1米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【变式7-4】（2022上·江苏无锡·九年级期中）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】(1)1米； (2)①；②． 【提示】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； （2）解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 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