2.1 圆的方程（第2课时 圆的一般方程）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第2章 圆与方程 2.1 圆的方程 第2课时 圆的一般方程 【课标要求】1.掌握圆的一般方程及其特点.2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能用圆的一般方程解决一些实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.圆的一般方程 方程 可变形为 . 当 时，方程表示圆，且圆心为 , ，半径为 ； 当 时，方程只有实数解 , ，所以它表示一个点 , ； 当 时，方程没有实数解，所以它不表示任何图形. 方程 叫作圆的一般方程. 4 知识点2.几个常见的圆的一般方程 （1）过原点的圆的方程： （ ， 不全为0）； （2）圆心在 轴上的圆的方程： ； （3）圆心在 轴上的圆的方程： ； （4）圆心在 轴上且过原点的圆的方程： ； （5）圆心在 轴上且过原点的圆的方程： . 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】对圆的一般方程的理解 例1 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程： （1） ； 解 原方程可化为 ，它表示点 ，不表示圆． （2） ； 原方程可化为 ，它表示圆心为 ，半径为 的圆， 标准方程为 ． （3） ； 原方程可化为 ，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆． 7 （4） . 原方程可化为 ． ①当 时，方程表示点 ，不表示圆；②当 时，方程表示以 为圆 心，半径为 的圆，标准方程为 ． 8 规律方法 判断二元二次方程 是否表示圆的方法 （1）利用圆的一般方程的定义，求出 ，利用其符号判断. （2）将方程化为 的形式，根据 的符号判断. 9 跟踪训练1 [2023灌云月考] 方程 表示圆的条件是( ) B A. B. 或 C. D. 10 【题型二】求圆的一般方程 例2 试判断 ， ， ， 四点是否在同一个圆上. 解 直线 ， 的斜率分别是 ， ，则 ，则 ， ， 三点不共线.设过 ， ， 三点的圆的方程为 ． 因为 ， ， 三点在圆上， 所以 解得 所以过 ， ， 三点的圆的方程为 . 因为 ，所以点 在圆上，故 ， ， ， 四点在同 一个圆上． 11 规律方法 应用待定系数法求圆的一般方程的步骤： 跟踪训练2 在平面直角坐标系中，四点坐标分别为 , , , .若它们都在同一个圆上，则 的值为( ) C A.0 B.1 C.2 D. 12 【题型三】圆的一般方程的综合运用 例3 在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质： ①线段的最小覆盖圆就是以它为直径的圆； ②锐角三角形的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线 ， ， , ， 为曲线 上不同的四点. 13 （1）求实数 的值及 的最小覆盖圆的方程； 解 由题意,得 .因为 为锐角三角形,所以其外接圆就是 的最小覆盖 圆. 设 外接圆的方程为 ,则 解得 所以 的最小覆盖圆的方程为 14 （2）求四边形 的最小覆盖圆的方程； 因为线段 的最小覆盖圆就是以 为直径的圆,所以线段 的最小覆盖圆的方程为 又因为 ,所以点 , 都在圆内，所以四边形 的最小覆盖圆的方 程为 . （3）求曲线 的最小覆盖圆的方程. 由题意,得曲线 为中心对称图形. 设 为曲线 上一点,则 ，所以 ,且 . 故 ,所以当 时, ,所 以曲线 的最小覆盖圆的方程为 . 题后反思 对于新定义问题，解题时要抓住新定义的要求，根据条件求解. 15 跟踪训练3 已知方程 ，有以下 4 种说法： ， 是该方程表示圆的充分不必要条件； ②若该方程表示的图形与 轴交于两个不同点 ， ，且 ， ，则 ； ③若该方程表示的图形与 轴交于两个不同点 ， ，且 ， ， 为坐标原点，则 的最大值为2； ④若 ，则该方程表示圆，且该圆面积的最大值为 . 其中正确说法的序号是______. ①③ 16 [解析] 若方程 表示圆,则应有 , 当 , 时,满足 ,该方程表示圆,但该方程表示圆时, 不一定 等于 , 不一定等于4,故①正确;若该方程表示的图形与 轴交于两个不同点 , ,且 , ,则 , 是 的两个不相等的实 数根, ,解得 ,故②错误;若该方程表示的图形与 轴交于两个不同 点 , ,且 , ,由②知 ,则 即 ，又 ,故当点 的坐标为 ,点 的坐标为 或点 的坐标为 ，点 的坐标为 时， 取得最大值2,故③正确;由于 ,则该方程表示圆，则圆的半径的平方 为 ,则圆的面积有最小值,无最大值, 故④错误. 17 成果验收•课堂达标检测 18 A层 基础达标练 1.圆的方程为 ，则圆心坐标为( ) D A. B. , C. D. , 2.已知点 ，圆的一般方程为 ，则点 与圆的位置关 系是( ) C A.点 在圆外 B.点 在圆内且不是圆心 C.点 在圆上 D.点 是圆心 3.[2023泰州调研] 如果 是圆的方程，那么实数 的取值范围 是( ) B A. B. C. D. 19 4.若直线 始终平分圆 的周长，则 的值为( ) C A.4 B.6 C. D. 5.[2023海州月考] 过三点 ， ， 的圆的方程是( ) A A. B. C. D. 6.经过点 和 ，且圆心在 轴上的圆的一般方程为_________________. <m></m> 20 7.求经过两点 ， ，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的一般方程. 解 设所求圆的方程为 ，令 ,得 ，所 以圆在 轴上的截距之和为 令 ,得 ，所以圆在 轴上的截距之和为 .由题意，得 ， 所以 .① 又 ， 在圆上， 所以 ，② ，③ 由①②③解得 ， ， 故所求圆的一般方程为 . 21 8.（2023淮阴质检）已知圆 ，圆心在直线 上，且圆心在第二象限，半径为 ，求： （1）圆 的一般方程； 解 圆的标准方程为 ，圆心为 , ，半径为 ，所以 解得 或 又圆心在第二象限，所以 所以圆的一般方程为 22 （2）圆 关于直线 的对称圆方程. 由（1）知圆心为 ，设它关于直线 的对称点为 ， 则 解得 所以对称圆方程为 . 23 B层 能力提升练 9.已知圆 的圆心在直线 上，则该圆的面积为( ) A A. B. C. D. 10.当 取不同的实数时，由方程 可以得到不同的圆，则 ( ) A A.这些圆的圆心都在直线 上 B.这些圆的圆心都在直线 上 C.这些圆的圆心都在直线 或 上 D.这些圆的圆心不在同一条直线上 24 11.若点 是圆 内一点，则过点 的最长弦所在 的直线方程是( ) C A. B. C. D. 12.已知圆 关于直线 对称，则有 ( ) B A. B. C. D. 13.若曲线 上所有的点均在第二象限内，则 的 取值范围为( ) C A. B. C. D. 25 14.已知直线 ，圆 ，则 与 在同一平面 直角坐标系中的图形可能是( ) A A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 由 ，得 ，所以圆心 ，半径为 ，由此可知圆 过坐标原点，所以排除B，C；由选项A， D可知 , ，所以直线 过第一、三、四象限，故选A. 26 15.已知圆 过点 , , ，点 , 在圆 上，则 面积的最大值 为_ __. <m></m> [解析] 设圆 的方程为 ，将 , , 代入 可得， 解得 故圆 的一般方程为 ， 即 ， 故 的面积 , 所以 面积的最大值为 . 27 16.由曲线 围成的图形的面积为_ ______. <m></m> [解析] 曲线 可化为 ， 当 , 时，方程化为 ，易知曲线关 于 轴、 轴、原点均对称，由题意，作出图形如图中实线所示， 则此曲线所围成的图形由一个边长为 的正方形与四个半径为 的半圆组成，故所围成图形的面积是 . 28 17.已知关于 ， 的二元二次方程 . （1）当 在什么范围内取值时，方程表示圆？ 解 若方程 表示圆， 则 ,整理可得 ，解得 .所以当 在 , 内取值时，方程表示圆. 29 （2）当 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程. 由 可得 ， 设圆的半径为 ，则 ，所以当 , 时， ，所以 ，此时圆的方程为 ，即 . 综上，当 时，方程表示的圆的半径最大，半径最大时圆的方程为 . 30 C层 拓展探究练 18.如图， 是边长为1的正三角形，点 在 所在的平面内，且 （ 为常数），下列结论正确的是( ) C A.当 时，满足条件的点 有且只有一个 B.当 时，满足条件的点 有三个 C.当 时，满足条件的点 有无数个 D.当 为任意正实数时，满足条件的点 总是有限个 [解析] 如图，以 边所在直线为 轴， 中点为原点，建立平面 直角坐标系，则 , ， ， ， ， . 31 设 ，可得 ， ， . 因为 ，所以 ， 化简得 ，即 ，配方，得 当 时，方程①的右边小于0，故不能表示任何图形； 32 当 时，方程①的右边为0，表示点 ， ，恰好是正三角形的重心； 当 时，方程①的右边大于0，表示以 ， 为圆心，半径为 的 圆，由此对照各个选项，可得只有C项符合题意.故选C. $$