四川德阳市第五中学2025-2026学年高一下学期5月自主性检测数学试题

德阳五中高2025级2026年春期第二次自主性检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的. 1.在复平面内，(1+3(3-i)对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=() A.3B-1AC B.14B-3AC 4 4 4 c.4+4c D.4+4c 3.已知角a的终边过点(-3,4)，则cos20+3 的值为() 7 B.-25 25 D.-24 5 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,A=, b=4,若△ABC有两解， 则a的取值范围为() A.(2,4) B.(25,+∞) C.(23,4 D.（2W3,4 5.要得到函致y=Vco2的图象，只需将函数)y=n4x+牙到的图象上所有的点的() A.横坐标缩短到原来的号倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B.横坐标缩短到原来的号倍（纵坐标不变），再向左平行移动灭个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动云个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 6.已知cos(a+B)=m,tan atan B=2,则cos(a-B)=() A.3m B.-32 C.-m D.m 7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为直角梯形A'B'CD',己知A'B'=1,B'C'=4, AD'=2,则四边形ABCD的周长是() B C A.7+√5 B.14W2+210 C.9+√17 D.6+V3+√11 8.定义在R上的函数∫(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x+2)为奇函数，已知当0≤x≤1时， f(x)=e-1,则下列结论错误的是() A.f(x+4)=f(x) B.f(x)在区间[9,11]上单调递减 c 2025 D. f()=e-l 11 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.下列说法正确的有() A.用斜二测画法画出边长为2的等边三角形的直观图，则直观图的面积为 6 B.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C.两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 10.欧拉公式e“=cosx+isinx(x∈R)巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示 了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”.下列结论 中正确的有() A.reR,使得e<0 B.ex=e"当且仅当x=y时成立 C.er与ei“互为共轭复数 D.Vx,vER,eix.ei=ei(xt) 11.设平面向量ā，6，c满足园=2，=6，-（石+3a=5-3d.则下列命题中正确的 是() A.4≤a+b≤8 B.b=3a C.若a1b,则-3d的最大值为6+2D.c.a的取值范围是[-24,30] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量=4，-4)，五=(2,3)，则向量ā在向量上的投影向量为 13.如图，某建筑物的高度BC=300m,一架无人机9上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角 为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度P9为 45 60° 14.己知函数f(x)=V3simr-2cos2X+asim2x+ 在区间(0，)内恰有3个零点，则a的 6 取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15.(13分)己知平面向量ā与6的夹角为45°，且l=1,=V2 (1)求a+2: (2)若a+2b与a-kb垂直，求k的值， 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,a=3,b=8. @若C-?求c的值，以及sBc的面积s: (2)若a+ cosA=2c,求siA. cosB 17.(15分)已知函数f(x)=Asin(ax+p)(A>0,⊙>0，-兀<p<π)的部分图象如图所示 (1)求f(x)的解析式及单调递增区间； (2将函数y=f9的图象向左平移汇个单位长度后得到函数y=g) 12 π7π 312 图象，若不等式g(x)-m≤4对任意x∈[0，]成立，求m的取值范围 11 18.