精品解析：河南郑州外国语学校2025-2026学年高三全真模拟测试（二）数学试卷

郑州外国语学校2025-2026学年高三全真模拟测试（二）试卷 数　学 （120分钟 150 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得. 【详解】由，两边同时平方可得， 所以，得，故充分性成立， 若，当时，，， 此时不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 4. 已知，，，那么的大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】函数在上单调递减，，故； 函数在上单调递增，，故； 函数在上单调递减，，故， 综上，. 故选：B. 5. 若直线平面，则下列结论中成立的个数是（ ） ①内的所有直线与异面； ②内的所有直线与都相交； ③内存在唯一的直线与平行； ④内不存在与平行的直线． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】直线平面，则与平行，或与相交， 直线与平面内的直线可能异面，可能相交，也可能平行． 若与平行，则内与平行的直线有无数条；若与相交，则内的直线可以与相交，也可以与异面． ①②③④都不正确． 6. 已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（ ） A. 0 B. 0.1 C. 0.14 D. 0.24 【答案】D 【解析】 【详解】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 7. 已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右､点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接OA，OQ，OP，OP与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为，.当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 先，再，最后 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，弧的长度与相等，利用扇形的面积公式与三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，，比较大小即可． 【详解】解：因为直线l与圆O相切于点A，所以，所以扇形AOQ的面积，的面积.又，所以，所以，即， 故选：A. 8. 的展开式中，共有多少项（  ） A. 45 B. 55 C. 120 D. 165 【答案】B 【解析】 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项含有1个字母时，有项， 当展开式的项含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， 所以的展开式共有项. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；取可判断B选项；解方程，可判断C选项；利用复数的四则运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，不妨取，则，但不是实数，B错； 对于C选项，若，则，可得或，C错； 对于D选项，若，则，D对. 故选：AD. 10. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项. 【详解】令得，或，， 由图可知：，，， 所以，， 所以，所以，故A选项正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 所以， ，故B错误. 当时，， 因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确； 将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移）， 为偶函数得，， 所以，，则的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，共有6种放小球的方法 B. 当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种 C. 当时， D. 当时，在处取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用组合的知识求得放球的方法数判断AB，计算出概率判断C，对选项D，为求，先求得总方法数为，再求出第号球放入编号为的盒子的方法数为，然后利用求得的最大值，从而得的最大值，然后判断D. 【详解】对A，，即为1，2号球放入编号为1，2，3，4的盒子中，由于球的序号不改变，因此方法数为，A正确； 对B，，即为号球放入编号为的盒子中，共有方法数为， 2号球放入的盒子编号小于3即只能放入2号盒子，因此3号放入后4个盒子中，方法数为4， 所以2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有种，B正确； 对C，时，球有个，盒子有个，即为号球放入号盒子的概率， 放球的总方法数是，号球放入号盒子的方法数为， 所以，C错； 对D，将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球， 且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号， 这相当于从个盒子中选出个并按球的编号顺序排列，总方法数为， 设号球放入编号为的盒子（）， 当号球放入编号为的盒子时，前个球放入编号中盒子中， 按题意方法数为，第个球要从编号为中选一个，方法数为， 所以第号球放入编号为的盒子的方法数为， ， 令，即， 整理可得：，， ， 因为，所以，则， 又因为为整数，所以当 时，取得最大值，从而取得最大值．D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差观测值预测值），则______．（保留两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参. 【详解】因为y关于x的经验回归方程为， 所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值， 所以， 所以. 故答案为： 13. 函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 14. 如图，圆心为的三个两两外切的圆均与直线相切，其中圆的半径为，三个圆的半径大小成等比数列，则的面积大小为_______. 【答案】2 【解析】 【详解】设圆，圆的半径分别为，由三个圆的半径大小成等比数列，得 ， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 依题意，， 同理，由，得 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 有媒体称开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且. （1）根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 ； （2）该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用条件概率的定义求出数据并完善列联表，再求出. （2）求出的观测值，再与临界值比对即可得解. 【小问1详解】 由，得愿意报名参加答题活动人数为， 由，得愿意报名参加答题活动的男生人数为， 愿意报名参加答题活动的女生人数为， 所以列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 . 【小问2详解】 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 16. 