精品解析：内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023-2024学年内蒙古兴安盟科右前旗二中高二（下）期末数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2. 若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到，，三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ） A. 70种 B. 140种 C. 420种 D. 840种 5. 已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②不是函数的极值点； ③在处切线的斜率小于零； ④在区间上单调递增. 其中正确命题序号是（ ） A ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①② 8. 设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分） 9. 下列结论正确的是（） A B. （正整数且） C. D. 满足方程的值可能为或 10. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（ ） 参考数据：若则，． A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过99分的人数约为1 11. 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（ ） A. 从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B. 等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C. 从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D. 从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中，项的系数为__________. 13. 一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则_________． 14. 在数列中，已知，则___________. 四、解答题（共77分） 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求： （1）X的分布； （2）X的期望与方差； （3）“所选3人中女生人数”的概率. 16. 已知数列的首项，且满足（）． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和，并证明． 17. 某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，则颁发结业证；若不合格，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，其它选项小李均可一次性通过． （1）求小李第一次考试即通过的概率P1； （2）求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值． 18. 已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，且，求. 19. 已知函数． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年内蒙古兴安盟科右前旗二中高二（下）期末数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公差的定义求解. 【详解】由题意：公差 ； 故选：B. 2. 若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，中间项的二项式系数最大，即可求解. 【详解】由题意，展开式中只有第6项的二项式系数最大， 根据二项式系数的性质，可得展开式共有11项，所以. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率、对立事件概率公式直接求解即可. 【详解】 故选：B. 4. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到，，三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ） A. 70种 B. 140种 C. 420种 D. 840种 【答案】C 【解析】 【分析】将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案. 【详解】2男1女时： 2女1男时： 共有420种不同的安排方法 故答案选C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键. 5. 已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果； 【详解】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，. 故选：C 6. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D. 【详解】选项A：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1. 选项B：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项C：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项D：，则，则， 则不存在斜率为1的切线 故选：D 7. 如图是函数导函数的图象，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②不是函数的极值点； ③在处切线的斜率小于零； ④在区间上单调递增. 其中正确命题的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数极值点的定义可判断命题①②的正误；利用导数的几何意义可判断命题③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断命题④的正误. 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，.则函数在上单调递减，在上单调递增， 故在区间上单调递增，即④正确； 而在处，左侧单调递减，右侧单调递增，则是函数极小值点，故①正确； 函数在上单调递增，在上单调递增， 不是函数极值点，故②正确； 函数在处的导数大于，在处切线的斜率大于零，故③不正确. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的单调性、极值和切线的斜率等有关知识，属于基础题. 8. 设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由，，得， 则， 所以，所以. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分） 9. 下列结论正确是（） A. B. （为正整数且） C. D. 满足方程的值可能为或 【答案】BD 【解析】 【分析】根据组合数公式判断A、C，根据排列数公式判断B，由组合数的性质得到方程，求出，再检验，即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，， 所以（为正整数且），故B正确； 对于C：，又， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以或， 解得或或或 经检验或符合题意，故满足方程的值可能为或，故D正确. 故选：BD. 10. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（ ） 参考数据：若则，． A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过99分的人数约为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的概念可判断A，根据对称性可判断B，根据原则和曲线的对称性即可判断CD. 【详解】对于A，由，可知， 所以平均分为，故A对； 对于B，由于，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等， 进而人数相等，故B对； 对于C，， 因为，故C错误； 对于D，， 因为， 所以超过98分的人数约为1，故D正确. 故选：ABD 11. 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（ ） A. 从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B. 等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C. 从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D. 从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全概率公式、条件概率公式分别计算即可判断． 【详解】设事件“此人患了流感”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”， 由题意可得： ， ， 对于A，由全概率公式，可得： ， 所以，故A正确； 对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即， 则 ，故B项错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由条件概率公式，可得，故D正确； 故选：AD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中，项的系数为__________. 【答案】80 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为：， 令，所以项的系数为， 故答案为：80 13. 一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式计算即得． 【详解】依题意，， 所以． 故答案为：． 14. 在数列中，已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】令m=1，得可以推出数列为等差数列，求出通项公式即可求出. 【详解】令m=1，得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， ，所以 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意递推公式的合理应用，属于基础题. 四、解答题（共77分） 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求： （1）X的分布； （2）X的期望与方差； （3）“所选3人中女生人数”的概率. 【答案】（1）分布列见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布可求X的分布； （2）利用超几何分布的期望与方差公式求解 （3）利用互斥事件的概率公式求解即可 【小问1详解】 由题意可得：可取0，1，2，， 所以， 分布列如下： 0 1 2 【小问2详解】易得； 【小问3详解】 由（1）可知“所选3人中女生人数”的概率为. 16. 已知数列的首项，且满足（）． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证. 【小问1详解】 由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，，所以 所以， 当时，单调递增，故． 17. 某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，则颁发结业证；若不合格，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，其它选项小李均可一次性通过． （1）求小李第一次考试即通过的概率P1； （2）求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分求出小李没有抽到“移库”和抽到“移库”一项且通过的概率，相加即可； （2）根据题意可能为1，2，3，4，分别求其概率，即可得其分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 根据题意小李第一次考试即通过包括， ①小李没有抽到“移库”一项； ②抽到“移库”一项且通过， 所以； 【小问2详解】 根据题意小李参加考核的次数可能为1，2，3，4， 则， ， ， ， 分布列为 1 2 3 4 . 18. 已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，且，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式； （2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和； （3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解 【小问1详解】 当时， 得. 由已知① 当时，, ② ①-②得. 所以 . 所以数列为等比数列，且公比为 因为，所以. 设数列公差为， 由得 所以. 综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：. 【小问2详解】 设，前项和 【小问3详解】 即，即，解得 19. 已知函数． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求导，结合导数的几何意义求出切线斜率再求出切线方程即可； （2）在上单调递减，则恒成立，转化为关于的不等式恒成立，然后参变分离，与两边放，最后转化为求函数最值问题即可解决. 【小问1详解】 当时，，， 将分别代入和求得，， 则的图象在点处的切线方程为： ，即. 【小问2详解】 因为，求导得， ， 在上单调递减，则恒成立. 即. 令，则上式转化为恒成立， 参变分离得，令， 则， 令，解得. 当单调递增，当单调递减. 则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$