(17分)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABAC=c2-上 a=4. (1)求B的大小： (2)设∠ABC的角平分线BE交AC于点E ①求△ABC面积的取值范围 ②求线段BE长的取值范围」 19.(17分)如图1，若平面内两条射线Ox,Oy相交成(0<x<π)角，e,e2分别为与Ox, Oy同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为α仿射坐标系”.在“x仿射坐标系”中，若 OP=x+y吧，，则记OP=(x,y). 图1 图2 (1)在匹仿射坐标系中，a=(2,-1),万=(-1,2)，求2+b: ②次®6朝婴标索巾，右a(号写 且a与g的夹角为，求a: 3咖图2，在“等仿射坐标系中，点8，C分别在射线0x,射线Oy上（约与点0不重合）， BC=V5,OD=}Oc,B,F分别为BC,BD的中点，求O5.O的最大值. 德阳五中高2025级2026年春期第二次自主性检测数学试题详解答案 1.【答案】A 【详解】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象 限。 2.【答案】A 【详解】根据向量的运算法则，可得 丽-+D=+}C-++c) 2 2 4 2 -1B4+1B4+IAC-3BA+, 2 4 4 4 所以丽=3AB4C,放选A 4 3.【答案】C 4 3 【详解】因为角a的终边过点(-3-4)，所以sina=一5cosa=- 以如+a-ma-2引 4.【答案】D 【详解】方法一： 已知A=写是锐角，固定角A、边b,画△1BC: 把角A固定，一边固定射线AB,另一边为线段AC且AC=b=4 过点C向AB作高h,h=bsinA,这是点C到直线AB的最短距离， 边a是BC的长，h<a<b:以C为圆心、a为半径画圆， 和射线AB交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为bsin A<a<b, 计算bsin4=4sin=2√5 3 所以a的取值范围为2V3<a<4· b-4 方法二： 已知4=胥b=4,由余弦定理：d-B+c2-2 pbecosA, 代入得2=16+c2-4c,整理为：c2-4c+16-d2=0, △ABC有两解等价于上述关于c的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为C,C2,满足：△=(-4)2-4×1×16-)>0， 解得：a>25 两根之和C1+c2>0:C+C3=4>0,恒成立， 两根之积cc2>0:16-a2>0→ad2<16→a<4, 综上所述，a的取值范围：2√3<a<4. 5.【答案】D 【详解】y=V2cos2x=√2sim2x+ 将y=V2sim4r+ 横坐标伸长到原来的2倍（纵 4 坐标不变)，得到y=V2sin2x+4: 而将y=V2sin4x+ 1 横坐标缩短到原来的二（纵坐 4 标不变)，得到y=5s血8x+4) AB选项排除； C选项：将y=V2sin4x+ 4 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y-sinx+) .π 再向左平移牙个单位长度，得到 y5m2-}月m2x+子到5cw2x+ 4 ,不符合要求； D选项：将y=√2sin4x+ 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 4 y=v2sin2x+4 再向左平行移动个单位长度， 得到y5smr++}-nsm2x号)ncs2n 满足要求，故D选项正确 6.【答案】B 【详解】因为cos(a+B)=m,所以cosa&cosB-sinasin B=m, 而tanatan B=2,所以sin asin B=2 cosacos B, 故cosacos B-2 cos a cos B=,即cos acos B=-m, 所以sin asin B=-2, cos(a-B)=cosa cos B+sin asin B=-3m 7.【答案】C 【详解】根据斜二测画法可知，平行于x轴方向长度不变，平行于y轴方向长度变成原来的 一半， x'轴与y'轴所成角为45°，把直观图转变为原图就是相反过程，如图所示， 在直角梯形A'B'CD中，由于A'B'=1,∠A'OB=45°， 所以，△A'OB'为等腰直角三角形，故OA'=√2，OA=2√2，OB=1,OB=1 由B'C=4,A'D=2,得BC=4,AD=2, 四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=N(2②+1+422+3+2=947 8.【答案】C 【详解】由f(x+2)为奇函数有：f(-x+2)=-f(x+2),即f(2-x)+f(2+x)=0,又 f(1+x)=f(1-x),所以f(2+x)=f(-x),所以f(2-x)+f(-x)=0, 即f(2+x)+f(x)=0,所以f(x+4)+f(x+2)=0,所以f(x+4)=f(x),故A正确： 由f(1+x)=f(1-x)有f(x)的图像关于x=1对称，又f(2-x)+f(2+x)=0,所以f(x)的 图像关于(2,0)对称， 当0≤x≤1时，f(x)=e-1,作出函数f(x)的图像： 由图可知f(x)在(1,3)单调递减，又f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(x)=f(x-2×4)=f(x-8), 所以当9≤x≤11,1≤x-8≤3，即f(x)在[9,11]的图像与[1,3]的图像一致，所以f(x)在 [9,11]单调递减，故B正确： 由付)小引号引得)又1<名子3.在)单涧造藏，所以 兮1〔③)>1（④，故c错误： 由于f(1)=e-1,f(2)=0,f(3)=f(1+2)=-f(2-1)=-f(1)=1-e, f(4)=f(0)=e°-1=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,且f(x)是以4为周期的周期函数，所以 2025 f)=506[f1)+f(2)+fB)+f4]+f4上506x0+f〔e-1，故D正确， 1=1 9.【答案】AB 【详解】A:如图所示：∠AOC-子CD1AB,因为&ABC是边长为2的等边三角形， 所以0C=V2-了=5，根据斜二测画法可知，A8=AB=2,0C'-0C=5 因此直观 2 图的面积为2×血卫556 故本选项说法正确： 422 B B:根据棱柱的定义可知棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故本选项说法正确： C:根据棱台的定义可知，此时必须还要看侧棱的延长线是否交于一点，因此本选项说法不 正确： D:当按照直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个共同底面的圆锥组成的几何 体，故本选项说法不正确，故选：AB 10.【答案】ACD 【详解】选项A.当x=兀时，则er=cosπ+isinn=-l<0,A正确. 选项B.若e=e",可得cosx=cosy且sinx=siny,即x=y+2c(k∈Z),B错误. 选项C.e“=cos(-x)+isin(-x)=coSx-isinx,er=cosx+isinx, 二者实部相等、虚部互为相反数，因此互为共轭复数，C正确。 选项D.对任意x,y∈R, e.e=(cos x+isinx)(cos y+isin y)=(cos xcos y-sin xsin y i cos xsin y+sin xc os) =cos(x+y)+isin(x+y)=e(xt) 11.【答案】ACD 【详解1对于A,由三角不等式可得a+≤+2+6=8，又点+≥-=6-2=4.所 以4≤a+bs8.故A正确. 对于B,由E-(6+3a=5-3过，只能说明点C的轨迹是一个以6+3ā对应点为圆心、5-3过 为半径的圆，不能推出b=3ā. 例如取ā=(2,0)，6=(0,6)，c=(6+62,6),则=2，b=6, 且-(6+3ad（6+65.6-(66=65,6-3d=0,6-(6=6√2.满是题意，但 b≠3ā，故B错误. 对于C,若a.6=0,不妨取a=(0,2),b=(6,0),c=(x,y) 由条件-(6+3a=|B-3,得(x,)-(6,6)=(6,0)-(0,6=62, 即(x-6)}+(y-6}=72. 设x=6+6√2cos日，y=6+6W2sim0,0∈[0,2元].则c-3a=(x,y-6), 所以-3武=x2+(y-6)2. 代入得E-3=(6+6v2cos0+65sin日=108+725cos日. 因此-3d≤108+72W2=(6+62, 当cos6=1时取等号.故-3d=6+6V5.所以C正确. 对于D,作平行四边形OADB,使OA=3ā，OB=b,OC=元. 则oD=6+3ā，4B=6-3ā.由题设E-(6+3=|5-3d, 可知点C的轨迹是以点D为圆心、AB为半径的圆. 又因为O4=3d=3=6,10B==6,所以四边形0ADB为菱形. 设∠AOB=20,则OD=12cos8,AB=12sin6, 因为个-2，所以c,ā等于在a上的投影向量模长的2倍. 如图，过点C向直线OA作垂线，垂足为F. 当C为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值， 因此(C.a）x=2(ODcos8+AB）=212cos26+12sin6)=24(-sim26+sin6+1) =24 sin +}30,当im0=2时取等号. 2+4 2 同理， (c.a)=2(ODlcos0-14B)=2(12cos20-12sin0)=24(-sin20-sin0+1) -4m9+}2 ,当sin0=l时取等号. 所以c.a∈-24,30].故D正确 12.【答案】 / 20 【详解】因为a=4,-4),i=(2,3),:a.=1×2-4×3=-10,=V4+9=13, 则向量ā在向量五上的投影向量为 -20-30 13.【答案】200m 【详解1由题意，在Rt△4BC中，∠BAc=60.BC=3O0.所以AC=8C 300 =200V5 sin60°√5 2 在△ACQ中，∠AQC=45°+15°=60°，∠QAC=180°-45°-60°=75°， 所以∠AC0=180°-75°-60°=45°， 200W5x 由正弦定理， 40-4C→A0-4Csm45 2=200√2 sin45°-sin60° sin60° 3 2 又△1P2为等腰直角三角形，所以P0=4A0:im45=200、5×Y5200. 2 14.【答案】1<a<4 【详解】由题意，-2cos；-1+c0sx), 2 m2x-m2-到 因此f(x)=V3sinx-1-cosx+acos2.x- 3 又-coa=2如-所以e)-2-w2x-1. 因为o2x--1-2s(-引 所以fe)=-2asm(-2m-+a-1. 令t=sinx- 6 因为0所以名从而1( 在x-亚∈ π5π 6 66 内，方程sinx-6 =t的解的个数如下表. t的范围 对应的x的个数 说明 当1=时，另一个对应角 ( 1 为 是右端点，不取 e到 2 两个对应角都在区间内部 t=1 只对应x-亚邓 62 于是f(x)=0等价于F(t)=0,其中F(t)=-2at2+2t+a-1 若f(x)在(0，π)内恰有3个零点，则F()=0需有两个不同的解，， 4后4-4= 若=1，则F(1)=0,得a=1,此时F(t)=2t(1-t), 只得到t=0和t=1,对应的零点个数为2，不符合题意. 若6子则付)0，别a0,此时0=立-1,0=0只有，不合宽意 所以4=4（收 @:o ,故1<a<4. 15.(1)由题意，得a.6=co45=1xW5-l, 2 则a+2=V+4a.+46=1+4+8=13 (2)因为a+2b与a-k6垂直， 所以(a+2b)(a-k)=+(2-网a--2闭=C, 即正P+(2-)1-4=0,鲜得k=子 16(1因为a=3,b=8,C=号 所以c2=a2+b2-2abc0sC=32+82-2x3x8c0s=49,所以c=7: 3 所以8e-sic-38血手66. 2 2 (2)因为a+cos4=2z→acoB+bcos4=2xc0sB； cosB 所以sinAcosB+sinBcosA=2 sinCcosB,即sin(A+B)=2 sinCcosB,所以sinC=2 sinCcosB, 因为Ce(0,nC0,所1=2oo8,即cosB-3所以nB=5 2 所以由g=b得sM=3V5 sinA sinB 16 17.1)由图象可知，A=3,2亚×是-7π， 04123,得w=2, 当=晋时，2受p=受+a,e2,得9=-2海，e2 因为π<p<元，所以p=-2π 3 所以e)3m3x 令-亚+2m≤2x-2s+2,kez, 2 32 得晋+m≤证+a,e2, Γ12 所以函数的单调递增区间是及+k匹+k,keZ: 12 12 (2)g(x)=3sin 则3sin 若不等方式8()-m≤4对任意xe[0,成立，则3-m≤4，得m21. 4 1.(1)B.Cccs4 1 2 1 由正弦定理将边化为角可得sin Bcos A=sinC-一sinA, 2 sinC=sin(-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin B cosA, 咖A, 1 sin B cos A=sin Acos B+sin B cosA- 即血sR=方n4,又4Q引则mA0, (2)①油正弦定理a=c sinAsinc,可得c- sin C 4sin C .a= sinA sin A 则8ar-cnB-x4 1 3 2x4cx 43sinC 43 sin(4+B) 2 sin A sin A 4W5sim4+3_ 23sin 4+6cos 426 sinA sin A tanA 0<A<亚 由 /0<C=2 3A 2 ro.k8s=25-8: 则、1 ②由s8es=5er+Sa,则时arn月= B a.BE.sin 22 即)cn胥=ein君+a Bsin,则4c-cB5+4BB, 6 即BB-5c-4W5-165，由(2)①知SAc=V∈25,85)， c+4 c+4 (29,-5） 故BE=4V5165∈4W58wE c+43,3 19.(1) 罗仿射坐标系即为直角坐标系，所以2a+6-(4,-2)+(-1习-(3,9， 所以2ā+b=3,0=3: (2)在直角坐标系xOy'中，记e=(1,0),则e=(cosc,sin), 在a-仿射坐标系中，a= -+5-+5ca5m】 2’2 -28+ 28 (22 2 1,V cos(a,e)= a.e -cosa 22 1+cosa-cos π1 cona) 32 整理得3cos2- 3W3 -cos a=0. 2 解得cosa=0(舍去)或cosa= ，所以a= 3 9在节角是标系0w中，00.百-苦0引-目写 远-0元--9面-c-没 m>0,n>0，即 OB=m,OC=n 则BC=r+i-2mcos-V2,所以m2+r-m=2, 3 E,F分别为BC,BD的中点， 则0-o0-0r答o-o+om网-ar9 匹0亦--之a+99-m2m -5m+3) BC OB OC △OBC中，由正弦定理 sin sin.∠BCO sin∠CBO, 设BC0=0,则mc80=ma写o 所以m-25n0,n=2 3 sino4π 3 5m+3nr-40m6048nr64升401-tos20+8 1-cos20+ 3 3 32 2 =2020 os2θ+4+2cos2θ+23sin2θ 33 -g+49os2m26m20 +2wi0号m0-4亚m29-+号 3 3 7 其中p为锐角，且tanp= 33, (03则-9<20-< 因为6e02π 3 -， 故当20-p=时，5m+3r取得最大值4四，32 3 3 aw-吉w恒g