如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． （1）设、，若、、三点共线，求实数的值； （2）设，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解； （2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解． 【小问1详解】 已知、， 则，， 又， ，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 由平面向量基本定理得，解得， 实数的值． 【小问2详解】 由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得， ， 同理， ， ， 又， ， ． 17. 已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）已知数列满足：，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用等差数列前项和公式、通项公式，联立方程组求解首项和公差，即可得数列的通项公式； 法二：利用等差数列性质，求出中间项的值，再计算公差，即可得数列. 结合和，即可得数列的通项公式. （2）根据（1）中数列，的通项公式，得到数列的通项公式，再结合裂项相消求和，即可得解. 【小问1详解】 法一：因为数列是等差数列，设公差为， 因为，所以， 即，解得， 所以， 数列的通项公式为． 法二：因为，所以，解得， 所以公差， 所以， 数列的通项公式为． 由，当时，，得， 当时，，所以， 所以，即， 又，所以． 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以， 所以 ． 故数列的前n项和. 【点睛】在求数列的通项公式时，要分和讨论，由递推关系写通项后，还须验证首项. 18. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【小问1详解】 由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 19. 在中，的平分线交AB于点D，．平面过直线AB，且与所在的平面垂直． （1）求直线CD与平面所成角的大小； （2）设点，且，记E的轨迹为曲线，以AB中点O为原点，建立适当的坐标系． （ⅰ）判断是什么曲线，并求出的轨迹方程； （ⅱ）不与直线AB重合的直线l过点D且交于P，Q两点，试问：在平面：内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）是椭圆，（ⅱ）存在，点T满足，或时 【解析】 【分析】（1）由角平分线性质，将线面角转化为平面内的线线角，再利用几何关系求解即可； （2）（i）利用向量夹角公式将几何条件代数化，利用中点条件建立坐标系以便于计算；（ii）方法一：利用对称性假设定点在上，简化未知数，将角度相等转化为向量关系，并用代数恒等式求解，并分情况讨论，避免分母为0即可；方法二：通过作垂线将空间角度关系转化为平面内的角平分线问题，利用线面垂直性质得到全等三角形，进而推出斜率关系，再使用韦达定理消去其中一个参数即可. 【小问1详解】 因为平面，平面平面，，所以． 所以直线CD在内的投影为直线AB，所以直线CD与所成角为． 过D作，垂足为F因为CD平分，所以． 又，所以，所以． 又，所以．因为，所以， 所以直线CD与平面所成角为． 【小问2详解】 （ⅰ）曲线是椭圆， 理由如下：由（1）可知，， 所以F是AC的中点，设AB的中点为O，所以． 又，所以．在内过O作，所以， 以O为原点，OG，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 因为，所以， 设，又，则． 因为， 又，所以， 化简得，即，所以曲线是椭圆． （ⅱ）方法一：设． 在平面内，因为l与AB不重合，可设， 由，得， 所以． 由对称性知，若存在定点T满足条件， 则T必在平面与的交线AB上，故可设． 若，则，即， 因为， 所以， 当时，上式恒成立，所以符合题意； 当时，有， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以，即． 因为上式对于任意的恒成立，所以． 综上，存在点T满足，或时，符合题意． 方法二：设 在平面内，因为l与AB不重合，可设：， 由，得， 所以． 由对称性知，若存在定点T满足条件，则T必在平面与的交线AB上，故可设． 当T与B重合时，因为，又PT，，所以． 所以当时，符合题意． 当T与B不重合时，过B作，垂足分别为．连接， 则因为，所以． 又，所以平面， 所以，同理， 又，所以，所以， 所以，所以直线BT平分， 又BT在y轴上，所以在平面内直线PT，QT的倾斜角互补， 在平面内，设直线PT，QT的斜率分别为， 则， 对于任意的恒成立，所以． 综上，存在点T满足，或时，符合题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025-2026学年高三全真模拟测试（二）试卷 数　学 （120分钟 150 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，那么的大小为（    ） A. B. C. D. 5. 若直线平面，则下列结论中成立的个数是（ ） ①内的所有直线与异面； ②内的所有直线与都相交； ③内存在唯一的直线与平行； ④内不存在与平行的直线． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（ ） A. 0 B. 0.1 C. 0.14 D. 0.24 7. 已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右､点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接OA，OQ，OP，OP与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为，.当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 先，再，最后 8. 的展开式中，共有多少项（  ） A. 45 B. 55 C. 120 D. 165 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 11. 将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，共有6种放小球的方法 B. 当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种 C. 当时， D. 当时，在处取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差观测值预测值），则______．（保留两位小数） 13. 函数的图象关于点对称，且，则______． 14. 如图，圆心为的三个两两外切的圆均与直线相切，其中圆的半径为，三个圆的半径大小成等比数列，则的面积大小为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 有媒体称开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且. （1）根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． （1）设、，若、、三点共线，求实数的值； （2）设，求的面积． 17. 已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）已知数列满足：，求数列的前n项和． 18. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 19. 在中，的平分线交AB于点D，．平面过直线AB，且与所在的平面垂直． （1）求直线CD与平面所成角的大小； （2）设点，且，记E的轨迹为曲线，以AB中点O为原点，建立适当的坐标系． （ⅰ）判断是什么曲线，并求出的轨迹方程； （ⅱ）不与直线AB重合的直线l过点D且交于P，Q两点，试问：在平面：内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $