用基本不等式求最值问题课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第3章 不等式 培优课❸ 用基本不等式求最值问题 要点深化·核心知识提炼 2 通过基本不等式求最值是求取值范围问题的一种重要方法，也是基本不等式的重要应用之一.因为变式较多，题型灵活，因此也是难点所在.本篇将带领同学们一起学习基本不等式求最值的几种常用方法. 首先把常见的求最值问题分为一元和二元，一元指的是单个变量求最值，二元指的是两个变量求最值. 3 题型分析·能力素养提升 4 【题型一】“一元”最值问题 例1（1） 当 时，函数 的最小值为( ) B A. B. C. D.4 [解析] 令 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立.故选B. 5 （2）已知 ，求 的最大值. 解 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 的最大值为 . 6 题后反思 （1）此类型题属于一元求最值问题，在求最值时，如果分子分母中都含有变量 ，则需进行分离变量.在分离变量的过程中可以借助换元法. （2）对于这种一元求最值的配凑法，应用的基本原理就是“和定积最大，积定和最小”，因此，如果要求积的最大值就需要凑出和为定值，要求和的最小值就要凑出积的定值. 7 跟踪训练1（1） 函数 的最小值为___. 8 [解析] 因为 ，令 ，则 ， 又因为 ，可得 ， 因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为8.故答案为8. 8 （2）已知 ，求 的最小值. 解 因为 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时,等号成立， 所以 的最小值为9. 9 【题型二】“二元”最值问题 角度1 二元配凑法 例2 已知 , ，满足 ，若不等式 恒成立，则实 数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. [解析] 因为 , ，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时,等号成立. 又 恒成立，所以 .故选C. 10 角度2 乘“1”法 例3 已知 , ，且 ，则 的最小值是___. 8 [解析] 因为 , , ,所以 ， 当且仅当 ，即 , 时，取等号.故答案为8. 11 题后反思 乘“1”法适用于已知一个式子为定值，求另一个式子的最小值. ［注意］①当题目中的前面有系数时也不影响此方法的使用； ②当定值不是1时，两式相乘时要再乘以该定值的倒数； ③当题目中的有线性运算时需通过配凑法； ④当题目中给出某个等量关系，而没有直接给出定值时，需要通过化简得到. 12 跟踪训练2（1） 已知 , ， 求 的最小值. 解 由题意得， ， , ， 则 . 当且仅当 ，即 , 时，等号成立，所以 的最小值为8. 13 （2）若正数 ， ，满足 ，求 的最小值. 解 因为 , , ,所以 ， 当且仅当 ， 即 ， 时，等号成立 . 14 角度3 消元法 例4 已知正数 , 满足 ， 的取值范围为________. <m></m> [解析] 由 , 为正数， 可得， ， ，所以 ，当且仅当 ,即 时，等号成立.故答 案为 . 15 题后反思 二元求最值，只要题目中给出等量关系都可以通过消元法进行化简，但有时利用消元法消元之后还要通过配凑求最值. 16 角度4 因式分解——配凑法 例5 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为_____； 的最小值是_ ____. <m></m> <m></m> 17 [解析] 由正实数 , 满足 ，得 ，所以 ， 同理可得 ，所以 ， . 因为 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 又 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 故答案为 ； . 18 角度5 解不等式法 例6 设 ， 为实数，若 ，则 的最大值为_ ___； 的最 小值为_ _. <m></m> <m></m> 19 [解析] 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 . 因为 ，所以 ，又 ，则 ， 所以 ,所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 . 故答案为 ； . 20 题后反思 题目中同时出现 ， 或 时，可通过化简变为“一元”二次不等式进行求解.如例6中，将 看成是“一元”. 21 跟踪训练3（1） 设 , , ，则 的最大值为( ) C A.1 B. C. D. [解析] 因为 , , ，所以 ，所以 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时,等号成立， 故 的最大值为 . 22 （2）已知 , , ,求 的取值范围. 解 因为 , , , 所以 , ， ， ， .故 的取值范围为 . 23 $$