精品解析：江苏省盐城市亭湖高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

盐城市亭湖高级中学2023—2024学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 20240417 命题人：张晓芹 审核人：陆英俊 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）的虚部是 A. -1 B. 1 C. -i D. i 【答案】A 【解析】 【分析】先对复数化简可求得结果. 【详解】解：因为， 所以复数的虚部为， 故选：A 【点睛】此题考查的是复数的运算和概念，属于基础题. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平面向量共线的性质求解即可.. 【详解】由已知得，， ∵∥， ∴，解得， 故选： 3. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以 故选：D. 4. 当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理得出影子长为，再由三角函数值域即可得结果. 【详解】设竹竿与地面所成的角为，影子长为m． 由正弦定理，得， 解得． 又易知，可得， 即可知当，即时，x有最大值为． 即竹竿与地面所成的角是时，影子最长． 故选：B 5. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量. 故选：B. 6. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，代入已知条件化简即得解. 【详解】由题得 所以, 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到,要联想到和角的正切公式求解. 7. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用害圆术以正边形，求出圆周率约，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入，结合三角恒等变换思想化简可得结果. 【详解】将代入， 可得 . 故选：A. 8. 已知向量满足，，则的最大值等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，即得到点共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可. 【详解】设， 因为，，所以， 又，所以，所以点共圆， 要使的最大，即为直径， 在中，由余弦定理可得， 又由正弦定理， 即的最大值等于， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解. 【详解】对于A，若，则，，所以，故A正确； 对于B，令，，，所以，但，故B不正确； 对于C，设，，则， 则， 所以， 则， 所以， 则，故C正确； 对于D，令，，则，但，所以D不正确； 故选：AC 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是边长为1的正三角形，则 C 若，，，则有一解 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助余弦函数的单调性和诱导公式可判定选项A；由数量积的定义计算可判定选项B；由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项C；利用正弦定理边化角，利用二倍角化简可判断D. 【详解】对于A：若是锐角三角形，则，即， 由于，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：若，，， 由正弦定理得，，即，故， 因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故C错误； 对于D：若，则， 即，因为，所以或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，D错误； 故选：BCD 11. 设点在所在平面内，且点分别为该三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则； B. ； C. 若，则为等腰三角形； D. 若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，化简可得，再两边平方化简即可；对B，取中点，根据重心的性质化简判断即可；对C，根据条件推导即可；对D，根据垂心的性质推导可得，再设，根据可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可. 【详解】对A，若且，则， 两边同时平方可得：， 所以，即，故A错误； 对B，取的中点，因为是的重心，有， 所以，，， 又因为，所以，故B错误； 对C，因为为的内心，， 故 ，即， 故点的轨迹为过的垂线，即的中垂线， 则是以为底边的等腰三角形，故C正确； 对D，因为为的垂心，则，即， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则， ，即， 则， ，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数的共轭复数为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据欧拉公式化简复数，再根据共轭复数的定义，即可求解. 【详解】根据欧拉公式， 所以复数的共轭复数是. 故答案为： 13. 若，，，则向量与的夹角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】设向量与的夹角为， 因为，，即， 因为，所以， 即，故， 因为，则向量与的夹角． 故答案为：． 14. 锐角的角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到，从而利用三角函数的性质与锐角三角形的特点推得的取值范围，再次利用正弦定理的边角变换转化所求为，从而得解． 【详解】因为，则， 所以， 由正弦定理得， 又，故， 因为在锐角中，，所以或， 当时，，所以，解得，符合题意； 当时，，此时，不合题意； 综上，， 又，而， 所以，则的取值范围为． 故答案为：． 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，若为实数，求的值. （2）已知复数满足，若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 【答案】（1）；（2）19. 【解析】 【分析】（1）化简复数，然后根据复数为实数列方程求解即可； （2）根据复数模的运算求得，代入二次方程，根据复数相等列方程组求解即可. 【详解】（1）因为为实数， 所以，解得； （2）由可设，由题意，所以， 所以，所以，代入得， 即，所以，所以，所以 16. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值； （Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，）， ∵，， ∴sinα，cos（α﹣β）， ∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα ， （Ⅱ）由（Ⅰ）得， cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β） ， 又∵，∴β． 【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键. 17. 在三角形中，，D是线段上一点，且，F为线段上一点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围； 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，进而可求得的值； （2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果 【详解】解：（1）因为，所以， 得， 因为，所以， 所以， （2）因为在三角形中，， 所以， 所以， ，由题意得， 所以， ， 因为，所以， 所以的取值范围为 18. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，． （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高（用表示）； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3），最小值为 【解析】 【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解； （2）分别在与中由正弦定理化简即可得解； （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值. 【小问1详解】 当时，， 所以， 又 所以是等边三角形，所以， 所以在中，，即， 所以； 【小问2详解】 ，，， 在中，由正弦定理得， 所以 所以 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，所以； 【小问3详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，取最小值， 故关于的函数表达式为，最小值为. 19. 在中，点是内一点， （1）如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值. （2）若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值. 【答案】（1） （2），最小值为： 【解析】 【分析】（1）根据题意用表示出，再根据M，P，N三点共线用表示出，利用平面向量基本定理即可求解. （2）根据数量积定义分别求出，，再对平方即可将表示成关于的函数，再利用基本不等式求 的最小值即可. 【小问1详解】 一方面， 故. 另一方面，由M，P，N三点共线知， 所以，即 消去，得，故. 【小问2详解】 由得，，因为， 所以，所以；，所以； 所以 当目仅当即时等号成立， 所以;. 【点睛】本题考查向量模的最值，利用向量数量积的定义将，，转化为，，再对平方，将表示成关于的函数，最后利用基本不等式求出的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐城市亭湖高级中学2023—2024学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 20240417 命题人：张晓芹 审核人：陆英俊 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）的虚部是 A. -1 B. 1 C. -i D. i 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 当太阳光与水平面倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ） A. B. C. D. 5. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用害圆术以正边形，求出圆周率约，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量满足，，则最大值等于（ ） A B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若是边长为1正三角形，则 C. 若，，，则有一解 D. 若，则是等腰直角三角形 11. 设点在所在平面内，且点分别为该三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则； B. ； C. 若，则为等腰三角形； D. 若，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数的共轭复数为______ 13. 若，，，则向量与的夹角为______. 14. 锐角的角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为______. 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，若为实数，求的值. （2）已知复数满足，若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 16. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 17. 在三角形中，，D是线段上一点，且，F为线段上一点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围； 18. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，． （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高（用表示）； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 19. 在中，点是内一点， （1）如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值. （2）若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$